渐近跟踪与干扰抑制

1、8.6 8.6 渐近跟踪与干扰抑制问题渐近跟踪与干扰抑制问题8.6.1 渐近跟踪与干扰渐近跟踪与干扰抑制问题抑制问题右图所示反馈控制系统右图所示反馈控制系统)()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很难做到在所有时间上都有一般很难做到在所有时间上都有 ， 但但 ， 就有可能做到，即：就有可能做到，即：)()(trtyt)()(trty0)()(lim)(limtytrtett稳态时，实现了稳态时，实现了y(t)跟踪跟踪r(t)，称为，称为渐近跟踪渐近跟踪。gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)+w(t)随机性扰动随机性扰动：具有随机的形式，：具有随机的形式，只知道一些

2、统计性质，如均值，只知道一些统计性质，如均值，方差。方差。(随机控制研究的内容随机控制研究的内容)外部扰动信号外部扰动信号确定性扰动确定性扰动：有确：有确定的函数形式，如定的函数形式，如阶跃函数、斜坡函阶跃函数、斜坡函数、正余弦函数等。数、正余弦函数等。可通过分可通过分析或辨识析或辨识等手段来等手段来获得其函获得其函数形式数形式（结构特结构特性性）。）。阵风对雷达阵风对雷达天线的扰动。天线的扰动。轨道对行驶轨道对行驶中的列车的中的列车的纵摇或横摇纵摇或横摇等扰动。等扰动。 系统为线性，且同时作用有参考信号系统为线性，且同时作用有参考信号r(t)和扰动信号和扰动信号w(t)。则：。则：当当w(t

3、)=0，对任意的，对任意的r(t) 有：有：)(lim)(limtrtytt当当r(t)=0，对任意的，对任意的w(t)，相，相应应的输出的输出yw(t)满足满足：0)(limtywt（2）式称为）式称为渐近跟踪渐近跟踪，（，（3）式称为）式称为扰动抑制扰动抑制。 当系统实现当系统实现无静差跟踪无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰动抑时，将可同时达到渐近跟踪和扰动抑制，即对任意的制，即对任意的r(t)和和w(t)，（，（1）式成立。）式成立。 如果参考信号如果参考信号r(t)和扰动和扰动w(t)，当，当t 时均趋于时均趋于0 0，则只要寻，则只要寻找控制找控制u使系统为渐近稳定，使系统为渐近

4、稳定，(1)(1)式就自动地成立，即无静差跟踪式就自动地成立，即无静差跟踪可自动的达到。所以这种情况没有研究的必要。可自动的达到。所以这种情况没有研究的必要。（3）（2）以后讨论中规定：以后讨论中规定：0)(lim, 0)(limtwtrtt实际情况大多如此。如阶跃信号，斜坡信号，正余弦信号等。实际情况大多如此。如阶跃信号，斜坡信号，正余弦信号等。关于参考信号和扰动的模型：关于参考信号和扰动的模型： 设设r(t)和和w(t)，当，当t 时均不趋于时均不趋于0 0，如果对它们的属性没有，如果对它们的属性没有任何了解，则无从讨论系统的渐近跟踪问题和扰动抑制问题。任何了解，则无从讨论系统的渐近跟踪问

5、题和扰动抑制问题。 为了研究为了研究跟踪问题，需要对跟踪问题，需要对r(t)和和w(t)的某些结构性质有所了的某些结构性质有所了解，并建立起相应的信号模型。解，并建立起相应的信号模型。标量情况：标量情况： 若若信号为未知幅值的阶跃函数，则拉氏变换为信号为未知幅值的阶跃函数，则拉氏变换为/s s。若信号为未知振幅和初始相位的正弦函数，拉氏变换为：若信号为未知振幅和初始相位的正弦函数，拉氏变换为：2201ss一般情况下，可将标量的一般情况下，可将标量的r(t)和和w(t)的拉氏变换分别表示为：的拉氏变换分别表示为：)()()(,)()()(sdsnswsdsnsrwwrr 由于信号的函数结构为已知

6、，多项式由于信号的函数结构为已知，多项式dr(s)和和dw(s)是已知的，是已知的，又由于信号的非结构特性为未知，多项式又由于信号的非结构特性为未知，多项式nr(s)和和nw(s)为未知为未知和任意。对和任意。对nr(s)和和nw(s)的唯一限制是应保证的唯一限制是应保证均为严格真的有理分式函数。均为严格真的有理分式函数。)(),(swsr 在时间域内，上述关系等价于把在时间域内，上述关系等价于把r(t)和和w(t)分别看成为是分别看成为是由信号模型：由信号模型：rrrrrxctrxAx)(相对于各自的未知初始条件相对于各自的未知初始条件xr(0)和和xw(0)所产生的。所产生的。wwwwwx

7、ctwxAx)(和和向量信号的情况：向量信号的情况： 参考信号参考信号r(t)和扰动信号和扰动信号w(t)可分别看成为是在未知的初始可分别看成为是在未知的初始状态下，由其模型：状态下，由其模型：rrrrrxctrxAx)(所产生。所产生。wwwwwxctwxAx)(和和在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。1/Kv1/Ka 但是，对于但是，对于r(t)不是典型输入信号的情况，则不是典型输入信号的情况，则y(t)跟踪跟踪r(t)的条件的条件是什么？是什么？ 输入和误差信号的拉氏变换式分别为输入和误差信号的拉氏变换式分别为,)()()(

8、sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg 显然，输入信号的分母显然，输入信号的分母dr(s)=0中那些实部为负的根，当中那些实部为负的根，当 时时对稳态误差无影响；只有那些位于对稳态误差无影响；只有那些位于s右半闭平面（包括虚轴的右半右半闭平面（包括虚轴的右半平面）的根，对稳态误差有影响。平面）的根，对稳态误差有影响。tgc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)要使要使0)(limteetss必须有必须有1） 的所有根实部均为负。的所有根实部均为负。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2） 在在s右半闭平面的零点

9、也是右半闭平面的零点也是 的零点。的零点。)()(sdsdCg 上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即 时有时有 。其中，第。其中，第2个条件就是著名的个条件就是著名的内模原理内模原理。t)()(trty)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg8.6.2 内模原理内模原理 假定输入信号假定输入信号R(s)的分母多项式的分母多项式dr(s)的某些根具有零实部或的某些根具有零实部或正实部，令正实部，令r(s) 是是R(s)中不稳定的极点构成的多项式。中不稳定的极点构成的多项式。将将内模内模1/r(s)放入系统

10、中，放入系统中，则则)()()()()()()()()()()()()(sdsnsnsnssdsdssdsdsYsRsErrgcrgcrgc 由于由于dr(s)中的不稳定的零点均被中的不稳定的零点均被r(s)精确地消去，所以，只精确地消去，所以，只要选择要选择dc(s)、nc(s)使使 dc(s)r(s) dg(s)+ nc(s) ng(s)=0的根具有负实部。的根具有负实部。即用即用gc(s)镇定系统，则镇定系统，则 时，时， ，实现了，实现了渐近跟踪渐近跟踪。这就是。这就是内模原理内模原理.t0)()()(tytrtegc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)1/r(s)8.6.3 干扰

11、抑制问题干扰抑制问题 如果系统存在确定性如果系统存在确定性干扰，如右图所示。干扰，如右图所示。当当 时，时， ，使，使 ，称为，称为干扰抑制问题干扰抑制问题。0)(trt0)(tyw 如果如果w(s)=nw(s)/dw(s)为正则有理函数，假定为正则有理函数，假定dw(s)=0的某些根具的某些根具有零实部或正实部。令有零实部或正实部。令w(s)是是 w(s)的不稳定极点构成的的不稳定极点构成的s多项式。多项式。于是于是w(s)的所有根均具有零实部或正实部。那么只要将内模的所有根均具有零实部或正实部。那么只要将内模1/w(s)放入系统中，再选择放入系统中，再选择gc(s)使反馈系统成为渐近稳定的

12、系统，使反馈系统成为渐近稳定的系统，即可实现干扰抑制。即可实现干扰抑制。gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)w(t)+gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)w(t)+1/w(s)这是因为由这是因为由 作用引起的系统输出为：作用引起的系统输出为：)(tw)()()()()()()()()()()(sdsnsnsnssdsdssnsdsYwwgCwgCwgCw0)(tyw 由于由于dw(s)中的不稳定的零点均被中的不稳定的零点均被w(s)精确地消去，所以，只精确地消去，所以，只要选择要选择dc(s)、nc(s)使使 dc(s)w(s) dg(s)+ nc(s) ng(s)=0的根具有

13、负实部。的根具有负实部。即用即用gc(s)镇定系统，则镇定系统，则 时，时， 。从而实现了干扰抑。从而实现了干扰抑制。制。t8.6.4 渐近跟踪与干扰抑制渐近跟踪与干扰抑制 如果如果r(t)0， w(t)0 ，若，若(s)是是R(s)和和w(s)的不稳定极点因式的不稳定极点因式之最小公分母，通过在系统中引入内模之最小公分母，通过在系统中引入内模1/(s)，然后设计补偿器，然后设计补偿器gc(s)，就可以实现渐近跟踪和干扰抑制。，就可以实现渐近跟踪和干扰抑制。2）内模）内模 1/(s)的系数不允许变化，否则无法实现精确对消。虽然现的系数不允许变化，否则无法实现精确对消。虽然现实中，很难极其精确地

14、对消，但由于实中，很难极其精确地对消，但由于r(t)和和w(t)大多数是有界的，输大多数是有界的，输出仍然可以跟踪输入，只是有有限的稳态误差。出仍然可以跟踪输入，只是有有限的稳态误差。3点说明：点说明：1）内模）内模 1/(s)的位置要求并不高，只要不位于从的位置要求并不高，只要不位于从 R(s)到到E(s)和从和从 w(s)到到Y(s)的前向通道中即可的前向通道中即可 。gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)w(t)+1/(s)3) 3) 内模原理实现无静差跟踪控制的一个重要优点，是对除了内模原理实现无静差跟踪控制的一个重要优点，是对除了内模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。内

15、模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。 当除了内模以外的受控系统和补偿器的参数出现摄动时，当除了内模以外的受控系统和补偿器的参数出现摄动时，只要闭环控制系统仍为渐近稳定，则必仍具有无静差跟踪的属只要闭环控制系统仍为渐近稳定，则必仍具有无静差跟踪的属性。性。 在这个意义上，控制系统具有鲁棒性，所设计的控制器称在这个意义上，控制系统具有鲁棒性，所设计的控制器称为为渐近跟踪鲁棒调节器。渐近跟踪鲁棒调节器。8.6.5 状态空间设计法状态空间设计法系统方程为系统方程为FwDuCxyEwBuAxx（4）x:n1, y:q1,A,B为能控，为能控，A,C为能观测。为能观测。（5） 为干扰信号，认为它是

16、在未知初始条件下，由以下系统产生：为干扰信号，认为它是在未知初始条件下，由以下系统产生：)(twwwtwxC)(wwwxAx （6） 认为是在未知初始条件下，由以下系统产生：认为是在未知初始条件下，由以下系统产生：)(trrrtrxC)(rrrxAx 和和 为能观测，要求设计的系统实现渐近跟踪与为能观测，要求设计的系统实现渐近跟踪与干扰抑制。干扰抑制。wwCArrCA设设)det()(wwssAI )det()(rrssAI )(sr)(sw 和和 在在s右半闭平面零点因式的最小公倍式为右半闭平面零点因式的最小公倍式为)(s0111)(asasassmmm（7）y(t)-受控系统受控系统r(t

17、)e(t)w(t)x镇定补偿器镇定补偿器 前面基于内模原理的控制系统结构可以画为上图所示形式，前面基于内模原理的控制系统结构可以画为上图所示形式，内模相当于图中的伺服补偿器，用来抵消外部信号的不稳定极点，内模相当于图中的伺服补偿器，用来抵消外部信号的不稳定极点，保证实现扰动抑制和渐近跟踪，而镇定补偿器的作用是使受控系保证实现扰动抑制和渐近跟踪，而镇定补偿器的作用是使受控系统和伺服补偿器串联在一起的广义受控对象得到镇定。统和伺服补偿器串联在一起的广义受控对象得到镇定。伺服补偿器伺服补偿器iiiiie 110100001000010maaa其中其中 为第为第i个子系统的个子系统的m维子状态向量，维

18、子状态向量，ei为为e的第的第i分量，分量， 为子系统输出，要求选择为子系统输出，要求选择 使得式（使得式（8）的传递函数为）的传递函数为1/（s）( (可选择能控规范型实现可选择能控规范型实现) )： 对于对于q维误差向量维误差向量e，伺服补偿器由，伺服补偿器由q个相互独立的子系统组成，个相互独立的子系统组成，第第i个子系统的状态空间描述为：个子系统的状态空间描述为：100ii,0 , 0 , 1 （8） 即伺服补偿器的第即伺服补偿器的第i个子系统的输入为误差向量个子系统的输入为误差向量e的第的第i分量分量ei，输出为系统状态向量输出为系统状态向量 的第的第1分量分量 ，利用分块对角形式，将

19、式，利用分块对角形式，将式（8）所示的各子系统的模型集合起来，可以得到整个伺服补偿器）所示的各子系统的模型集合起来，可以得到整个伺服补偿器的状态空间描述为：的状态空间描述为：i1 icccCeBAqmqcqqmcqmqmcqqqqCBAeee,111111（9） 因为各子系统都是取能控规范型实现，各子系统显然能控，因为各子系统都是取能控规范型实现，各子系统显然能控，故整个伺服补偿器也完全能控。故整个伺服补偿器也完全能控。 显然伺服补偿器就是参考输入和扰动中不稳定部分的显然伺服补偿器就是参考输入和扰动中不稳定部分的q重模型，重模型，即即内模内模。 将受控对象式（将受控对象式（4）和伺服补偿器式（

20、）和伺服补偿器式（7）串联在一起，构成广）串联在一起，构成广义受控对象状态空间模型：义受控对象状态空间模型：wFuDxICyrBwFBEuDBBxACBAxccccc000000 设计镇定补偿器的目的是使得由式（设计镇定补偿器的目的是使得由式（10）描述的广义受控对）描述的广义受控对象稳定，可以用各种方法构造镇定补偿器，如采用状态反馈和动象稳定，可以用各种方法构造镇定补偿器，如采用状态反馈和动态输出反馈等。本节采用状态反馈：态输出反馈等。本节采用状态反馈：（10）y(t)-Kcw(t)eBAccEwBuAxxKe_uxCDFr_+xKKuc 在此状态反馈下，组合系统的结构图如下图所示。在此状态

21、反馈下，组合系统的结构图如下图所示。 为了实现极点配置，广义受控系统式（为了实现极点配置，广义受控系统式（10）必须为完全可控，）必须为完全可控，根据能控性的根据能控性的PBH判据，也就是要求对任意复数判据，也就是要求对任意复数s，成立：，成立：qmnDBAsICBBAsIranksrankVccc0)( 由于系统式（由于系统式（4）能控，即对任意复数）能控，即对任意复数s均有：均有：nBAsIrank 并且对所有不是并且对所有不是Ac的特征根，即不是的特征根，即不是（s）的根的）的根的s成立：成立：qmAsIrankc 这表明对所有不是这表明对所有不是（s）的根的）的根的s成立：成立：qmn

22、srankV)(（11）（12）（13）（14） 式式(14)的导出利用了分块矩阵的秩的一些性质：的导出利用了分块矩阵的秩的一些性质：QPrank00rankQrankP=QSPrank0rankQrankP0000)(000)(qmccnIDCBAsIAsIBIsV 因为系统式（因为系统式（9）完全能控，显然对任意复数）完全能控，显然对任意复数s均有：均有：qmnAsIBIrankccn)(000另外：另外：qmDCBAsIrankIDCBAsIrankqm0000如果对如果对（s）的所有根，成立：的所有根，成立：qnDCBAsIrank（15）（16）（17）（18）DBAsICBBAsI

23、sVccc0)( 根据根据Sylvester不等式：不等式： rankR+rankT-prank(RT) minrankR,rankT其中其中R为为lp阵，阵，T为为pk阵。阵。 因此对因此对（s）的所有根：）的所有根： n+qmrankV(s) n+qm 也就是说，根据式（也就是说，根据式（19）在式（）在式（18）成立的前提下，对所有复）成立的前提下，对所有复数数s成立：成立： rankV(s)=n+qm即广义受控对象式即广义受控对象式(10)为完全能控。为完全能控。（19）（20）（21）定理定理1：受控系统（受控系统（4）可按上图所示的控制方式实现渐近跟踪和）可按上图所示的控制方式实现

24、渐近跟踪和扰动抑制的充分必要条件为：扰动抑制的充分必要条件为：(1)：受控对象（：受控对象（4）完全能控能观。）完全能控能观。(2): dim(u)dim(y)(2): 对对(s)=0(s)=0的每一个根的每一个根i，成立：，成立：miqnDCBAIranki, 2 , 1,（22）（23） 注注: (2)式是式是(3)式成立的必要条件。式成立的必要条件。渐近跟踪鲁棒调节器设计算法渐近跟踪鲁棒调节器设计算法：已知已知: :受控对象模型式（受控对象模型式（4 4），参考输入模型式（），参考输入模型式（6 6）和扰动信号）和扰动信号模型式（模型式（5 5）。）。1）根据）根据Ar和和Aw位于右半闭

25、位于右半闭s平面上的特征值，构造平面上的特征值，构造(s)。2）根据）根据(s)，利用能控型实现，构造式（，利用能控型实现，构造式（9）形式的伺服）形式的伺服补偿器。补偿器。3）根据定理）根据定理1，检验系统是否满足式（，检验系统是否满足式（22）和（）和（23）。）。4）设计状态反馈控制器实现闭环极点配置，保证整个闭）设计状态反馈控制器实现闭环极点配置，保证整个闭环系统为渐近稳定。环系统为渐近稳定。注：若受控对象状态不能完全观测，则可以先利用状态观注：若受控对象状态不能完全观测，则可以先利用状态观测器重构系统状态，再用重构状态实现状态反馈。测器重构系统状态，再用重构状态实现状态反馈。例：考虑

26、线性时不变受控系统：例：考虑线性时不变受控系统：wxywuxx2100 12 . 000005 . 0101110参考输入参考输入r(t)为阶跃信号，扰动信号为阶跃信号，扰动信号w(t)满足模型：满足模型：wwwxwwAwx000001010要求设计渐近跟踪鲁棒调节器，使闭环极点的实部均小于要求设计渐近跟踪鲁棒调节器，使闭环极点的实部均小于-1/2。 计算可得计算可得,相应参考输入模型的特征多项式相应参考输入模型的特征多项式r(s)=s。相应于扰动信号模型的特征多项式相应于扰动信号模型的特征多项式w(s)=det(sI-Aw)=s3+s。 所以外部作用模型中所有不稳定极点所对应的特征多项式：所以外部作用模型中所有不稳定极点所对应的特征多项式： (s)=s3+s。 根据式（根据式（9）构造伺服补偿器：）构造伺服补偿器：e