一个有趣的“一笔画”问题

1、七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载一个有趣的“一笔画”问题r(r2，rN)维欧氏空间中，r度分别为nl，n2，nr的“长方体”，被划分成nl n2 nr个小“正方体”一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小“正方体”的一条对角线，这件事能否办到？若办不到，请给予证明；若能办到，请给出一种行走路线这是一个有趣的“一笔画”问题解答如下对r用数学归纳法 (一) r2时，此时的“长方体”即为通常意义的矩形，小“正方体”也就是通常意义的小正方形分两种情形证明：A0A1A2A0,1A1,1若nl，n2中至少有一个是奇数不妨设n2为奇数，如图1，粒子从A0开始行走，至A1,，1；A0,2；A

2、1,3；，即给n11时粒子的一种行走路线若n1>l，则粒子可继续从出发，行至；A1,1至A2又给出n12时粒子的一种行走路线假设n1=k时已有如n11，n12时的一种行走路线那么当n1k十1时：若k为奇数，粒子在长为k，宽为n：矩形上的k×n2个小正方形的一种行走路线终止于处，再沿下述行走路线即可：；Ak+1若k为偶数，粒子在长为k、宽为n2矩形上的k×n2个小正方形的一种行走路线终止于Ak，再沿下述行走路线即可：Ak；Ak+1,1；Ak,2；至此，已给出n1=k+l时粒子的一种行走路线图1 由数学归纳法原理，当n1N时均可设计出粒子的一种行走路线若n1，n2都是偶数

3、，如图2，粒子从A1开始行至A0,1，然后在线段上方长为n1，宽为(n2-1)矩形的n1×(n2-1)个小正方形中行走，由1°可知粒子有一种行走路线，终止于此粒子再沿以下路线行走即可：An,1；A2,1；A1A0A1A2A0,1A1,2图2现在证得r2时粒子能不重复不遗漏连续地通过每个小 “正方体”的一条对角线 (二) r3时，此时的“长方体”即为通常意义的长方体，小“正方体”也是通常意义的小正方体如图3ABCDA'B'C'D'是一个长方休，A'B'=n1，A'D'n2，A'An3按题意将长方体ABCD

4、A'B'C'D'划分成n1×n2×n3个小正方体后，矩形A'B'C'D'被划分成n1×n2个小正方形由r2时结论，一粒子能不重复不遗漏连续地通过这n1×n2个小正方形的一条对角线，这条行走路线是一条折线，然后沿这条折面作垂直于平面ABCD的“折面”，将折线“拉直”为一条长n1n2的线段，则“折面”也“拉平”成一个长为n1n2，宽为n3的矩形Q，原长方体中每个小正方体的对角线即为矩形Q中“小矩形”的对角线仍由r2时结论，一粒子能不重复不遗漏连续地通过矩形Q中n1×n2×n3

5、个“小矩形”的一条对角线，此即为粒子通过n1×n2×n3个小正方体一条对角线的一种行走路线DBCAD'B'C'A'图3 因而r=3时也可设计出粒子的一种符合条件的行走路线 (三) 由(一)、(二)可假设，在k(k2，kN)维欧氏空间中，k度分别为n1，n2，n3，nk的“长方体”，被划分成n1n2n3nk个小“正方体”，一粒子能不重复不遗漏连续地通过每个小“正方体”的一条对角线，且这种行走路线在(k-1)维“折面”中，且此“折面”可“拉平”为(k-1)度分别为n1n2n3nk的(k-1)维“长方体”那么当rk+l时，AlA2-BlB2是一个(

6、k+1)维“长方体”，则AlA2是-k维“长方体”，设其k度分别为nl，n2，nk，A1B1=nk+1，当AlA2-BlB2被划分为(nl×n2××nk×nk+1)个(k+1)维小“正方体”时，k维“长方体”AlA2被划分为(nl×n2××nk)个k维小“正方体”，则由归纳假设，一粒子能不重复不遗漏连续地通过这(nl×n2××nk)个k维小“正方体”的一条对角线，这种行走路线在(k-1)维“折面”Q1中，且“折面”Q1可“拉平”为(k-1)度分别为 nln2n3,nk的(k-1)维“长方体”Q2，过Q作平行于A1B1的k维“折面”Q3，将Q1“拉平”为Q2，则Q3也被“拉平”为k度分别为nln2n3,nk,nk+1的k维“长方体”Q4仍由归纳假设，一粒子能不重复不遗漏连续地通过Q4的(nl×AlA2-BlB2n2××nk×nk+1)个，k维小“正方体”的一条对角线，此即一粒通过(k+1)维“长方体”AlA2-BlB2中(nl×n2××nk×nk+1)个小“正方体”的一种行走路线故rk+l时，“一笔画”问题也有一种符合条件的行走路线 由归纳法原理，我们已证得如下：定理 在r(r2，