光学(第二版)ch1-2

1、费费 马马 原原 理理principle of FermatCH 1-2 1.2 费马原理费马原理 费马原理费马原理是一个描述光线传播行为的原理是一个描述光线传播行为的原理一一. .光程光程在均匀介质中在均匀介质中, ,光程光程 l 为光在介质中通过的几何路程为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率与该介质的折射率 n 的乘积：的乘积： lnllclcn lnltlctcc1. 直接用直接用真空真空中的光速来计算光在不同介质中通过一中的光速来计算光在不同介质中通过一定几何路程所需要的时间。定几何路程所需要的时间。cltl 分区均匀介质分区均匀介质: :11 1 , kki ii iii

2、llnltnlcc( ) dlln l 连续介质连续介质: :2. 光程光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内表示光在介质中通过真实路程所需时间内, ,在真在真空中所能传播的路程。空中所能传播的路程。二二. .费马原理的表述及讨论费马原理的表述及讨论空间中两点间的实际光线路空间中两点间的实际光线路径是所经历光程的平稳路径径是所经历光程的平稳路径平稳平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时，：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时，相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶或二阶以上的无限小量。或二阶以上的无限小量。换言之换言之：在

3、：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何两点间光线传播的实际路径，与任何其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：0dBAlnl两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点变分：变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时，对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时，函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶函数的一阶或高阶改变量可

4、以表示为函数的一阶或高阶微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点AB，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时光程的改变一般称为变分。光程的改变一般称为变分。三三. .费马原理的应用费马原理的应用1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理根据直线是两点间最短距离这一几何公理, ,对于真空对于真空或均匀介质或均匀介质, ,费马原理可直接得到光线的直线传播定律费马原理可直接得到光线的直线传播定律。2.

5、费马原理只涉及光线传播路径费马原理只涉及光线传播路径, ,并未涉及到光线的并未涉及到光线的传播方向。若路径传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径的路径取极值，则其逆路径BA的的光程也取极值光程也取极值包含了包含了光的可逆性光的可逆性。3. 由费马原理导出光的反射定律由费马原理导出光的反射定律AB的光程为的光程为22222122121121)()(zyxxnzyxxnBMnMAnl00)()(0)()()()(222221221211222222122121111zzyxxznzyxxznzlzyxxxxnzyxxxxnxl光程取光程取极值极值入射线和反射线应在入射线和反射线应在xy平面内

6、平面内. .)0 , 0 ,(), 0 ,(xMzxMBMMAMBAM光程光程 l 取极小值取极小值0z 有有1112222211221222221122()()()()sin sin()()n xxn xxxxyxxyxxxxiixxyxxyii 4. 由费马原理导出折射定律由费马原理导出折射定律2222222212112211)( )( yxxzlyxxzllnlnAPB),(),(),(2211zyxBzyxAzyxP由光程取极值由光程取极值: :0)( 0)(22112211xlnlnylnln0)( 0)(222111221122112211lxxnlxxnxlnlnlynlynyl

7、nln222111sin sinilxxilxx2211sinsininin四四. .梯度折射率介质中光线的弯曲梯度折射率介质中光线的弯曲即为折射率即为折射率随不同位置呈连续变化随不同位置呈连续变化的介质的介质利用梯度折射率介质中光线的弯曲利用梯度折射率介质中光线的弯曲, ,可以表解释可以表解释蜃景蜃景的的现象现象例一例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，会聚于焦点会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。试证所有这些光到达焦点上光程相等。F 为抛物面的焦点，为抛物面的焦点，MN为其准线为其准线抛物线性质抛物线性质FPPAFPPAQ

8、PFPQPFP222111222111 则即即2211FPAFPA讨论：讨论：如果将点光源置于焦点处，由如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性光的可逆性可知，可知，光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平行光束。行光束。F1P2P1Q2Q1A2AMN分析：分析：解：解：S 发出的球面波经发出的球面波经 面折射后面折射后成平面波，各折射光线路径是等成平面波，各折射光线路径是等光程。光程。SOnPQnSPn121),(yxP1)/()()/()()()( 2122122212122212122/1221nndnnznnndnndnxdnxdnzxn上式化为S 是一个焦点是一个焦点1n2nsCzAMNNPQQOO例二例二 折射率分别为折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为的两种介质的界面为 ，在折射率为在折射率为 n1的介质中有一点光源的介质中有一点光源S，它与界面顶点，它与界面顶点O相距为相距为d。设。设S发出的球面波经界面折射后成为平面发出的球面波经界面折射后成为平面波，试求界面波，试求界面 的形