2021-2022学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

1、2021-2022学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果1（4分）化简：2（4分）在极坐标系中，以点、和极点为顶点的三角形的面积为 3（4分）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工 人4（4分）从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道、大观园、历史博物馆、练塘古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 种安排方式（用数字作答）5（4分）在4个复数，中随机取出两个不同的复数、，则

2、为纯虚数的概率为 6（4分）两个事件、满足，且和独立，则7（5分）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达，则全年级该题得分的标准差为 8（5分）参数方程为参数）所表示的曲线为，椭圆以的焦点为顶点、且以的其中两个顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 9（5分）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 10（5分）已知复数、满足，若和的幅角之差为，则11（5分）对任意复数，定义，其中是的共轭复数对任意复数，有如下结论：；则其中正确结论的序号为 12（5分）已知平面上两个点集，若，则的取值范围是二、选择题（本大题满分20

3、分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13（5分）复平面中有动点，所对应的复数满足，则动点的轨迹为A直线B线段C两条射线D圆14（5分）已知事件、满足，则下列说法不正确的是A事件发生一定导致事件发生B事件发生一定导致事件发生C事件发生不一定导致事件发生D事件发生不一定导致事件发生15（5分）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功已知天绘卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为千米，距地球表面最远点的距离为千米，地球可近

4、似地看作一个半径为千米的球体，则天绘卫星的运动轨道的短轴长为千米ABCD16（5分）如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点到，乙从点到，且每人每次都只能向上或向右走一格则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为ABCD三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17（14分）“”是由复旦大学阳属中学联合浦东分校、青浦分校、复旦中学举行的数学学科知识竞赛，欢迎在数学上有所特长、或是对数学学科感兴趣的同学们报名参加，现将某次参加“”的学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考察该次竞赛的成绩分布将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中

5、从左到右依次为第一组到第五组各小组的小长方形的高的比为，第五组的频数为12请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：（1）该样本的容量是多少？（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；（3）该样本的第75百分位数在第几组中？18（14分）已知关于的方程在复数范围内的两根分别为、（1）若该方程没有实根，求实数的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；（2）若，求实数的值19（14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点已知两定点、，动点满足当发生变化时，动点的轨迹记为（1）求轨迹的方程；（2）若与圆交于、两点，求弦长的最小值20（16分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，满足的复数对应的动

6、点的轨迹记为（1）若为双曲线，求该双曲线的焦距和的取值范围；（2）若，且直线与交于、两点，求的面积；（3）若，过点的直线与有且仅有一个公共点，求与的公共点坐标21（18分）给出如下的定义和定理：定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点定理：过抛物线上一点，处的切线方程为完成下述问题：如图所示，设、是抛物线上两点过点、分别作抛物线的两条切线、，直线、交于点，点、分别在线段、的延长线上，且满足，其中（1）若点、的纵坐标分别为、，用、和表示点的坐标；（2）证明：直线与抛物线相切；（3）设直线与抛物线相切于点，求2021-2022学年上海市复旦附

7、中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果1（4分）化简：1【解答】解：，故答案为：12（4分）在极坐标系中，以点、和极点为顶点的三角形的面积为 6【解答】解：点转换为直角坐标为，故故答案为：63（4分）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工 8人【解答】解：根据饼状图：50岁以上的职工人数占，所以故答案为：84（4分）从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道、大观园、历史博物馆、练塘

8、古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 20160种安排方式（用数字作答）【解答】解：先从7名老师中选取4人，分配到4组学生中，再分配到4处景点，故有种故答案为：201605（4分）在4个复数，中随机取出两个不同的复数、，则为纯虚数的概率为 【解答】解：4个复数，中随机取出两个不同的复数、，基本事件总数，为纯虚数包含的基本事件有，共2个，为纯虚数的概率故答案为：6（4分）两个事件、满足，且和独立，则【解答】解：两个事件、满足，且和独立，则（A）（B），故答案为：7（5分）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达，则全年级该题得分的标准

9、差为 1.2【解答】解：根据题意，全年级480人的正确率高达，即得4分的有人，其余48人的分为0，则得分的平均数，则全年级该题得分的方差，则其标准差为1.2；故答案为：1.28（5分）参数方程为参数）所表示的曲线为，椭圆以的焦点为顶点、且以的其中两个顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 【解答】解：由为参数），得，则椭圆的两个焦点为，四个顶点分别为，由题意可知，椭圆的焦点为，短轴的两个顶点坐标为，可得椭圆是焦点在轴上的椭圆，且，则椭圆的标准方程为故答案为：9（5分）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【解答】解：设，为双曲线的两点，两式相减，化简整理，可得为的

10、中点，且直线斜率为，则双曲线的离心率为故答案为10（5分）已知复数、满足，若和的幅角之差为，则【解答】解：如图，中，以，为邻边作，由余弦定理得，所以故答案为：11（5分）对任意复数，定义，其中是的共轭复数对任意复数，有如下结论：；则其中正确结论的序号为 【解答】解：，而，故正确，故正确，故错误，故错误，故答案为：12（5分）已知平面上两个点集，若，则的取值范围是，【解答】解：由题意知是以原点为焦点、直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，是以为中心的正方形及其内部的点集（如图）考察时，的取值范围：令，代入方程，得，解出得所以，当时，令，代入方程，得，解出得所以，当时，因此，综合 与 可知，当，

11、即，时，故答案为：，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13（5分）复平面中有动点，所对应的复数满足，则动点的轨迹为A直线B线段C两条射线D圆【解答】解：，即，化简整理可得，故动点的轨迹为直线故选：14（5分）已知事件、满足，则下列说法不正确的是A事件发生一定导致事件发生B事件发生一定导致事件发生C事件发生不一定导致事件发生D事件发生不一定导致事件发生【解答】解：由已知可得，又因为，如图事件，用集合表示：则选项，正确，事件表示集合以外的，包含部分集合与集合，则正确，事件表示集合以外的部分，不包含集合，故错误，故选：

12、15（5分）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功已知天绘卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为千米，距地球表面最远点的距离为千米，地球可近似地看作一个半径为千米的球体，则天绘卫星的运动轨道的短轴长为千米ABCD【解答】解：由题意可得可得，所以短轴长，故选：16（5分）如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点到，乙从点到，且每人每次都只能向上或向右走一格则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为ABCD【解答】解：首先考虑甲从点到，乙从点到总的路径的对数，甲从点到，需要向上走4

13、步，向右走4步，共8步，甲从点到有种走法，乙从点到点，需要向上走4步，向右走4步，共8步，乙从点到有种走法，由分步乘法计数原理得：甲从点到，乙从点到，有种方法，下面计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数，证明：甲从点到，乙从点到相交路径的对数等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数，事实上，对于甲从点到，乙从点到的每一组相交路径，他们至少有一个交点，如图1，设从左到右，从小到上的第一个交点为，如图2，实线路径表示甲从到的路径，虚线路径表示乙从点到的路径，将点以后的实绩路径改为虚线，虚线路径改为实线，就得到一组甲从点到，乙从点到的相交路径，如图3，反之，对于甲从点到，乙从点到的任意一组相交路径，也都

14、可能用同样的方法将之变换成甲从点到，乙从点到的一组相交路径，即这两者之间的相交路径是一一对应的，甲从点到，乙从点到的任意一组路径都是相交路径，甲、乙行走的没有公共点的有种方法，甲、乙的行走路线没有公共点的概率为故选：三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17（14分）“”是由复旦大学阳属中学联合浦东分校、青浦分校、复旦中学举行的数学学科知识竞赛，欢迎在数学上有所特长、或是对数学学科感兴趣的同学们报名参加，现将某次参加“”的学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考察该次竞赛的成绩分布将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图）

15、，图中从左到右依次为第一组到第五组各小组的小长方形的高的比为，第五组的频数为12请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：（1）该样本的容量是多少？（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；（3）该样本的第75百分位数在第几组中？【解答】解：（1）由题意可知第五组的频率为样本的容量为（2）根据频率分布直方图可知，成绩落在，的人数最多，频率为（3）依题意可得，的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，该样本的第75百分位数在第4组中18（14分）已知关于的方程在复数范围内的两根分别为、（1）若该方程没有实根，求实数的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；（2）若，求实数的值【解答】

16、解：（1）关于的方程中，解得；解得；其在复数范围内的两根为，；（2），解得或（舍去）故实数的值为19（14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点已知两定点、，动点满足当发生变化时，动点的轨迹记为（1）求轨迹的方程；（2）若与圆交于、两点，求弦长的最小值【解答】解：（1）因为、，动点满足，所以，所以，设，即 两式相加得，即轨迹的方程为：；（2）将圆方程化为标准方程为：，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以，当时，所以弦长的最小值为20（16分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，满足的复数对应的动点的轨迹记为（1）若为双曲线，求该双曲线的焦距和的取值范围；（2）若，且直线与交于、两点，求的面积；（3）若

17、，过点的直线与有且仅有一个公共点，求与的公共点坐标【解答】解：（1）因为，所以表示的几何意义为的复数对应的动点到，距离之差为，若为双曲线，则，解得，双曲线的焦距为（2）当时，由（1）知为双曲线，且，所以，所以，它的方程为，设，联立，得，所以，所以，点到直线的距离，所以（3）当时，由（1）知为双曲线，且，所以，所以，所以的方程为，当直线与双曲线相切时，设直线的方程，联立，得，所以，得，又，化简得或，代入，得，所以与的公共点坐标为，当直线与双曲线的渐近线平行时，由上可知双曲线的渐近线的方程为，联立，解得，联立，解得所以与的公共点坐标为，综上所述，与的公共点坐标为，21（18分）给出如下的定义和定理：定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点定理：过抛物线上一点，处的切线方程为完成下述问题：如图所示，设、是抛物线上两点过点、分别作抛物线的两条切线、，直线、交于点，点、分别在线段、的延长线上，且满足，其中（1）若点、的纵坐标分别为、，用、和表示点的坐标；（2）证明：直线与抛物