微积分：改D12()习题课

1、例例. 设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例.机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 1. 设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域 .2. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f3. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x1. 解解:e)(x2机动 目录 上页 下页 返回 结束 f2. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f63. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12x

3、xfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(li

4、m1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例. 设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 设 f (x) 定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (

5、21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e)(lim12sincos0 xxxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xy例例. 确定常数 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxx

6、a故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 (2000考研)机动 目录 上页 下页