多元函数的可微性

1、摘要对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系的研究是多元微分学中的一个难点.此文在分别给出了一系列关于多元函数可微、连续，偏导存在的定理之后，本文主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些研究.多元函数微分学和一元微分学相比，虽然多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但多元函数确也有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技复杂程度上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要抓住这两个特点，我们要看到它们的相同之处，又要分清它们不同之处.关键词连续性 偏导存在性 可微性AbstractFor continuous multiv

2、ariate function, the existence of partial derivation, differentiability of concept and Research on the causal relationship between them, is a difficult problem in multivariate differential science. In this paper respectively gives a series on the differentiability of multivariate function, can be pa

3、rtial to guide, after the continuous theorem, mainly two unary as a function of example, through concrete examples for some discussion on the relations of several important concepts of differential calculus of differential calculus. And compared, although there are many multivariate differential cal

4、culus and differential calculus similar, but a function of many qualitative leap has multiple functions, and from two unary to three unary, function above, only the skills of the differences, but not essentially different. Study of differential calculus to seize these two characteristics, only to se

5、e their similarities, pay attention to different points again.KeywordsContinuity the existence of partial derivation differentiability内蒙古财经学院本科毕业论文多元函数的可微性2 / 24作 者 姚淑艳 系 别 统计与数学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 09 级 学 号 902091125 指导教师 王君 导师职称 一、绪论 在这里我们讨论多元函数的可微性，多元函数是一元函数的推广，所以它保留着一元函数的一些性质，由

6、于自变量有一个增加多个，就有了某些新的内容.以前学习的时候，我们主要学习了一元函数，对于函数极限存在、连续、可微，以及这三个概念之间的关系.例如它们之间有一些性质：可微必连续，但连续不一定可微，连续必有极限，但有极限不一定连续.多元函数微分学是我们在大学时学习中的一个重点和难点，它涉及的内容是微积分学在多元函数中的体现，有关多元函数的连续性，可微性及偏导数存在之间的关系是我们在学习中容易发生模糊和不易把握的一个知识点. 在学习的时候容易混淆它们之间的关系。对于多元函数，我们学到的主要是二元函数，它与一元函数有些不同，如它没有一元函数可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但

7、二元函数的可微性是证明的.从二元函数的性质中，我们知道：若二元函数在点可微，则函数在点连续.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列关系：偏导连续推出可微，可微推出连续，偏导存在；他们的反方向结论不成立，但其可加一些特定的条件使其成立.下面我们分别从二元函数的可微性、偏导存在性、连续性进行探讨，从而到它们之间进行探讨.二、补充概念（一）一元函数连续性的定义设函数在某内上定义，若则称在点连续.（二）一元函数可微性的定义设函数当自变量有增量时，若存在于无关的常数，使得函数的增量可表示为 ，则称处可微，称为处的微积分，记为.（三）二元函数连续性的定义设为定义在点点集上的二元函数，(它或者

8、是的聚点，或者是的孤立点)，对于人给的正数，总存在相应的正数，只要,就有 <， 则称关于集合连续，则称为上的连续函数.（四）二元函数可微性的定义设函数在点，的某邻域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量可表示为： （1）其中是仅与点有关的常数，是较较高的无穷小量，则称函数在点可微，并称（1）式中关于的线性函数为函数在点的全微分，记作 （2）由（1）、（2）可见是的线性主部，特别当充分小时，全微分可作为全增量的近似值，即.（五）二元函数偏导数的定义设函数，若，且在的某邻域内有定义，则当极限，存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作或若在点存在与，称在点可偏导.三、多元函数的连续性

9、 若一元函数在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数在这点连续，但对于二元函数来说，即使它在某点即存在关于的偏导数，又存在关于的偏导数，在也不一定连续.甚至，即使在的某邻域存在偏导数（或），而且（或）在连续，也不能保证在连续.但是，我们却有如下的定理.定理1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在内有界，则在点连续.证明 任取则 （3） 由于在存在，故对于取定的作为的一元函数在以为端点的闭区间上可导，从而由一元函数微分学中的Lagrange中值定理知，存在，使= 将它代入（3）式得 （4）由于，故有界，因而当时，有 又，据定理的条件知，在连续，故当时，又有所以，由（4）知，有

10、 =0这说明在连续.同理可证如下的定理定理2 设函数在点的某邻域有定义，在内有界，作为x的一元函数在点连续，则在点连续.定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.四、多元函数的偏导数由一元函数微分学可知，若可微，则函数增量.同样，若二元函数在点可微，则在处的全微分可表示成.下面我们来了解一下下面的定理.定理3 若函数在的某邻域内偏导数，及存在，且在对y连续，则偏导数在存在，且 证明 设的邻域为 ：又设x在有增量，y在有增量，则要证极限 （5） 存在且值为.因为在存在，所以及 都存在，将其代入（5）式右端得 （6）作辅助函数 因为在存在，所以在存在，故对函数，在以和为端点的区间上应用Lagrang

11、e中值定理，得 而由的构造可知，上式即 将其代入（6）式右端得 又因为在存在，所以 （在对y连续）定理得证.五、多元函数的可微性首先我们来介绍一下多元函数可微性的判定定理.（一）判定定理定理 4 如果函数在点的某一邻域内偏导数和都存在，且在关于连续（或在关于连续），则在点可微分.证明 因为 又因为 ，,其中.又因为在关于连续，所以，其中.所以，所以.又因为,所以，所以函数在点可微分.由该定理可得到如下两个推论.推论 1 如果函数在点的某一邻域内偏导数和都存在，且在点连续，则函数在点可微分.推论 2 如果函数在点的某一邻域内有连续的偏导数和，则函数在点可微分.六、多元函数连续性、偏导存在性及可微

12、性间的关系上面我们分别介绍了多元函数的连续性，偏导存在性和可微性的定义及一些性质，为了更好的掌握多元函数可微性，下面我们来讨论一下它们之间的关系。再根据例题及定理来具体了解以便于更好地把握它们之间的关系。（一）不确定性关系1. 函数在点连续，但偏导不一定存在.例1 证明函数在点连续但偏导数不存在.证明 因为，所以在点连续，又因为，当时，极限不存在，因此不存在.同理可得，也不存在.2. 函数在点偏导存在，但同极限不存在，不连续不可微.例2 证明函数在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：同理可求得下面利用可微的定义来证明其不可微性.用反证法.若函数在原点可微，则 应是较的高阶无穷小量，

13、为此考察极限当动点沿直线趋于时，则由于动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数在原点不可微. 例 3 函数在点处，存在，但不连续.证明 由偏导数定义： 同理可求得因为故函数在点处不连续. 3. 函数在点连续，偏导存在且可微，但偏导数不一定连续.例4 证明函数在点（0，0）处可微，但，在（0，0）点却不连续.证明 对于任意的，有（1）当时，极限不存在，则在（0，0）点间断.同理可证在（0，0）点间断.（2）因 则从而即函数在点（0，0）可微.4. 函数在点有极限，连续且偏导数存在，但可能不可微.例5 证明函数在点（0，0）连续，但它在点（0，0）不可微.

14、证明 （1）因为故函数在点连续.（2）因为 所以当动点沿着线 趋于时，有即，故在原点不可微.（二）确定性关系1. 函数在点可微分，则函数在点一定连续.定理 5 设函数在点可微，则函数在该点连续.证明：由全微分定义可知：函数在点的全增量可得.从而因此函数在点处连续2. 函数偏导数存在且连续，则函数一定可微.定理 6 设函数在点的邻域内存在偏导数，并且偏导数连续，有，即可微.证明： 我们把全增量写作 在第一个括号里，它是函数关于的偏增量；在第二个括号里，则是函数关于的偏增量.对它们分别用一元函数的拉格朗日中值定理，得 (7)由于与在点连续，因此有 （8） （9） 其中当时，将（8），（9）带入（7

15、）式，则得，故函数在点可微.3. 函数在点可微分，则函数在的偏导数一定存在.定理 7 设函数在点可微，即成立，则函数在该点的偏导数.证明：设函数在点可微分于是，对于点P的某个领域内的任意一点，式子(10)总成立 （10）特别当时，（10）式也应成立，这时，所以（10）式成为上式两边各除以在令而取得极限，就得，从而偏导数存在，且等于A.同样可证.所以该定理得证 由于多元函数跟二元函数相同，只是自变量的个数不同以及他们的复杂的程度不同.所以由二元推广到三元及以上其性质不变.综上所述，我们可以知道，多元函数的偏导数连续则多元函数必可微，函数可微可推出多元函数连续以及多元函数偏导数存在，但是我们不能根

16、据多元函数连续推出其函数的偏导数存在，同时也不能根据函数偏导数存在推出函数连续，函数连续、函数偏导存在都不能推出函数可微，函数可微也不能推出偏导数连续.因此，我们可以用下图来说明它们之间的关系：偏导数连续可微连续偏导数存在七、结束语 这就是所讨论的多元函数的可微性，把握其定义和用法以及其解法能够解决很多问题，这即可以体现在理论研究中，又在处理许多实际问题时也有一定的使用价值.通过以上的内容，我们了解了连续性，偏导存在性和可微性以及他们之间的联系. 在这一过程中，我们分析了多元函数的可微性问题的类型，这让我们体会到前人探索的艰辛，同时也激发了我对数学的学习的向往.参考文献1. 张禾端，高等代数（第三版），北京：高等教育