数字控制器的直接设计方法之一

1、第六章 数字控制器的直接设计方法之一内容提要n概述n参数优化的低阶控制算法n最少拍随动系统的设计n最少拍无波纹随动系统的设计n惯性因子法n非最少的有限拍控制n大林算法n小结概述n数字PID控制算法，是基于模拟系统PID调节器的设计，并在计算机上数字模拟实现的，这种方法称为模拟化设计。该方法对一般的调节系统是完全可行的，但它要求较小的采样周期，只能实现简单的控制算法n由于控制任务需要，当所选择的采样周期较大或对控制质量要求较高时，就需要从被控对象的特性出发，直接根据采样理论来设计数字控制器，这种方法称为直接数字设计。它完全根据采样系统的特点进行分析与综合，并导出相应的控制规律，比模拟化设计更具有

2、一般性。无论采样周期大小，直接数字设计都适用概述（2）n采样系统的Z变换 Z变换的定义 对连续信号x(t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号x*(t)，它也可以看作是连续信号对脉冲系列的调制，即 对上式进行拉氏变换，可以得到 引入记号 由上式可以定义一种新的变换 它称为采样信号的Z变换0*)()()2()2()()()()0()(iiTtiTxTtTxTtTxtxtx0*)()(iiTseiTxtxLTseZ 0*)()()(iiziTxtxZzX概述（3） Z传递函数 设离散系统的输入脉冲系列为xi，输出脉冲系列为yi，它们的Z变换分别为X(z)和Y(z)，则可定义该离散系统的Z传递函数为

3、 它表征了离散系统对采样信号的输入输出传递性能)()()(zXzYzG概述（4） Z传递函数的求解步骤（已知系统的连续传递函数G(s)） 根据G(s)求出系统脉冲响应函数 确定系统脉冲响应函数在采样时刻 的值 根据Z变换定义得到系统的Z传递函数)()(1sGLtgigiTt 0)(iiizgzG概述（5） Z变换的性质 线性性 延迟定理 超前定理 阻尼定理 微分定理 初值定理 终值定理 卷积定理)()()()(zbGzaFtbgtafZ)()(zFzkTtfZk10()( )()kkiiZ f tkTzF zf iT z)()(aTatzeFetfZ)()()()(0zGzFiTgiTkTfZ

4、ki0lim()lim( )kzf kTF z)() 1(lim)(lim1zFzkTfzkzzFTzttfZd)(d)(概述（6） 开环和闭环系统的Z传递函数：注意采样开关的位置概述（7） Z传递函数的计算机实现 数字调节器的传递函数D(z)，一般可以写成如下形式： 为保证调节器的物理可实现性，要求 ， ，通常取101101( )( )( )mmllaa za zU zD zE zbb zb z00b 00a 01b 概述（8） 直接数字实现 直接对Z传递函数取Z反变换(推导)，即： 从而得到现时控制量 u(k) 的计算式 引入中间函数 ，则 因此可得到算法0101( )(1)()( )(1

5、)()lmb u kbu kbu kla e ka e ka u km0101( )()()mlijiju kae kib u kjb1( )( )liiiC zE zb z1( )( )miiiU zC za z1001( )( )()( )()liimiic ke kbc kibu kac ki概述（9） 串接数字实现 将Z传递函数分解成一系列串接的离散传递环节 其中，每个环节 的Z传递函数都为简单的一阶或二阶有理分式形式，从而可以用直接方法实现，而整个计算可通过这些子环节串接而成1( )( )pkkD zD z( )kD z概述（10） 并行数字实现 将Z传递函数分解成一系列并联的离散传

6、递环节 其中，每个环节 的Z传递函数为常数、纯时延或易于用直接方法实现的简单的一阶或二阶形式，控制量的计算可由他们给出分分量求和得到1( )( )pkkD zD z( )kD z概述 Z-transfer Examples概述 Zero HoldnZero Holdn输入(t)n输出 1(t)- 1(t-t)ns-变换, (1-e-ts)/s e*Gh(s)e*概述 Computer Control System 符号Um: manoeuvre Y c: controlled valueControl System Example 1/13Control System Example 2/11

7、1( )(1)( )TsppeZGszZGsssDiscrete Transfer Functions 3/12111 211()(1) ()(1)(1)TspppkeZkzZsssTzkzzClosed-Loop System Transfer Function 4/Input 5/Response to Given Command Input 6/Transfer Function Reconstruction 7/Response to Given Command Input 8/Response to Given Command Input 9/Response to Given Co

8、mmand Input 10/Response to Given Command Input 11/Response to Given Command Input 12/Response to Given Command Input 13/稳定性和动态响应的关系 1/20 采样系统的极点与稳定性和动态响应的关系 如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的单位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一有限值；如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统处于稳定的边缘，对于有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不

9、稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散Control SystemS111( )(1) ( )TsppeZGszZGsssCharacteristic EquationnRoots of Characteristic EquationnRoots may be realnRoots may be complex conjugate pairs Roots affect of stabilitynStability can be assessed by examining the roots of the characteristic equationUnit Impulse ResponseU

10、nit Impulse ResponseUnit Impulse ResponseUnit Impulse ResponseUnit Impulse ResponseUnit Impulse ResponseUnit Impulse ResponseUnit Impulse Response稳定性和动态响应的关系 (2) 在采样系统稳定的情况下，对应于单位圆内或单位圆上不同位置的极点，对同一输入将有不同的动态响应Example : First-Order SystemExample : First-Order SystemStability AnalysisStability Analysis

11、Example : Second-Order SystemStability AnalysisStability Analysis数字控制器的直接设计方法n数字控制器的直接设计方法 参数优化方法：首先确定D(z)的结构，然后通过某一优化指标求出D(z)中的参数 与对象结构有关的设计：按照某一期望的闭环响应(z)或期望的误差响应等来设计D(z) ，D(z)的结构依赖于对象G(z)的结构 参数优化的低阶控制算法nD(z)结构的确定 带有零阶保持器的对象的Z传递函数为： 所要直接设计的线性数字控制器的一般形式假定为： 从在线运算的要求出发，通常期望数字控制器有较低的阶数，其中最简单的形式是令 ，这时

12、有 ，相当于一比例控制作用101101( )( )( )ndnnnqq zq zQ zG zzP zpp zp z101101( )( )( )mmllaa za zA zD zB zbb zb z0lm0( )D za参数优化的低阶控制算法（2） 如果要消除静差，即在期望值发生阶跃变化（ ）时，偏差 ，即 则有 ，即数字控制器D(z)有一个极点，因此，在消除静差的要求下，数字控制器的最简单结构为 当 时，得到一阶控制器 其控制算法为 当 时，得到二阶控制器 其控制算法为( )1zR zz0e111( )( )( )lim (1)( )lim (1)lim1( )( )( )( )( )( )zzzR zP z B zezE zzzD z G zP z B zQ z A z(1)0B1011( )( )( )1mmaa za zA zD zB zz1m 2m 1011( )1aa zD zz01( )(1)( )(1)u ku ka e ka e k120121( )1aa za zD zz012( )(1)( )(1)(2)u ku ka e ka e ka e k参数优化的低阶控制算法（3）n通过某一优化准则确定D(z)的参数 通常