求体积几种求法及割补法

1、 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视. (2014惠州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E是棱CD的中点,P是棱AA1的中点.求三棱锥求三棱锥B-ABB-AB1 1E E的体积的体积正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,BB,BB1 1平面平面ABE,ABE,故故BBBB1 1为为高高,BB,BB1 1=2,=2,因为因为CDAB,CDAB,所以所以S SABEABE= =BB1SABE=.S SABCABC故=.【通关

2、题组】【通关题组】 1.(20131.(2013安徽高考安徽高考) )如图如图, ,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD的的底面底面ABCDABCD是边长为是边长为2 2的菱形的菱形,B,BAD=60AD=60. .已知已知PB=PD=2,PA=PB=PD=2,PA=(1)(1)证明证明:PCBD.:PCBD.(2)(2)若若E E为为PAPA的中点的中点, ,求三棱锥求三棱锥P-BCEP-BCE的体积的体积. .6.【解析】【解析】(1)(1)连接连接AC,AC,交交BDBD于于O O点，连接点，连接POPO，因为底面，因为底面ABCDABCD是菱是菱形，所以形，所以ACBD,BO=DO,A

3、CBD,BO=DO,由由PB=PDPB=PD知，知，POBD,POBD,再由再由POAC=OPOAC=O，知知BDBD平面平面APCAPC，又，又PCPC平面平面APCAPC，因此，因此PCBD.PCBD.(2)(2)因为因为E E是是PAPA的中点，所以的中点，所以V VP -BCEP -BCE=V=VC C -PEB-PEB= =由由PB=PD=AB=AD=2PB=PD=AB=AD=2知，知，ABDABDPBD,PBD,因为因为BAD=60BAD=60，所以所以 BO=1,BO=1,又又 POPO2 2+AO+AO2 2=PA=PA2 2，即，即POAC,POAC,故故由由(1)(1)知知

4、BOBO平面平面APCAPC，因此，因此C PABB APC11VV,22PO AO3,AC 2 3，PA6,APC1SPOAC 32Vg，P BCEB APCAPC11 11VVBOS.22 32 Vg如图,菱形ABCD的边长为6,BAD=60,ACBD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥,点M是棱BC的中点,DM=3.(1)求证:平面ABC平面MDO;(2)求三棱锥MABD的体积.【解析】(1)BAD=60,菱形的边长为 6,OM=OD=3,DM=3,DOM=90,ODOM.又折叠前四边形ABCD是菱形,ODAC.OMAC=O,OD平面ABC.OD平面MDO,平面ABC平面MD

5、O.(2)VMABD=VDABM,由(1)知OD平面ABC,OD=3为三棱锥D-ABM的高.例3. 如图：已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 CC1 、 AA1的中点, 求：四棱锥 AMB1ND 的体积VADMN=VM ADN底面积：4a2aa21S2ADN高：为点 M 到平面 ADN的距离h=aV四棱锥=2VA DMN=3a6132a121a4a31VADMN解(简):AD1CDA1BC1B1MNAD1CDA1BC1B1NM例例2 2、在棱长为、在棱长为a a的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 求

6、求D D1 1到截面到截面C C1 1BDBD的距离。的距离。ABCDA1B1C1D1提示：提示：利用利用 = 求解。求解。注意：等体积法求点面距离。注意：等体积法求点面距离。VDBCD11VDDCB11KEY：a33例例3 3、在各棱长均为、在各棱长均为1 1的正三棱柱的正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中， （1 1）与侧面与侧面 所成的角为所成的角为_； （2 2）如果）如果 为为的中点，则截面的中点，则截面与底面所成与底面所成 的角的大小为的角的大小为_。ABCA1B1C1DB1ABCA1C1MN注：注： （1 1）中利用面面垂直的性质找线面成角。）中利用面

7、面垂直的性质找线面成角。 （2 2）中射影面积公式的应用：）中射影面积公式的应用：S SAB1MAB1Mcos=Scos=SABCABC. . 45o515arctan【突破训练2】 (2012巢湖二模)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图已知CF2AD，侧(左)视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示求该几何体的体积例例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。ABCSEF提示：提示：设三棱锥设三棱锥S

8、-ABC，侧面，侧面SAC、SBC为为等边三角形，边长为等边三角形，边长为 ，SA SB。取。取SA中中点点E，AB中点中点F，连接，连接AE、BE、EF。可证得：。可证得：SC 平面平面ABE。利用：。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积。得三棱锥体积。注意：分割法求体积。注意：分割法求体积。66（KEY： ）3BCADEFMN用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱 和一个四棱锥.如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.分析： V几何体=V三棱柱+V四棱锥如图：ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB平面ABC， 且AEFCBD，BD=

9、3，FC=4，AE=5。 求：此几何体的体积？例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积.三棱锥正方体正四面体V4VV33a614a3a31解二：用分割法AD1CDA1BC1B11、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12， 求：四面体 ABCD 的体积.取 BC 的中点 E，则 AEBC，DEBC.ECS31BES31ADEADE748ABCDEV四面体 = VBADE + VCADEBCS31ADEBCADEF如图：ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB平面ABC，

10、 且AEFCBD，BD=3，FC=4，AE=5. 求：此几何体的体积？用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。BCADEF分析：V几何体= V三棱柱21例1. 如图: 斜三棱柱的一个侧面 ABB1A1的面积为 S， 侧棱 CC1 到这个侧面的距离为 h . 求：斜三棱柱的体积.C1B1A1ABCO如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）则 V四棱柱 Sh V三棱柱 sh21B1C1A1ABCOAD1CDA1BC1B1例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积.例4. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作

11、线段 PA平面ABCD， 如果AB=PA。 求：平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的大小.PDACBACDBPB1如图所示、将左图补成一个正方体.平面 ABP 即为平面 ABB1P 所在平面平面 PDC 即为平面 PDCB1 所在平面所求二面角即为正方体的对角面 PDCB1与侧面 ABB1P所成角即：CB1B=4解：2、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3。 求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角.DBACpACDBpMND1A1B1C13、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点， 求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.如图，补一个正方体，取 C1F 的中点 E1，则 BECE1A1CE1（或其补角）为 A1C与 BE 所成的角.在A1CE1中，有余弦定理得：01515CACE2EACACECEAcos11211212111 A1C和 BE 所成的角即为A1CE1，其值为1515arccosAD1CDA1BC1B1FEa3CA1a25CE1a213EA11可得：E1解:例例5、已知三棱锥、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = ， PC=AB= ，求三棱锥的体积。，求三棱锥的体积。344120543614543543413425222222 ABCPVcbacbcaba提示：分别