几何与代数：第2章 行列式习题课

1、第第 2 章章 行列式行列式习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、练习题三、练习题一、主要内容一、主要内容定义定义 定义定义n阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211det ;)det(det111111aaAn 时，时，当当）（1111121211111122det,( 1),11nnjjjjnAa Aa Aa AAMMAjn （ ） 当当时时，其其中中为为划划去去 的的第第 行行第第 列列后后所所得得的的阶阶行行列列式式，11jjAa称称为为的的代代数数余余子子式式。|,detAA记号记号1 1、n阶行列式的定义阶

2、行列式的定义性质性质1 1 行列式按任一行展开，其值相等，即行列式按任一行展开，其值相等，即1122det,( 1),1iiiiininijijijijijijAa Aa Aa AAMMAijnAa 其其中中为为划划去去 的的第第 行行第第 列列后后所所得得的的阶阶行行列列式式，称称为为的的代代数数余余子子式式。2、n阶行列式的性质阶行列式的性质 性质性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零为零. 即当即当 aik = ajk ， ij, k=1, n时，时，det A = 0. 推论推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零若行列式的某一行全为

3、零，则行列式等于零.性质性质3 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211 nnnniniinaaabbbaaa212111211 nnnniniinaaacccaaa212111211 性质性质4 4（行列式的初等变换）若把行初等变换施（行列式的初等变换）若把行初等变换施(1) 将将A的某一行乘以数的某一行乘以数k得到得到A1，则则 detA1 = k(detA)； (2) 将将A的某一行的的某一行的k(0)倍加到另一行得到倍加到另一行得到A2 ,则则 detA2 = detA；(3) 交换交换A的两行得到的两行得到A3, 则则 detA3 = - detA.于

4、于n阶矩阵阶矩阵A上上： 推论推论 若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值为零为零.性质性质5 5 设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则).)(det(det)det(BAAB .det)det(AA T T方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式定理定理1 1 方阵方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为det A0.定理定理2 设设A, B为为n阶方阵，则阶方阵，则 推论推论1 设设Ai (i=1, , t)为为n阶矩阵，则阶矩阵，则).(det)det)det(121ttAAAAA（ 推论推论2 设设A, B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且AB=I (或或BA=I)

5、, 则则B=A -1. 行列式性质小结：行列式性质小结： 二、三类初等变换二、三类初等变换 ：1.1.换行反号换行反号 , , 2.2.倍乘倍乘 , , 3.3.倍加倍加 . . 三、三种为零三、三种为零 ： 1. 1.有一行全为零有一行全为零 , , 3.3.有两行成比例有两行成比例 . . 2. 2.有两行相同有两行相同 , ,四、四、 一种分解一种分解 . .五、五、.DD T T一、按行展开一、按行展开 ：ininiiiiAaAaAaD 22113 3、克莱姆法则、克莱姆法则., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,2122112222212111212111所所得得到到的的行行

6、列列式式，换换成成常常数数项项列列中中第第）是是把把系系数数行行列列式式（其其中中那那么么它它有有惟惟一一解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组njjjnnnnnnnnnnbbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 克莱姆法则的理论价值克莱姆法则的理论价值., 0., 22112222212111212111惟惟一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必为为零零解解，则则它它的的系系数数行行列列式式解解或或有有两两个个不不同

7、同的的如如果果上上述述线线性性方方程程组组无无定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它它的的系系数数行行列列式式必必为为零零组组有有非非零零解解，则则如如果果上上述述齐齐次次线线性性方方程程定理定理定理定理一、逆矩阵的一个简明表达式一、逆矩阵的一个简明表达式引理引理1 设设A=(aij)n,n，则则 jijiAAaAajninji,det011引理引理2 2 设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则,)(de

8、t*IAAAAA 定理定理 1 方阵方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为|A|0。当。当A可可逆时逆时,则则.det1*1AAA njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,4 4、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵矩阵A中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数r，称为，称为A的秩的秩定义定义秩，记为秩，记为R(A) = r. 矩阵的秩的另一种理解：矩阵的秩的另一种理解：010.ArDrDArA 设设在在矩矩阵阵中中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话）全全等等于于 ，那那么么称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非

9、零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵的的秩秩基本结论与性质基本结论与性质.),(,)(.0004kARkkAR);,min()(nmARnmA05.阶阶矩矩阵阵，则则为为设设);()(ARARAT T，对任意矩阵对任意矩阵6.)(nARAn可可逆逆阶阶矩矩阵阵7.1. R(A)=0 A=O；2. R(A) r A有一个有一个r 阶子式不为零；阶子式不为零； 3. R(A) r A的所有的所有r +1阶子式全为零。阶子式全为零。 (满秩矩阵满秩矩阵可逆矩阵可逆矩阵 降秩矩阵降秩矩阵不可逆矩阵不可逆矩阵)定理定理1 1 初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。推论推论 对任意矩阵对任意矩阵A

10、, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，其中其中P, Q分别为可逆矩阵分别为可逆矩阵.)(,标标准准形形即即任任何何矩矩阵阵都都等等价价于于其其的的标标准准形形称称为为其其中中使使得得都都存存在在可可逆逆矩矩阵阵对对任任意意矩矩阵阵AOOOIrARQOOOIPAQPArnmrnnmmnm 定理定理2 2有关矩阵秩的定理有关矩阵秩的定理推论推论 同型矩阵同型矩阵A与与B等价的充要条件是等价的充要条件是R(A)=R(B).( (一一) )计算（证明）行列式计算（证明）行列式( (二二) )克莱姆法则克莱姆法则二、典型例题( (三三) )矩阵秩矩阵秩1利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式

11、计算例例 计算计算.333222111222nnnDnnnn ( (一一) )计算（证明）行列式计算（证明）行列式解解1212121333122211111! nnnnnnn )1()13)(12( !nn )2()24)(23(n)1( nn!.1 !2)!2()!1( ! nnnnnnnnnnD222333222111 2用降阶法计算用降阶法计算例例 计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解abcdbadccdabdcbaD1111)(4 abcdbadccdabdcbaD1111)(4 dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcba 0001)(dadbdccbcacdb

12、cbdbadcba )(dadbdccbcacdbcbdbadcba )(dadbdccbcacddcbadcba 011)(dacbdccbdacddcbadcba 001)()()()(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba dacbcbdadcbadcba )(dacbdccbdacddcbadcba 001)(3用数学归纳法用数学归纳法例例 证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证证 cos1 D,cos cos211cos2 D,2cos .,2, 1结论成立结论成立时时 nn cos21000

13、01cos2100001cos2100001cos2100001cos2100001cos6 D455565)1(cos2DD 45cos2DD ,的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于 n21111)1(cos2 nnnnnnnDDD .coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn .的的行行列列式式也也成成立立下下证证对对于于阶阶数数等等于于 n得得按按最最后后一一行行展展开开现现将将,nD21cos2 nnDD ,由归纳假设由归纳假设 )2cos()1cos(cos2 nn.结结论论成成立立所所以以对对一一切切自自然然数数 n

14、,)1cos(1 nDn,)2cos(2 nDn.cos221DDDnnn )2cos()2cos(cos nnn,cos n . 0)det(, ABnmmnBnmA试证明试证明且且矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设)()(ArABr mn . 0)det( AB证明证明例例,矩阵矩阵为为mmAB 1)(, 01)(, 1)(,)(,*nArnArnArnArAnA当当当当当当证明证明的伴随矩阵的伴随矩阵阶矩阵阶矩阵为为设设EAAA *证明证明，若若nAr )()1(，0 A，0* A;)(*nAr ，若若1)()2( nAr，0 A, 0* AA,)()(*nArAr , 1)(* Ar例例，1

15、)( nAr, 1)(* ArA至少有一个至少有一个n-1阶子式不为零阶子式不为零，*A至少有一个至少有一个1 1阶子式不为零，阶子式不为零，; 1)(* Ar，若若1)()3( nAr, 0* A. 0)(* ArA的所有的所有n-1阶子式为零，阶子式为零， 练习题练习题填空填空 ijijnaDaaD则则若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式则行则行的三个根的三个根是方程是方程设设an)1( 0 132213321321321xxxxxxxxxxxxxxx )()(321xxxxxx 03 qpxx 1000000002006000200500020001000D行列式行列式 . 32006! .22921702163332314 . 4444342414AAAAD 则则设四阶行列式设四阶行列式0 44434241)2(111AAAA 2111702163332314 .22921702163332314 . 4444342414AAAAD 则则设四阶行列式设四阶行列式0 44434241)2(111AAAA 314424432342224