几何与代数：4-3 向量组的秩与最大无关组

1、14.3 向量组的秩与最大无关组向量组的秩与最大无关组一、向量组的秩与最大无关组的概念一、向量组的秩与最大无关组的概念二、二、R R 的基、维数与坐标的基、维数与坐标2定义定义: :记记作作的的秩秩称称为为向向量量组组数数,TrrTR )( 向量组与其最大无关组都等价。向量组与其最大无关组都等价。 显然显然设向量组设向量组T满足满足1o 在在T中有中有r 个向量个向量 1, 2, , r 线性无关；线性无关；2o T中任意中任意r + 1个向量个向量(如果有的话如果有的话)都线性相关；都线性相关；则称则称 1, 2, , r 是向量组是向量组T的一个最大线性无关组，的一个最大线性无关组，简称简

2、称最大无关组。最大无关组。3例例求下列向量组的最大无关组及秩求下列向量组的最大无关组及秩 111,110,100,010,00154321 解解321, 为为3 3维单位坐标向量组，维单位坐标向量组， 所以线性无关，所以线性无关，因为任意因为任意4 4个个3 3维向量线性相关，维向量线性相关，321, 为一个最大无关组，为一个最大无关组，3),(54321 R4 111,110,100,010,00154321 又又345, 线性无关，线性无关，543, 也为一个最大无关组，也为一个最大无关组，111011001 1 0 543, 5求下列向量组的最大无关组及秩求下列向量组的最大无关组及秩解解

3、21, 所以线性无关，所以线性无关，, 0321 而而21, 为一个最大无关组，为一个最大无关组，对应分量不成比例，对应分量不成比例，,5836,4524,1312321 同理同理31, 32, 和和都是最大无关组，都是最大无关组，2),(321 R线性相关，线性相关，321, 6解解nR )R(n例例 求求n 维向量空间维向量空间Rn的最大的最大无关组和秩无关组和秩任意任意 n 个线性无关的个线性无关的 n 维向量维向量均为均为Rn 的一个最大的一个最大无关组无关组. 1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 n ，如如 n 维单位向量组维单位向量组为为Rn 的一个最大

4、的一个最大无关组无关组.71.1.向量组的最大无关组不唯一。向量组的最大无关组不唯一。 注意：注意：2.2.向量组的任意两个最大无关组都等价。向量组的任意两个最大无关组都等价。 但最大无关组所含向量的个数相同，但最大无关组所含向量的个数相同，都等于向量组的秩。都等于向量组的秩。8若向量组线性无关，若向量组线性无关，向量组线性无关向量组线性无关矩阵矩阵A的的列秩列秩：矩阵矩阵A的的行秩行秩：则其最大无关组就是它本身，则其最大无关组就是它本身，秩秩 = 向量个数向量个数.注意注意向量组的向量组的秩秩 = 向量组所含向量个数向量组所含向量个数.(相关相关)()定义定义: :A的列向量组的秩；的列向量

5、组的秩；A的行向量组的秩的行向量组的秩.9定理定理 若若,BAnm 行行初初等等变变换换则则A的任意的任意 k个个(1kn)个个列向量与列向量与B的对应的对应 k 个列向量有相同的线性相关性个列向量有相同的线性相关性.,kkBA行初等变换行初等变换任取任取A的的k个列向量所得个列向量所得Ak X=0与与 Bk X=0 同时有非零解或只有零解同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性的列向量有相同的线性相关性.证证10定理定理 矩阵的矩阵的 行秩行秩 = 列秩列秩 = 矩阵的秩矩阵的秩.证证 设设 R(A) = r,),(行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵行行初

6、初等等变变换换BAB有有 r 个非零行，个非零行，为为B的列向量组的最大无关组的列向量组的最大无关组.为什么？为什么？为什么？为什么？A中与中与B的的这这 r 个列向量相对应的个列向量相对应的r 个列向量个列向量故故 A 的列秩等于的列秩等于 r .同理，由同理，由R(A) = R(AT), B的的r 个非零行的非零首元素个非零行的非零首元素所在的所在的r 个列向量线性无关，个列向量线性无关，也是也是A的列向量组的最大无关组的列向量组的最大无关组.而而A的行向量即的行向量即 AT 的列向量，的列向量，可得可得A的行秩等于的行秩等于 r .Br X=0 只有零解只有零解 Br+1 X=0 有非零

7、解有非零解11将矩阵作初等将矩阵作初等行变换行变换，把矩阵化为行阶梯形矩阵，把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非行阶梯形矩阵的非0 0行的行数即为矩阵的秩行的行数即为矩阵的秩矩阵秩的求法：矩阵秩的求法：(2)(2)初等变换法初等变换法(1)(1)寻找矩阵中非寻找矩阵中非0 0子式的最高阶数子式的最高阶数; ;12（1 1）向量组）向量组12,s 作作列向量列向量构成矩阵构成矩阵A。（2 2）AB 初等行变换初等行变换【化为化为行阶梯形行阶梯形矩阵矩阵】的非的非0 0行的行数行的行数（3 3）非）非0 0首元素所在首元素所在列的标号列的标号对应的列向量组即对应的列向量组即为为A的最大无关组。

8、的最大无关组。向量组的秩及最大无关组的方法：向量组的秩及最大无关组的方法： BARRs )(),(21 （4 4）继续把）继续把B化为简化行阶梯形，可以将向量组化为简化行阶梯形，可以将向量组的其余向量由最大无关组线性表示。的其余向量由最大无关组线性表示。13例例 向量组向量组求向量组的秩和一个最大无关组。求向量组的秩和一个最大无关组。解解1517121132713541184011 54321 A 1104811171512311245317 11, 1 , 2, 4,0 , 7, 3 , 5,4 , 1, 1 , 38 , 5 , 1, 1,11, 1 , 2, 754321 1415171

9、09111003644430637770 151710911100000300000B 1517121132713541184011 最大线性无关组为最大线性无关组为521, 3)( AR3),(54321 R15151710911100000300000B 考虑：是否还有其他的最大无关组？考虑：是否还有其他的最大无关组？135, 145, 与与都都是是最最大大线线性性无无关关组组16212301110111212301110000例例 求向量组求向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。关组线性表示。解解 设设 21025314321

10、2,4321 A201201110000 2 , 5 , 3,1 , 3 , 2,0 , 1 , 1,2 , 4 , 24321 172012011100001210101110000B为最大无关组为最大无关组21, 为为化为简化行阶梯形矩阵化为简化行阶梯形矩阵 000110210132211 向量方程：向量方程：xx ),(321 A的增广矩阵的增广矩阵, 2),(4321 R,21 213 214 12121xx同理同理18 41461351021632305023)(54321 A设设解解求向量组求向量组 的一个最大无关组，并把其余向量用该最大的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组

11、线性表示。无关组线性表示。 12331 60222 41303 15654 43105 19 41461351021632305023 A 05023351021632341461 1281216011791201134041461 84000840001134041461 20 84000840001134041461 00000840001134041461 00000210001134041461 00000210003034020461 21 00000210003034020461 0000021000430431020461 000002100043043102502101 , 3

12、),(54321 R421, 是是一一个个最最大大线线性性无无关关组组,04321 4213 421524325 22定理定理 设向量组设向量组 可由向量组可由向量组且且线性表示，线性表示，线性无关，则线性无关，则. sr ,2121线线性性表表示示可可由由sr rikkkssiiii, 12211 r ,21s ,21r ,21 rssrssrrsrkkkkkkkkk 2122221112112121, 23 rrxxx2121, rrssrssrrsxxxkkkkkkkkk2121222211121121, rssrssrrsrkkkkkkkkk 2122221112112121, 24使

13、使存存在在一一组组不不全全为为零零实实数数,21rmmm 0,2121 rrmmm 解解有有非非0若若 rrxxx2121, rrssrssrrsxxxkkkkkkkkk2121222211121121, 021212222111211 rrssrssrrxxxkkkkkkkkk, sr 021212222111211 rrssrssrrmmmkkkkkkkkk25.,21线线性性相相关关向向量量组组s 02211 rrmmm 即即使使存存在在一一组组不不全全为为零零实实数数,21rmmm 0,2121 rrmmm 矛盾！矛盾！sr 26定理定理 设向量组设向量组 可由向量组可由向量组且且线性

14、表示，线性表示，线性无关，则线性无关，则. sr r ,21s ,21r ,21设向量组设向量组 可由向量组可由向量组线性表示，线性表示，r ,21s ,21, sr 且且则则r ,21线性相关。线性相关。27若向量组若向量组()可由组可由组()证证 设设 1,.,1r 为为() 的最大无关组，的最大无关组，2,.,1r 为为() 的最大无关组的最大无关组. 组组()可由组可由组()线性表出线性表出,1,.,1r 2,.,1r 可由可由线性表出线性表出, 又又线性无关，线性无关，故故 r1 r2.若组若组()与组与组()等价，等价，线性表出，组线性表出，组()的秩的秩 r1 组组()的秩的秩

15、r2.1,.,1r 则组则组()的秩的秩 r1= 组组()的秩的秩 r2.28定理定理 设设r1jj ,，是是 1, 2, , s的线性无关部的线性无关部 分组，它是最大无关组的充要条件是分组，它是最大无关组的充要条件是 1, 2, , sr1jj ,，若若 1, 2, , s可由可由r1jj ,，线性表出线性表出,则则 1, 2, , s中任中任r + 1个向量可由个向量可由r1jj ,，是最大无关组是最大无关组.证证 充分性：充分性：每一个向量均可由每一个向量均可由 线性表出线性表出.所以所以 1, 2, , s中任中任r + 1个向量线性相关，个向量线性相关，r1jj ,，线性表出线性表

16、出,29定理定理 设设r1jj ,，是是 1, 2, , s的线性无关部的线性无关部 分组，它是最大无关组的充要条件是分组，它是最大无关组的充要条件是 1, 2, , sr1jj ,， ,r1r1jjjjjjs1j ，：，结论显然结论显然线性相关线性相关，r1jjj ,.,线线性性表表出出，可可由由因因而而r1jjj 必要性：必要性：每一个向量均可由每一个向量均可由 线性表出线性表出.若若 是是 1, 2, , s的最大无关组，的最大无关组，r1jj ,，30例例 设设A, B分别为分别为mr, r n矩阵，矩阵，证明证明证证 rnrnnrnbbbbbbcc122111111),(,),.,1

17、(,2211nkbbbcrrkkkk (AB)的列向量组可由的列向量组可由A的列向量组线性表出的列向量组线性表出，故故 R(AB)R(A).又，又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B).所以所以 R(AB)minR(A), R(B).R(AB)minR(A), R(B).设设Cmn = AB，(AB)的列秩的列秩 A的列秩的列秩，31. 0)det(, ABnmmnBnmA试证明试证明且且矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设)()(ARABR mn . 0)det( AB证明证明例例,矩阵矩阵为为mmAB 32nn维向量空间维向量空间RnRn 的一个最大无关组称为的一个最大无关

18、组称为Rn的一组的一组基基Rn 的秩称为的秩称为Rn的的维数维数(dim Rn)，设设 1, 2, , n为为Rn的一组基，则的一组基，则Rn = L( 1, 2, , n)又，又， Rn = L(1, 2, , n)Rn 的标准基的标准基定义定义dim Rn = n.dimension同理可定义同理可定义Rn的子空间基和维数的子空间基和维数33 Rn, 1, 2, , n为一组基，为一组基， = x1 1+ x2 2+ + xn nx1, x2, , xn称为称为 在基在基 1, 2, , n下的坐标下的坐标一个向量在确定基下的坐标是惟一的一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性坐标的惟一性).n维向量空间维向量空间 ,nR 1 , 0 , 0,0 , 1