第10讲-指数分布、正态分布

1、第第1010讲讲指数分布、正态分布指数分布、正态分布2. 指数分布指数分布定义定义2.6设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为,0,( )0,.xexf x其他其中其中0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为的指数分布，的指数分布，记为记为X e(). 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线例如无线电元件的寿命电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数1e,0,( )0, 0.xxF xx 的的密密度度函函数数为为X 00010110 xxexf

2、x 2010 XPBP则则令：令：B= 等待时间为等待时间为1020分钟分钟 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0 解解例例15 设打一次电话所用的时间设打一次电话所用的时间X e(1/10)(单位：单位：min)，如果某人刚好在你前面走进电话间，求你需等待如果某人刚好在你前面走进电话间，求你需等待10分钟分钟到到20分钟之间的概率分钟之间的概率. |P XstXsP Xt11()()( )s ttsP XstF steeP XtP XsF se ()()|P XstXsP Xst XsP Xs 定理定理2.2 随机变量随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布

3、，则的指数分布，则对于任意的对于任意的s, t 0, ,有有证明：证明：事实上事实上本定理描述了指数分布的重要性质：本定理描述了指数分布的重要性质：“无记忆性无记忆性”解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt)0)()(tNPtTPtteet! 0)(0例例16 已知某地在任何长为已知某地在任何长为 t 周的时间内发生地震的次数周的时间内发生地震的次数 N( t ) ( t), 求求(1)相邻两次地震的时间间隔相邻两次地震的时间间隔 T 的概率分布的概率分布;(2)求相邻的两周内发生至少求相邻的两周内发生至少3次地震的概率次地震的概率(3)在已经周无地震的情况下在已经周无地震

4、的情况下,未来未来 10 周仍无地震的概率周仍无地震的概率.0,10, 0)(tettFt0,0,0)(tettft即即 ( )Te)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(3)(3)(2)3)1(2)0)(2)1)(2)2)P NP NP NP N (2)(2)2222122eee 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)定义定义2.722()21( ),2xf xex , (0) , 2( ,)XN 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为其中其中为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为正态分布或高斯（正态分布或高斯（Gauss）分布，记为）分布，记为的的正态

5、概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ;0)(,)3( xfx时时当当;)4(处处有有拐拐点点曲曲线线在在x ;,)(,)6(轴轴作作平平移移变变换换着着只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变的的大大小小时时改改变变当当固固定定xxf;)5(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xf正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFx

6、tde21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的

7、可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算)

8、.1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt标准正态分布的图形标准正态分布的图形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1()2( 8944. 09772. 0 例例1717 . 0828. 0 证明证明的的分分布布函函数数为为XZ xZP xXPxXP ,de2122

9、2)( xtt得得令令,ut xZP xuude2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故2( ,)XN (0,1)XZN引理引理2.1 若若，则，则解解xdcxde21222)( ,ux 令令uudcde2122 dXcP uudcde2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例1818 d uudde2122 uucde2122 )()(cFdFdXcP 因而因而. cd . c . cddXcP 即即例例1919 证明证明).(1)(xx xxxxde21)(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 证明证明(1) 所求概率为所求概率为89

10、XP)2(5 . 09089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例2020?,99. 080)2(.89,90)1().5 . 0,(,)(,.o2oo至至少少为为多多少少问问低低于于的的概概率率不不至至少少为为若若要要求求保保持持液液体体的的温温度度的的概概率率小小于于求求若若且且是是一一个个随随机机变变量量计计以以液液体体的的温温度度调调节节器器整整定定在在容容器器内内贮贮存存着着某某种种液液体体的的将将一一温温度度调调节节器器放放置置在在dCXddNXCXCd 99.080)2( XP99. 0801 XP99. 0)80(1 F99. 05 . 0801 d ,01.

11、 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d2(,)XN 若若112110 6826( )()( ).PX 22220 954 4( )().PX 33330 997 4( )().PX 33(,) ，3由此可知，一次试验中由此可知，一次试验中X的的值落入值落入以外的概率可忽略不计，以外的概率可忽略不计，这就是所谓的这就是所谓的 规则。规则。例例21 （1）假设某地区成年男性的身高（单位：）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。的概率。 解解: (1) 根据假设根据假设XN(170,7.692)，则，则).1 , 0(69. 7170NX P X175=1751XP)65.0(1)69.7170175(1=0.2578解解: (2) 设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰）公共汽车车门的高度是按成年男性与车