线性代数：第6章 二次型

1、第六章 二次型二次型的理论起源于二次曲线（曲面）的化简问题，它在力学、物理学以及数学的其它分支中都有重要的应用。本章主要介绍二次型的定义、标准形和正定二次型。1 二次型的基本概念定义1：形如下列形式的函数：称为关于变量的元二次型函数。简称为二次型。记，则有，亦记为 。式中对称矩阵称为二次型对应的矩阵，的秩的定义为二次型的秩。 称为变量的线性变换，记，则变量的线性变换又可写成。如果可逆，称为非退化的线性变换；如果不可逆，称为退化的线性变换。在本书中要求矩阵可逆。如果为正交矩阵，称变量的线性变换为正交变换。 性质1：二次型经过线性变换后仍为二次型。证明：， 因为 ， 对称，为新二次型所对应的矩阵。

2、定义2：若阶方阵，存在可逆矩阵，使得 ，称矩阵与合同。容易验证下列性质：1）与合同；2）若与合同，则 与合同；3）若与合同，与合同，则 与合同。由于矩阵可逆，所以合同的两个矩阵的秩相同。例1：验证 为二次型，并写出该二次型对应的矩阵。解： 。从而二次型对应的矩阵为 。2 标准形只含平方项的二次型称为二次型的标准形。本节的一个重要结果是：任一二次型可经过变量的线性变换化为标准形。系数在实（复）数域上的二次型称为实（复）二次型，这里讨论的二次型指的是实二次型。由第5章可知对于实对称矩阵，存在正交矩阵，使得。对于对应的二次型，取，则有 （为的特征值）。从而任一实二次型一定可以化为标准形。实际上复二次

3、型也有类似的结果。 例2：求二次型的标准形。解：二次型对应的矩阵为，。的特征值为 ，（三重根）。当时，单位化得 。 当时，。施密特正交化得： ，。单位化得：，。取 ，则为正交矩阵，作线性变换 ，则有 。除上述方法外，还可用中学的配方法将二次型化为标准形。下面以具体的例子来说明配方法。例3：用配方法化二次型为标准形。解：令，即 ， 可逆。则。令 ， 即 ， 亦即 ，可逆。记 ，作线性变换 ，则有 。 配方法的思想是：选择某平方项的未知量，把所有含此未知量的项放在一起，添加一些平方项配成完全平方项，再用递推法做下去。若只有交叉项，采用例3中开始的做法构造平方项，再按上面方法继续。需要说明的是如果未

4、知量较多，用配方法比较麻烦，这里只作一般了解即可。对于实二次型的标准形，适当排列未知量的次序可使 ，为二次型的秩，（）。再作线性变换：则有 。上述形式称为实二次型的规范形。关于规范形有下列定理。定理1（惯性定理）：实二次型一定存在线性变换化为规范形。而且规范形是唯一的，即规范形中的是确定的。证明省略。规范形中，称为正惯性指标，称为负惯性指标，称为符号差，惯性定理说明实二次型的线性变换不改变二次型的正（负）惯性指标。3 正定二次型本节仍在实数域上讨论二次型。定义3：元实二次型，如果对任意实维列向量，均有，则称为正（负）定二次型，对应的对称矩阵称为正（负）定矩阵。若把定义中的改为，则称二次型（或矩

5、阵）为半正（负）定的。例如 为正定二次型， 为半正定二次型。定理2：关于元二次型正定，下列命题等价：1）正定（正定）；2）正惯性指标等于；3）的特征值全大于0；4）存在可逆矩阵，使得 ；5）存在实可逆矩阵，使得 。证明： 若不然，即有线性变换，取 ，则有，矛盾。由惯性定理，可知2）与3）等价， 2）与4）等价。4）5），记 ，则有 。5）1） ，因为 可逆，所以 。从而 。从而正定。对于对称矩阵，称为的阶顺序主子式。于是有下列定理：定理3：正定，当且仅当的各阶顺序主子式全大于0。证明省略。例4：判断二次型 是否为负定二次型。解：因为 ，对应矩阵为，的各阶顺序主子式：，。所以（）正定，从而负定。

6、例5： 取何值时，二次型是正定的？解：对应的矩阵为，若正定，则，解得 ，即 时，二次型是正定的。例6：设元实二次型和，且正定。证明存在可逆线性变换，使得这两个二次型同时化为标准形，。证明：因为正定，故存在可逆矩阵，使得。考察矩阵，有，所以为实对称矩阵。故存在正交矩阵使得 。令，则。 。取可逆线性变换，则有，。 这个例子是把两个二次型同时化为标准形，它在微振动理论中是十分有用的。对定理2和定理3稍作修改，可得二次型半正定的相关结果：定理4：下列命题等价：1）半正定（半正定）；2）正惯性指标；3）的全部特征值大于或等于0；4）存在可逆矩阵，使得 ；5）存在实方阵，使得 ；6) 的各阶顺序主子式大于或等于0。习题六1. 写出二次型的矩阵表示形式：1）；2）；3）。2. 化下列二次型为标准形：1）；2）。3. 判断下列二次型的正定性：1）；2）；3）。4. 为何值时，下列二次型是正定的：1）；2）。5. 如果二次型，对于任意维列向量，都有。证明。6. 如果是正定矩阵，证明是正定矩阵。7. 如果，是阶正定矩阵，。证明为正定矩阵。8设是实对称矩阵，证明当实数充分大之后，是正定矩阵。提高题1. 如果为正定