初中数学联赛考前辅导

1、初中数学联赛考前辅导主编熊斌冯志刚参编者 张思汇柯新立陈建豪华东师范大学出版社preface数学竞赛对于激发学牛的学习兴趣、开发智力、培养数学探索能力和创新能力、开拓 视野冇着非常积极的作用通过开展数学竟赛活动可以更好地发现和培养优秀学生让 他们得到进一步发展同时也能提高教师的教学和科研水平促进教学改革.“全国初中数学联赛”和“全国初中数学竞赛”丁每年4月份举行.本书是为准备参加 “金国初中数学联赛”和“全国初中数学竞赛”的同学编写的辅导数学竞赛的老师也口 J以 作为参考资料.许多同学在参加“全国初中数学联赛”和“全国初中数学竞赛”前夕，都会碰 到这样的问题：应该如何复习选择什么书來看找一些怎

2、样的题來做是否还有什么知识 和内容没有复习到等等.为此我们把“全国初中数学联赛”和“全国初中数学竟赛”中的一 些重要知识和内容旋要的数学思想方法和解题技巧匝新梳理和整合椅选了一些经典赛 题和作者自编的题目进行详细的分析和解答，为同学们在考前复习提供一本有效的参考 诳料以提高学生的解题能力和应试能力.书中每一讲包括4个部分：（1）知识梳理:主要着重介绍全国初中数学联赛（竞赛）的 考试热点、难点及相关的拓展知识.以及该类问题一般的解题方法和特别的方法.（2）例题 梢讲：由绕全国初中数学联赛（竞赛）的考点、热点、旌点精选一些经典的赛题和作者"编 的题冃进行详细的分析和解答以启发学生的解题思

3、、路和解题方法进而捉高学生分析问 题和解决问题的能力.（3）实战演练:冇针对性地选择一些与该部分内容冇关的新题和好 题以利丁学生巩固强化.题目分A组、B组A组题和对容易些B组题有一定的难度. （4）参考答案:对实战演练题给出参考答案供同学们参考.木书最后给出了 4套模拟试题供同学们考前模拟测试用以检验同学们的综合能力.参加本书编写的都是在数学竞赛命题和辅导第一线的教师其中冇国家队的领队和 教练,有培养出多名国际数学奥林匹克金牌选于的敦师还有参与各级各类数学竟赛命题 的专家本书第一版的编写者为熊斌、冯志刚、张思汇、柯新立、徐惟简、黄诚、黄忠裕第二 版的编写者为熊斌、冯志刚、张思汇、柯新立、陈建豪

4、.熊斌冯志刚 2010年12月8日模拟试题（一）171175180contents第1讲实数及其绝对值1第2讲代数式变形与求值14第3讲根式22第4讲不等式与不等式组30第5讲方程41第6讲函数综合问题51第7讲面积问题与面积方法64第&讲全等三角形77第9讲相似三角形84第10讲与圆有关的问题94第11讲解三角形106第12讲点共线和线共点114第13讲一元二次方程的整数解126第14讲灵活多样的整数问题134第15讲同余及其应用145第16讲组合杂题1b4163模拟试题（二）模拟试题（三）模拟试题（四）I m 耗諒a孰绽对no11. 有理数 形如丛（"弄0.且加与是互质的

5、整数）的数叫做有理数或者称有限小 n数或循坏小数为冇理数.2. 无理数 不能用分数（包括分母为1的情形）衣示的数叫做无理数或者称无限不 循环小数为无理数.3实数 冇理数和无理数统称为实数全体实数和数轴上的点 对应在实数集 内进行加、减.乘、除（除数不为零）运如其结果仍是实数任一实数都可以开奇次方其结 果仍为实数；当被开方数为非负数时可以开糾次方其结果仍是实数.实数何无穷藝个既没有最大的实数也没何最小的实数任总两个实数可以比较 大小.设“为有理数”为无理数则“+久“一”是无理数；当“工0时几 子.-也是无 b a理数.设“、b、（、d是冇理数工为无理数.H “ + cr = Z> + &l

6、t;Ar则a = c = d4. 绝对值 一个实数“的绝对值就是数轴上表示数“的点与原点的距离记作l“|la. 当“鼻时.a I-U.当"V0时.止数的绝对值是它的木身负数的绝对值为它的相反数零的绝对值是零.5. 绝对值的性质（1）I a |a« I a I a:（2>|«A| |a|-|A|i（3）|a- | = | a L（” 为正整数n（4）lfPiii（ob（5） a b = b a ;（6）I a |I b |Ml a + 6 IVI a 1 + 1 I；（7）若 | a | = | b | 则“ =b（当 a b 同号时） J|R a =6（当

7、a b 界号时）；（8）若 a>0.则I x IW “U “W才I x | ax “或工 $ a.（洌I）若两个不同的实数“"使得u+ 和“+泾都是冇理数则称数对（“小是 和谐”的.（1）试找出-对无理数s 6使得心初是和谐"的；（2）证明：若S小是“和谐”的且a + b是不等于1的有理数则“ 都是有理数$（3）证明:n（a. b）是和谐”的且亍是有理数则心都是有理数.（2009年上海市 初中数学竟赛）【解】（1令“ =12泸仆=匸尹则（“ A）足“和谐"的.（本小题答案不是唯 的）（2）按題设（/ + b） （62 + “）= （a 6）（a + b I）

8、为有理数记为 q.因为« + 6-1 60.k为右理数所以a-b= . 为右理数.乂 a + b为冇理数所以a=（a+6）t（afr）为冇理数b=仏+小匚仏一小为冇理数.记乎=八按题KU为有理数且k（因为ab）若怡=0.则“ =0. " = / +都为有理数.当kQ时° =妙 /+“ = “"+）护 * =（+）都是有理数. 若b =-k.则”为冇理数“ = M也为冇理数.若b-k.则早¥ = £"土。为有理数.h + k少+“令仟件T =几则b（r-k'） = 1 一廉若r = k则十= 1-=1导致矛厉.所以rk

9、为有理数进而“=妙也为有理数.r k（例2）设心"及店+血都是幣数证明:石及0都是笹数.【分析】 欲证石及石都是整数只需证明石与松都是冇理数即对【证明】 先证一个引理:若几是正整数且石是有理数则”是完全平方数.役石=A p、仗为互质的止密数则= p从而Z2 I 7 I p.故y = 1所以"=忙引理御证.现在回到木题由題设知5 b为非负软数当“ =0或 =0时易知结论成立. 当S 都是正幣数时由心=（石十石）一石两边平方得b = （x/u +0 ） 2石（x/« +）+“所以r =（石+切）+“一"2（石+的曲题设知石是有理数结介引理知“是完全平方数故府

10、是滋数同理存也是整数丁是 命题得证.说明 本题中的引理是个非常敢耍的结论我们在解題中常常耍用到它希哦渎者 能够牢记.俩力 设-"是实数对所冇正整数n（2）. / + /都是冇理数证明心+b是冇 理数.【分析】 由题总/+几/ +几 都是有理数而r +胪有如下44递推关系"：严 +胪=(u + 6)(<r 1 +6,)-<A(a-+6-),所以/ + “ =(“ + (/ +沪)一/(/ + 夕).£= (a + 6)(ai+64)-<A(a, + 6,),从中解出“+”即可.【证明】设彳=a + y = of).则有小+沪=(/+护)才一(/+/

11、小 /+ / = (u* +6*)x-(a3+A3)j.消去y得) (a4 + 丹)-(a3 +61=(a2) (a5 + 6") (a3 + 6J ) (a1 +64 )»所以当（a2 +/r ）a4 +护）一（疋+疗尸工0.即沙（“一Z0工0时.=（/+/）（/ + /）（疋+，）（?+川（a2 + b2）（al +f/）-（ab3 ）2是有理数.3当ab(a-b) = 0时若“、全为0 则结论成立$若“屮恰何一个为0 不妨设“= 0则/>=44?为仃理数从而a + b = b为有理数；若少一力= 0H“、b均不为0则 a +/rI ./ + 甘/ +a f az

12、 + b: ab 2 , f2 ( (a b)2 (a2 +b2)茁+庆2_ 2(/ +/) 一 /+/足冇理数.从而命题得证.说明 本题分析中给出的递推关系：«严+胪"=(“+)(“小+一"3+"“非 常車耍遇到涉及<r + /r类空的问题时利用这一递推关系可以帮助我们解題.【宙I 5 W衣示不超过实数*的放人整数令 ”一(1) 找出一个实数才满足刃+土= 1；(2) 证明：满足上述等式的小都不是有理数.(1990年全国初中数学联赛)【分析】设Lr=叫x = a. ¥=+=伏则加、是整数0 Wa1.由题设 a + P= 1 所以 r+g

13、 =加 +乃十a + 0 =加 + + 1. 土 一(加+” +1 Xr + 1 = 0. «r = *(/n + ” + 1 士 J(加 + 打 + 1 尸4 )令加+ ”+ 1 = 3则文=y ( 3 ± 75 ) IV验证它满足+&=】【解】(1)取=上艸.则+ =匕尹丁是旳=进一2 = 牟=丄(j = ¥ 所以卜逅尹+¥=】(2)设x = m + a-7 = "+0其中八"是格数,0 <a0V 1则a + “= 1 x+A = ff加+ +1.于是x2 (/i 4- w 4-1 )x + 1 = 0"=

14、(加+l 士 J Q 加 + + 1)' 4 )当（+” + l）z = 4时工=土 1 均不满足+»=】当（m+w+1/ >4 时若（加 + + 1 ） ' 4 = k： 9其中代为正整数则（加 + ” + 1 代）（加+ + 1 + 点）=4.由于/” + + 1 怡V加+ + 1 +虹且加+ ”+ 1 怡与加+乃+ 1 +代同奇糾所以（/” + “+ 1 k = 2« 円 + + 1 点=2 （/” + + 1 + 斤=2 i 加 + + 1 + 点=2均不可能故</:+/i+1）2-4不是完全平方数从而才是无理数.I兑明 刈于铁系数一元二

15、次方程or"十处十（=0若4 =夕一仏（>0）不是充全平方数则它的根是无理根.下面我们來讨论儿个与绝对值冇关的问题.呦弓】若实数“"满足3石+ 5 "1=7.求S = 2石一3 |的取值范围.（1997 年全国初中数学联赛）【分析】利用已知条件分别消去得21 + 5S=19石 14-3S= 19 I A h再利用石与“ I是非负数便可得S的取值范围.【解】由题设分别消去/八S御21+5S= 19 石.14-3S= 19 | 6 |.而阳>0. | b |$0所以J21+5SN0.114-3S>0<所以一警反Z若s满足不等式一耳w sM &#

16、165;则易知存在“、b満足題设条件.所以所求的s的収值范隅为一¥ WSW#.俩 U 关丁的方程|疋一2|#|+3| = 2丿9一5+ + 一1有儿个实根？（1998年全国髙中理科班招生考试试题)【解】由于.r2-2 |x|+3= <| |-l>2+2>0.所以原方程可化为2|乂|十3 = 2|工3|1.(D(1)当 x< 0 lb|.方程为 x2 +2x + 3 = 2(3-x)- 1,即解得才+4工一2 = 0x = 2±虫结合工VO.得厂=2尿(2) 当0 <x<3时方程为云一加+3 = 2(32)1即/ =2.解御工=土血 结合0

17、£«rV3得r =血(3) 当工$3时方程为x2-2x + 3 = 2(工一3)1即，一4工+10 = 0.此方 程无实根.综上所述原方程冇两个实根.说明 在解答与绝对值冇关的方程和不等式时常常需耍把绝对值符号先公抻.J： 是我们就必须分儿种惜况來讨论这是我们处理含绝对恠的方程和不等式的常用方法.Cl 7)求使方程I x-1 |-| x-2 1+2 I 才一3 =c恰好仃两个解的所仃实数c.(1997年全国高中理科班招生考试试题)【解】 先作出，=丨才一 1 1一1才一2 |+2|才一3 I的图彖由y = I .r 1 |I x 2 |+2 I*3 |一2工+ 5当工V 1

18、时._ 3.当1工2时.-2x4-7,当 2 W*V3 时,图1-1可紂图彖如图1-1所示：从1*1 1-1中可知肖H仅当l<r<3或f>3时= c的图猱与y = | x 1 | | x2 |+2 | x 3 |有两个不同 的龙点所以所求的“为1 VcV 3或”>3说明 本題解答所用的方法於“数形结介法二通过函数 的图彖可以"Il观”地解决问题.本題也可以通过分类讨论 的方法解决.请读者门己试一试.俩8】已知实数a、b、v满足不等式I “ INI b+c I I “ |玄| c + a | | f |羽 a + "求证：ahrc = 0. （2000

19、年上海啦陆中理科班、数学班招生考试试題 【证明】由题设对三个不等式两边平方得/»+2%+宀If 2（" + 2皿 +«2 cz 2 / + 2ub 十 b:«把上面三个不等式相加便得0 N / + 於 + F + 2ab + 2bc + 2cu 即（“ + 6 + d所以“ + " + c = 0说明 两边平方这也是去抑绝对值符号的-个常用方法.需要注懸的是在两边平 方前先观察一下两边是否都是非负的.（宙I 6 l2知实数 “、c 满足:a + b + c = 2. <it）c = 4.（1）求s 6.1中的最大者的最小值$（2）求|川+

20、 “| + |（ |的最小ft.（2003年全国初中数学竞赛）【解】（1）不妨先设“ =max a, h. c再求“的聂小值.由题设知“>0且+ = 2 a. be = 2a因为（b+c）24bc.所以（2 a）4 aa 4/ + 4a 16 $ 0 （a: +4）（“ 一 4 ） $ 0.所以，心4.乂当“=4. h = c=-ll.满足题设条件所以纵的最小值为4即u、b、c中的最大 者的最小值为4.（2）冈为“（ = 4 >0.所以s /八c为全大于0或一正二负.若a、b、（均大于0由（1知“、b、（:中的最大者不小于4 这与“ + +（= 2矛质. 若似/八（为一正二负不妨设

21、«>0, A<0- c<0.则I a |+| b |+| c | = a b c = a （2 a） = 2a 2.由（1）知4.所以I a |+| "| + | c |2 X 4 2 = 6®当a = A. b = c = 1时等号成立. 故lal + IM + ld的最小值为6.【实战遇绒】9#(I) 2（第2邂图）).(C) 3(D) 44-已知+-3=】那么代数町+的值为（）.（1999年全国初中数学竞赛）(B)-鲁<a）45.有下列三个命题:（甲）若s P是不相等的无理数则邛+aB是无理数.（乙）若a、0是不相等的无理数则需是无理

22、数；（丙）若a,是不和等的无理数则心+折是无理数.其中正确命题的个数足（）.（1999年全国初中数学联赛）（A）0（B）1（C）2(C) -75(D) 75(D) 3一.选择題1若 | (3a 6 4Xr |+| (4a + 63)，| = 0.且jy 工0则 2a-3b等于( (1999年全国高中理科班招生考试试题)(A) -1(B)0(C) 12. 已知二次函数.v = ar:+/zr+c的图線如图所示并设M = | “ + c | | a b + c l + l 2“ + b | I 2a b 则(>.(2002年全国初中数学联赛)(A) M>0(B) M = 0(C) M&

23、lt;0（D）不能确定M为正、为负或为0!3若一 b、（均为软数11满足（a-b + Ca-c :则 I ab |+| bc | + | c a | =(A)1(B)2#二、埴空题如果实数 “、b 满足条件a2+b2 = 1, | l-2a+6| + 2a + l = b2-a 则二#6. 12知关于文的方程I a I x = | u + 1 I-X的解为1那么有理数紀的収值范阳是 ;若关于工的方程| “ |工=| “ + 1 | *的解是0则a的值是（1997年 “希电杯”数学邀诸赛）«.若关于文的方程丨1 一工| = /山冇解则实数加的収值范閘是.<2000年上海市初中数学

24、竞赛）三.解答题9. s 为冇理数JL * |>0方程x-a 1-61 = 3冇三个不相等的解求的值.（第七届“华罗庚杯”少年数学邀请赛决赛）10. 令工=宀 + 舟 + 舟.求文的最大值与赧小值的和.（笫八届“华罗庚杯"少I « I丨0 I丨如年数学邀诸赛决赛）11. 已知实数s "满足/ + "+/ = 1且t = -a2-/r 求f的取值范围.B组12. 已知实数一 b、“ 互不相等-ILa + j- = b +丄=c + -j = </+丄=工求工bcaa的值.（2003年全国初中数学联赛）13. 有一无限小数A = 0. aiata

25、3d4其中匕仃=1 2是0. 1 2.9中的一个并且5是奇数“2是偶数等于尙+“2的个位数血等于血+的个位数“十 是心+如 的个位数5= 1- 2. ）.证期:A是有理数.14. 如果在小数点后依次写出一切止整数得到一无限小数：A = 0. 123 456 789 101 112 131415>证明：人是无理数.15. 设心几2是任爲:实数证明恒零式I I X y | + x +j 2z |+| x y | + = + y+2z = 4max x> y. z.其小max #“表示/、y、z的最人（ft16. 设冇理数心，满足等式x5+/ = 2.rV 证明：1 一人y是有理数的平方

26、.17. 足否存在这样的实数a和旅使得对毎个正胳数畀$ 2.（1）a+6是有理数而a+r是无理数；是无理数而<r+/r是有理数.18. 设个互不相同的有理数任意两个不同数的乘积均是整数证明:任意k(2 < ym个不同数的乘积也是整数.凰嗟老答剽1. A.f 3u b 4 = 0,由题设得解得“ =1"=一1所以| 2a |-3 b=- 1.|4° + 6 3 = 0.2. C.由图彖町旬“ > 0 0 V 1所以得"V0. 2“+>() 2“一。>0 X x = 1 2a时“ 一 "+ c > 0；半工=1 时“ +

27、+ f V 0故M = (° + " +(、)一(“ 一 b + C + (2“ + 6) (2“ 一 Z0 =-2(a-6 + c) <0.3. B.因为八(均为整数所以a-b和“一“均为整数从而由(a-6),0 + G/-c)10 = 1 可得f I « 6 | = 1,或 H a Z> | = 0,I | ac | = 011 a c =1.若仁 . 则a = c.从而I | a-c |=0I a b | + | b c | + | c a | = | a b |+| b a +1 a a = 2 a b = 2. a b = 0. 若i , 则

28、a=b.从而I I a-c 1= 1.I a b |+| b c | + | c a | = | a a | + | a c | + | c a = 2 a c = 2因此， a b | + | b c |+| c a = 2.4D.山題设知s丄都是正数.所以山(丄一1“丨)'=1得A +1 u I2 = 3.(丄 +1 a | ) = 5丄 +| a | =罷.v afa5. A.因为 aR + a 卩=(a 1)(0+1) + 1令° = 1+ 0 = 1 + 挖则 a/3 + a 0 =3为有理数故(甲)不对.令a = 2血，=血则瞎 =£是有理数故(乙)不对

29、.a r p J乂令° =运,=一血贝1页+护=0为有理数牧(内不对.6一1.因为 /+F = 1 所以一 11. 1 =(1( | l-2a+b |+2a+l = 62-/可得 | 1 一2“+"丨=F 於 一 2“一 1 = - a2 -a2 -2a- =-2a2 -2a.从而 2al 2“$0解得一1 =从而 1 2“ + 玄 0因此 1 2a + b = 2a" 2“ 即 1 + “ = 2a* = 2( 1 ')整 理得2H3 = O解得6=-1(另一根舍去).把/,=_ 1代入1+"=_2/计毎可徇“ =0所以ab=-.7. a 0；

30、 1.8. m V 1 或加 M 0.* < 1 时 1 x = ir (m + 1 ).r - 1 /所以 一377 < 1 务f > Q.m十1加十1m + 1得 m > 0 或 m < 1 $ 当 x 1 时 w.r 1 = tr (1 m)x = 1 x = :-所以 :-玄1 m1 m1. 一= = 00<,/1<1.而当加=0时方程显然冇解故加的取值范国是加<一1或 m 1m N 0.9. h = 3.原方程可化为丨x a I =士 3.即丨一4丨=b± 3若6 3与"+ 3均人于0则 压方程的解为a±(

31、6 + 3), “±(一3易知这4个解两两不同；若6-3与"+3中恰冇 一个为0则当6-3= 0时原方程有3个解+3 = 0时.原方程只有一解；若b_3与 + 3 中冇小于0的则原方程的解少于3个故A = 3.10. 2.当a、b均人丁0时= 3;当s 均小J： 0时才=1;当“>0"V0或“<0b>0时工=-1.所以x的最小值为一1 最大值为3.11. 3 £ f M/ = ab a: / = a/> (1 ab) 所以 ab =，扌 I 乂(u + 6)* = a2 +6" + 2a6 = 1 + ub = 彳所以f

32、 + 3$01 2 3因为所以宁豪4 甲，得/<-寺.所以"的取值范围为一 312. ±42.由题设有(D1“十万=4+ = XtC1°+万=工d+丄=工a由得 =代入得r = ?，再代入得X ax or 1<Ar3 Gad + 1 )jr2 ( 2c/ a)x + cxZ +1=0.由得cul + = or.代入得(J a)(x3 2x) = Ot所以Hx2-2> =0.若工=0则c =二 = “与Li知条件矛厉所以x2 2 = 0即X =±7213. 由题设条件可知A的各位数字有如下规律:八=0奇偶奇奇偶待奇偶奇毎一个非负有序整数对

33、(奇偶奇)有5X5X5=125种不同的数对因此在前126个 这样的数对中至少有两对相同所以A是一个循坏小数即人是有理数.14. 假设A是有理数则A是循坏小数且循环节是从第位后开始由位数码组 成的考虑数1000(共m * 2”个0它必在A中出现J'是000(共m4-2n个0)中至 少有一个循坏节即循坏节的所有数码为0不可能.15. 记恒等式的左端为A.(1) 若工=max , z 则 x $ y x $ s 于是A = | x x + y 2z | + »r-，+ .厂 +，+ 2乂=2 I x z |+ 2vr+ 2z = 2x 2z+ 2x+ 2z=lx.(2) 若 y =

34、 max , js z 则 y $ 才 y $ n 丁足A = | y 才 + z + y 2n I十，一工 + 工十，+ 2乂=2(y 一 z) + 2y + 2z = 4，15(3) 若 z = max x. z则y.于是A = | 2max (x. y 2z | + 2max y + 2z=2 2max (x# y + 2maxx. y + 2z=z.16. 若p = 0.则1 p =结论成立.若Q H 0则利用条件可得1 一Q = ()2结论也成立.17. (1)存在例如取糾= 2+72. b =-72 则a + b= 2是冇理数而= (2 +血)"+(血)"是无理

35、数.(2)不存在参见例题3.18. 设© /足给定的冇理数中的任盘A个若点足偶数则=(GU2 )(“|U| )显然是整数.若怡是奇数因为aaz999ak)' =)(azak i )*-(a4U|)是整数而"心血是有理数由例题2的引理知血血足整数.#代馨式査带与汞IS【识楡理】进入中学以來由于字母代替数字的概念的引入对数学的认知也经历了一个飞跃. 对应于数的四则运算代数式的变形与计算也是代数学科中最基础的部分熟练而富有技 巧地进行代数式变形、化简并保持高正确率是学好数学的必耍条件.代数式变形主要包括对多项式、分式、根式进行的变形，本讲主要向读者介绍一些多 项式及分式变

36、形的方法.【洌题镭讲】【洌I )己矢II实数心b、丿满足么+ =工+y = 2. CLV + by = 5 求(/ + /")巧+ abjc' + y )的值.【解】 由 “+"=才 +，= 2得(° + ")(.厂+)=ar + l>y +ay + Zw = 4.因为ax + by = 5 所以ay + lix = 1.因而.(a: + b: )xy + ab(j：2 +')=(ay + Ztr) (ar + by) = 5.輛勿已知丹=齐=丹=十；，求丰+丰+由题设得工 +，+ N + M H +，+ N + M _ 工 +，+

37、 Z + M _ 工 +，+ Z + My+z+"n+m+hx+y+z< 1)若Q + y + N + “ H 0.则山上式可得N=y = N = M,从而斗十吿+中+性！ = 1 + 1 + 1十1 = 4.Z V U W + JT 才十 y y 十Z求下式的值:(2) 若 n十 y + z + “ = 0,则 x + y = (z+“)，y + z=(” + /),从而 哇斗蛙斗进 + 些1 = ( 1)+(1) + (1) + (1) =4. N 十 M u r X /十 y y zP_1Oo + 5OOO + 2-200 + 5000 + + 99-9900 + 500

38、0-【分析】求和的式子中每一项都可以表示成10負+ 5000的形式着重考虑这个 分式的变形.r鯉1忙=2/=2加k2 - 100Z? 4- 5000 2於 一200/? + 10 000 於 +(100 小八H於.(100 "J 上：x 100Zr + 5000(100 -Zr)2 - 100(100-+ 5000=2 代|2(100 ".X +(100 丘尸十(100&)? +於=2.由此可得:原式=(1100 + 5000 +9炉 .+ (49?+992 一 9900 + 5000 丿' 492 一 4900 + 500051?) |502512 -51

39、00+ 5000 丿十 502 一 5000 + 5000说明 对通项的分子分母同乘2发现可以首尾配对是本题的关键.【例5 心n为正实数 11满足xyz = 1 /+丄=5. y+丄= 29.求n+丄的值. zxy【分析】考虑文+丄、，+丄、z+丄的乘积化不对称为对称.zy【解5 29 （z + *）= G + 2）（，+ +）（z+ +）由此解得：=1+ ("»)+(+2)+ G+*)+l =36+(十 +).乂 +丄=卞y4说明 本题亦可通过己知三式求出工=*, y= 24, z = 寻从而求出z +丄=+， 读者不妨一试.的T已知心为正实数且j击=0,求（+（&quo

40、t;的值. 【分析】由于（#）'+ （汀=仔+ #）仔十汀一3，所以转化为求# +【解由+鳩=0得:丄_丄=1 a b a + 5*a±J)_a±bb由于¥ + #=J（¥_#）+4 =卮所以 宙+（舒=仔+弭仔+肘|=2尿、说明本题通过分析法得皆只须算吋+邦值”这-结论，又用条件得吋-才 的值从而求出y + f的值.这种“两头凑”的方法希卑读者能熟练运用.【钢b） 一列数4,心，心满足对于任意正罄数”都有a +的+心=n 9aioo求一+ + +一的值a2 1“3 1a wo 1【解】当2时有如+的+ Cg ="1 + 色5-1 =

41、(ri 1)两式相减得aH = 3n2 3n + 19所以1 _ 1 ( 1 3/( 1)3 I”一 12, 3他1+古+ +«100 11 _100)=+(1 + )+*(寺一寺)+ +99Lh1 33亍(1100/100"【洌?】己知“、b、c为正数满足如下两个条件:a + " + c = 32. + e 4 I C + & 1 a + 一 c _ 丄 becaab4 '求证：以石.血为三边长可构成一个宜也三和形证法一将两式相乘，得r+；“+严+"龙-+/+)=8,即即即即(6 + eV a: (c + a)2 b: ( (a + 6

42、): c2/ 1 1 ； = « beaiar)(h c)"cC 4 i a + a)， b:f i (a + b):c"becaab(b小a' . (c a)? b . (a + )' 一 =(/*atcJ)lb (十“)(一c a) I (c a + )(c a b)丄(d + "+c)(a+Z> c) n示HHJ)_0,即；+&)a(b c a) b(c a + b) + c(a + + c) = 0abc即5; + "> E2ab 一 / _ /+ F = o.即 G； + G R2 一(“ _ “)

43、2 = o.cuKabc即(c + a b)(c a + />) = 0.(J)c所以"一c + a = 0 或 c + a b = 0 或 c a + ” = 0即 ”+a =(或 c + a = b 或r + 6 = «. 因此以石、石、o为二边长可构成一个直角二角形.证法二 结合式，由式可得32zl2«_|_32zl26+322c= 1，变形，得hecaab41024 2( a2 + 62 + c2) = ahc 4又由式得a + b + M = 1024,即r+F + c? = 1024 2(" + 加 +口).代入式得即1024 2102

44、4 2( + be +ca) = abc,4abc = 16(" + be + m ) 4096.(a 16)(一 16)(c 16) = Uk 16(" + be +ca) + 256(“ + 6 + c) 163 4096 + 256 X 32- 163 = 0.所以“ =16 或/»= 16或 = 16.结合式可得"+ “ =(或。或c+/;= a. 因此M歸、托、長为三边长可构成一个肖加三也形.A组1. LaJll X2 X 1 = 0 ,求 F 2 J* + 1 的值.2. a为方程= 0的根求_ 的值.3己知 a = 2 + b_ c = 2

45、 /3 t求 / + / + 疋一 be ai 的值.4. 己知|文=丿19 8代，求+_6匸一?节1严十23的值x 8 + 155. 己知 x + y = 1, x2 4-y = 2,求 / + y 的值.2/L>/5 1+ a1 Za a2 a2 砧居6 设a = z，求s 的值.La a7. 己知a"为方程卡一4工+1= 0的两个根心为方程/ 5乂+2 = 0的两个根, ci | b | e I d*-p9/-9./, If + 疋 . d2/+ + a+c+d ct + bd 十 a + /+8. 己知(y z) + (z = )' + (工一= (y + z

46、2h) + (才 + z 2y) + (工+ y 2zY 求证:x = y = z.B组9己知4、工2为方程/ +工一3 = 0的两根求才一4疋+ 19的值.10. 已知広、y、z为正实数且F+b 一 £ “+土*工2一，20"I0"OA * *cxyLyzLzx求证山、y、Z为某个三角形的三条边.11. 已知X、_y、Z为正数且力*(才+歹+ 2T)= 1求表达式Cr+_y)(y+w)的最小值. 臭【参若答剽1. 2.注总&彳一2乂 + 1 = ( X2 乂十(,一乂 一 1) + 2=(j- + 1) (x2 j 1)+22. 20.(a l)(a +

47、 1)" 9a 1 = (a l)(cf+a+l)9a= cf (a l)(a +又由a满足q - a = 0知:aH 1所以a' (a + 1)'a' + a + 13. 15.令 S = / + / + 疋一一弘e 则2S = 2a2 + 2b: + 2c2 2ab 2bc 2cu=(a-/;)2 + (6-c)24-(c-u)2=(2 + 佰)'+(2-73 )+ (2+x/3 )+(2-73 )J=7十4妬十7 4打+ 16=30.故 S= 15.工=V19-8x/3 = 7(4-73 )' = 4-73 .故 2 满足(工一4尸=3.

48、即 2-8.r+13 = 0< 故工'一8工+15 = 2.土 一6工3 2十 + 18工 + 23 = (F 8.t + 13)(F +2工+1) + 10 = 10. 所以，原式=学=5xy =寺（攵+，）？一（+ «/） = y（l2 2）=寺,土 + b = a+p）（十一巧 + b）=i 7 十+y = (x2+y )2-2(xy)2 = y.is壬966 J6 H (= + J+q+3J6J+q+r 一 m(J +9 +3I 6p +(p + v +31 6J一 Ju m =+J+u P+J+0 (p + J +31 6v +(p + J + 9) 6= I

49、 , + * + 士 + *MM!6 + + u 罡 G Hp + J 斗 Hq + r -谑第迟L 8 Tl(+z)bHl(、+H)(、+H) H N+JAv + 卜 +co 门 + Ge H6i + $+ziihi£ h61+ (Eeo)bH 61+hvhfrBYZ 二H q+ Q “屋®渕却F-s OH eq+Ho H E+ 茁主至 eK邑 OH e h+Hsia坯 HR E.06o H 姿一 OH =uz)4 + z(2 x-)z + =i .r)zs 0 H(.12)(71>>)+uI ()NI .r)+(z 13)(2 I -T) + (/ -r)

50、(K* 2)+?c -T)(-c z) + (-T 2) (.r + z(z 2) + z(2 >») + z( r) 0 H (2 () (2 -r)z + (x-.r)(x-z)z+(.r2)(.rz +、.r2) + >2+>K*.r)0 H z(3z) n I z(2 i) ZMZ 3) + (z .J+ z (>>z) + (312)+ z(.TI2) +(_rl>>)s OH二亠卫人力“巾二心巴+占+二匕+人右“+巴)=4（才】+孔）+4= 4*（- 1）+4 =0.10. 原不等式两边同乘以2兀ys得z（x + y z"

51、;） +z *） + y（ z +./ y） 2xyz 0.因式分解得（y+z工）（z + j 3，）（工+，一刃0（这里可以将工看作变量将，、z 看作常量将#z代入式左边发现左边为0,由因式泄理得（y + w工）为其一个因子，同理有另两个因子），若yz x, z + 力一工+ y z均人于0,则原命题成立.否 则其中冇两个负的，不妨设y+sr «rV0 h + t yV0相加得2z0与z为正数矛 厉.所以这种情况不可能发生，即结论成立.11. 反用内切圆变换（即令“ = # +b= y-zc = z-x.利用工、y、z构造出三 角形三边），设这个三角形为 ABC.则由海伦公式得S砂

52、=/（" "）（”一）（"一c）（P = " +号十"）=/y + zxyz .由已知条件：S“bc = 1,于是Q + WO+厂=”=举贅 2.sin C当/XABC为直角三角形（ZC=90°）时（工+，）0+乙）取最小值为2.说明 本题是1989年全苏数学奥林匹克试题也曾改编为2002年上海市初屮数学 竞赛决赛试题.【io识擀理】根式问题是初中代数的重要内容z,也是初屮数学竟赛的热点问题常见的考杳形 式有：1. 根式的恒等变形：包括格式乘除、因式分解、配方、拆分等多种恒等变形技巧的综 合运用，其中两个常见处理形式有：（1）复合二次根式丿在莎的化简（平方法、配方法、待定系数法）;（2）利用有理化因式（又叫共緬因式）化简、估算.2. 与方程、不等式、简单数论知识的结合.【洌I】 化简+ 的结果是（ ）.（2005年全国4+ 丿59 + 30血3- 766-402初屮数学联赛）（A）无理数（B）真分数（C）奇数（D）偶数【分析】分母含冇复合根式宜接分母冇理化太繁锁考虑先将复合根式化简.【解】原式=/ I I/ I ”4 + 丿（5血 + 3 ）3 v（5>/2 4 ）7 + 5/27-5a/2故选D.【洌2）役亠4," = +-*, 21 1Jr x/r + 1厂(斥 + v/T+T)则下列选项中一淀成立