直觉思维中预见能力培养例探(数学归纳法第3课时)

1、直觉思维中预见能力培养例探(数学归纳法 第3课时)王思俭当今世界数学教育改革的热点是讨论“如何在增长知识的同时，不断提高思维能力和解决实际问题的能力”.因此，数学教育不仅要注意具体的解题技能和解题方法，更应该注意数学知识发生过程中的思想方法，培养学生的数学能力和优良的数学品质，为此，在数学教学中，应改变驾轻就熟的“题型+方法”的教学方式，克服学生思维的被动性，选择自觉渗透数学思想的方法，尤其是通过适合的思维情境，激发学生的学习兴趣，引导他们直觉判断，培养他们的直觉洞察力，提高学生的预见能力，让学生在创造中学习，在发现中获取，在成功中升华.1.直觉思维中的预见.所谓直觉思维(也称灵感思维)，简单

2、地说，指的是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象，也叫直觉洞察力.G·波利亚对直觉洞察力作了合乎情理的描述，有独到风格与见解，他说：“在解题活动中要设法先预见到解或解的某些特征，或一条通向它的小路，如果这种预见突然闪现在我们的面前，我们就把它称为有启发性的想法或灵感。”又说“我们需要感觉到自己进展的步伐，有时，有一种不会错的感觉，我们自信地跟随它前进，它常常引导我们正确的方向。”1直觉洞察力的具体表现形式就是念头、类比、想象、判断、预见等等。预见在直觉思维中占据了核心的地位.正如布鲁纳所说：“预见的训练是正式的学术学科，但却很容易被人们所忽视的，机灵的预见、丰富的假

3、设和大脑迅速作出试验性结论，这是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富，而学校的任务就是引导学生掌握这种天赋.”2直觉思维中的预见有着十分广泛的应用，如法拉第预见了磁力线与磁场的存在，居里夫人预见了放射性元素钍和镭的存在，丁肇中教授预见J粒子存在，毫不例外，预见在数学领域中也有着广泛的应用.例如，在证明一个数学定理之前，往往是先预见其内容，继而预见其证明思路等等.预见力的重要性，也常常在学习过程中表现出来，往往有这样情形，对于某一概念、命题或问题，老师还没有解释完毕，或者题目刚刚出来，学生就说懂了，会了，“看出来了”.例1 如下图23，在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面

4、AC1，()求证BE=EB1；()若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成的二面角(锐角)的度数. (1996年全国高考题第22题)图23教师还没有解释完毕，有些学生利用()已经指出了二面角的平面角为CA1C1，而大小为45°.经论证，此预见是完全正确的.解析几可的创始人笛卡尔认为，在数学推理的每一步中，直觉预见都是不可缺少的，这是因为，可用的“逻辑材料”很多，究竟用哪一种材料必须依靠预见力进行选择，这种观点是大多数数学家所公认的，爱因斯坦一贯地把直觉预见力作为评价科学家才能的一个重要标准，所以我们在教学过程中要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的高度

5、预见力.2.数学解题中的预见“解题是人类最富有特征的一种智力活动”也是当前数学教学最重要的内容.对此，波利亚曾说过“一位好的数学教师或学生应努力保持解题的好胃口”.然而，寻找解题途径，优化解题方法，往往都离不开直觉思维的预见.图24数学解题教学，传统的教学方法是用分析法与综合法这两种基本思想方法，但我们知道，纯粹的“分析法与综合法”的教学效果并不理想，那么，在实际解题过程中，思维过程是怎样的？例2(1994年全国高考试题第23题)如图24，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中点.设AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数(锐角).直觉洞察力强的学生对解题的途径

6、有如下几种“念头”。第一种是连B1C交BC1于O，认为DOC是二面角的平面角大小为，经检验，由于BCC1B1是矩形，B1C与BC1不垂直，故此“念头”是错误的.第二种是取BC中点E，连接AE，B1E交BC1于F，认为EFD是二面角的平面角，经检验，尽管可证出B1EBC1，但DF在面B1C内的射影不在直线B1E上，所以DF与BC1不垂直，于是此“念头”也是失败的，查出第二种失败的原因，利用其有用部分，产生第三种“念头”：连线同()，AE交BD于G，则GFE是二面角的平面角，经论证是成功的，但也有的学生给出第四种“念头”，AB1与B1C成角的大小就是二面角DBC1C的大小.运用线面平行的性质将本题

7、转化为线面角，这样只求AB1E即可.这种“念头”也是成功的.对待学生思维过程中各种“念头”，应该采取宽容、平等的态度，一视同仁，究竟哪一种“念头”是正确的，难以预先确定，科学的态度是允许、鼓励各种各样的猜想、念头、预见，希望多一些猜想、预见，“没有猜想是最不好的”5，对于各种“念头”进行严密的推理论证后，正确的“念头”称为科学的预见，否则，就进行修改，找出失败原因，根据题设再作新的一次“念头”直至把问题解决.预见从何而来呢？它是依赖解题者的“题感”，类比、联想、念头，还依赖于“数学化与数学抽象”.图25波利亚高度重视预见在解题活动中的重要作用，他写道“预见是我们解题活动的中心”.于是给出了如图

8、25：波利亚把“预见”置于正方形的中央是为了表明这一点：所有已提及的各种思维活动，如动员和组织各种各样的因素，分离和重新组合它们，辨认与回忆它们，重新配置和充实我们对这个问题的构思等等，这一切都是为了预见到解或解的某些特征，或是建立在对于解的某种预见之上，这些思维活动都离不开直觉预见，所以，我们在解题教学中要有意识地有机地将直觉预见的思想渗透进去.3.培养预见力的措施波利亚说：“相对于逻辑推理来讲，我们更应该侧重于直觉的预见”，鉴于直觉预见在数学发现中的地位和重要作用， 以及在其他各领域的广泛应用，那么我们如何培养学生的直觉预见力呢？3.1创设数学直觉思维的情境，培养学生的预见兴趣爱因斯坦说过

9、：“兴趣是最好的老师”，而学生的兴趣又是依赖于传授知识的情境，所以创设良好的情境是至关重要的.在实际教学中应多介绍一些科学家的著名猜想、预见在科学发明中的重大作用，形成良好的氛围.如介绍德国数学家哥德巴赫的著名猜想的来龙去脉，以及我国数学家陈景润等人的杰出的贡献，还有费尔马猜想以及费尔马最后定理的证明情况等等，这样，激励学生的猜想欲望，培养预见兴趣，在正常的教学中，对于课本中的有关定理和公式先引导学生利用已有的知识去猜想、发现、最后论证.例如在“两平面平行的判定定理”教学时，激励学生运用类比，通过直觉思维大胆猜想判定平行的方案，结果学生提出了九种方案，这时教师指出，各种方案仅仅是一个念头，正确

10、与否要经得起实践检验，于是学生走上讲台各抒己见，证实自己的念头是科学的预见，最后仅有三种是正确的，这样，课堂气氛异常活跃，学生兴趣盎然，不仅他们的预见力在民主的气氛中得到了发展，而且大大提高了学生的预见兴趣.3.2改革教学方法，提高学生的预见力心理学家告诉我们：宽松和谐的教学气氛有益于培养学生的创造性思维、求异思维，对大面积提高教学质量也大有裨益，所以，我们应该摒弃灌输式教学方式，应该以教学方法论作为指导思想，正确运用现代教学理论，鼓励学生大胆参与课堂教学，切实落实学生的种种预见和猜测，大胆地采用“问题解决教学方式”.图26问题解决教学方式的核心是探索法，就是引导学生在发现问题解决的同时，发现

11、有用的探索性法则，探索法在教学中的重要性还在于它可以成为师生愉快合作的桥梁，可以培养和提高学生的预见力.课堂上的问题解决教学应遵循：(1)提出适当的基本问题；(2)创设研究问题的气氛；(3)进行探索性的数学发现过程；(4)总结回顾.例如：ABC的内心I，角A、B、C的内角平分线交对边于A、B、C，求证：.由内角平分线性质可联想到：是否可把这线段比用其边长的关系式来表达，再利用三边之间的某些对称关系来揭示上述性质，为此，我们作如下探索：由，可以预见到，经验证是正确的，由对称性有：.再观察一下，我们的表达式与要证的结论有多远的“距离”，是否有希望来完成要证的结论，当我们看到这三个线段比分子之和为分

12、母之和的2倍时，立即预见到利用平均值不等式，待求的比值不大于，已在我们控制之中，但要证明比值大于却出现麻烦，再利用各种不等式的性质都无济于事.为此，我们反过来想想，这个式子是否有问题呢？能否推翻？于是，我们取a=10，b=c=0.5，立即出现这个式子不成立，是否说明题错了呢？究其原因发现上述取值不对，因为三角形两边之和大于第三边.从这个失败中我们找到该比值大于的原因是两边之和大于第三边的定理，于是找到了正确分析的起点.于是，可以预见三个式子都大于，但又陷入困境，因为这样仅证明了题目式子大于，却不能大于， 这是否说明我们一无是处呢？彻底失败呢？并非如此！波利亚在谈解题的方法时都举过许多精彩的例子

13、说明应该如何对待这种探索中的失败，善于解题的关键就在于分析这里失败的原因.这时就必须整体地全面地回顾一下设条件是否用上，推理过程是否有疏忽，这样我们就不难发现，这三个比值的和为2的条件未用上，于是又预见了用“平均值法”证明，即设三个比值为+i(i=1，2，3)，i0，且1+2+3=.这样我们就控制了左端不等式.通过这样的解题实践，再总结经验，上升为理性认识，再指导解题实践，再认识，使学生在探索过程中使自己的直觉思维能力和预见力螺旋式上升，同时也大大提高了学生的探索与解决问题的能力.3.3 既教猜想，又教证明波利亚说：“先猜后证这里大多数的发现之道”，“预见结论、途径便可以有的放矢”，猜想可以丰

14、富人们直觉思维中的知识组块，训练人们的预见力，所以加强猜想的教学不仅培养学生的直觉思维能力，而且更重要的是提高学生的预见力和创造力.事物都是一分为二的，猜想也有两重性，它既具有引导我们走向真理的一面，也有能把人引入歧途的一面，历史上著名的“费尔马猜想”就足以说明这一事实，因此，“猜想必须证明，严密的逻辑推理、高度的模式抽象，正是数学区别于其他学科的主要特征.数学教学中引导学生会应用数学模型法、公理化方法和抽象分析法等数学思想方法，有助于他们理解数学理论的抽象本质，形成和发展数学品质.”6.因此，“既教证明，又教猜想”是一个重要的教学原则，这使类比、归纳、预见更加科学化，更有利于数学的发现，科学

15、技术的发明，所以，我们要从数学方法论的角度将直觉预见有机渗透到教学中去，培养学生自觉地使用直觉预见，分析和解决实际问题.如若a0，a22ab+c2=0，bca2，试确定a、b、c的大小.分析 先用实验的办法寻找线索，这时，对a、b、c的数值无法顺次一一枚举，我们可以随机地取一些数值，暂令a=1，(1)取b=1，则a22ab+c2=3+c20与题设矛盾；(2)取b=2，则c=±，应舍去 (否则与bca2矛盾).而c=满足题目条件.由上述实验可猜测b、c为正且bca号，但不能是负的(否则与a0，且a22ab+c2=0矛盾).故预见b0，c0是正确的.下面谈谈bca的预见过程.由a22ab+c2=0类比于a22ab+b20可以预见b2c20即bc，但“=”不能取(否则a=b=c，这与bca2矛盾)，故bc，接着又预见ba，这由bc0，及bca2，可得结论.又由a2ab+c2=0及ba0可预见到ca，事实上，c2a2=2ab2a2=2a(ba)0，故预见成立.由此看出，较高层次的预见能力，是基于猜想与证明的有机结合，对猜测的各种状态有时要用演绎法来验证，有时要用反证法中的归谬法与穷举法来筛选、淘汰、还要求预见者心中能同时考虑到题设中的所有条件，才能预见到满足题设合理状态，虽然这种预