东北大学自动控制原理第四章

1、 主要内容主要内容n根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念n根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则n用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性n小结小结 学习重点学习重点v了解根轨迹的基本特性和相关概念；了解根轨迹的基本特性和相关概念；v了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；轨迹的分类原则；v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；地应用到根轨迹的绘制过程中；v学会应用主导极点、偶极子等概念近学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。似分析系统的性能。根轨迹法根轨迹法 一种由一种由传递函数求

2、传递函数求特征根的简便方法。特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。数值关系的方法。 1948年，由伊文思（年，由伊文思（W. R. Evans）提出。）提出。根轨迹法的任务根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。法确定闭环极点。 根轨迹根轨迹 系统开环传递函数的每一个参数从零系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在在 S 平面上的变化轨迹。平面上的变化轨迹。)15 .0(ss

3、K例例4.1 二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程闭环极点闭环极点2( )220D sssK22( )22BKWsssK1211 211 2sKsK 研究开环放大系数研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同与闭环特征根的关系。当取不同K值值时，算得闭环特征根如下：时，算得闭环特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j1s332sK K由由00变化时，闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动的平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数

4、根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在对闭环特征根在S平面平面上分布的影响。上分布的影响。辐角条件和幅值条件辐角条件和幅值条件画根轨迹时，系统的开环传递函数表达式为：画根轨迹时，系统的开环传递函数表达式为：11()( )( )( )()mgigiKnjjKszK N sWsD ssp式中：式中： 根轨迹放大系数；根轨迹放大系数； 开环零点，开环零点，m个；个； 开环极点，开环极点，n 个。个。izjpgK( )1( )10( )gKK N sWsD s gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11对

5、于负反馈系统，闭环系统特征方程式为对于负反馈系统，闭环系统特征方程式为或可写作或可写作上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式辐角条件辐角条件：（充分必要条件）：（充分必要条件） 1111()()mnmnijijijijN sszspD s180 (12 )(0,1,2,)o 式中：式中： 开环零点到开环零点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角； 开环极点到开环极点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角； ij 1111()()miiiinjjjjszlN sD sLsp1gssK开环零点到 的矢量长度之积开环极点到 的矢量长度之积幅值条件幅值条件满足幅值条件和辐角条

6、件的满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。也就是闭环极点。 因为因为 在在0范围内连续变化，总有一范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。依据是辐角条件。 利用幅值条件计算利用幅值条件计算 值比较方便，它可值比较方便，它可以作为计算以作为计算 值的依据。值的依据。gKgKgK例例4-1 已知系统结构图如下图所示，根据辐角已知系统结构图如下图所示，根据辐角条件画出根轨迹；若要求条件画出根轨迹；若要求 ，则，则0.707?gK 4.2.1 4.2.1 绘制根轨迹的一般法则绘

7、制根轨迹的一般法则1 1 起点（起点（ = 0= 0） = 0= 0时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为上式即为开环系统的特征方程式。所以，当上式即为开环系统的特征方程式。所以，当 = 0= 0时，时，闭环极点也就是闭环极点也就是开环极点开环极点。gKgKgKnjjpssD10)()( 上式表明，当上式表明，当 =时，闭环极点也就是时，闭环极点也就是开环有限零开环有限零点点。2. 终点终点（ =）当当 =时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为gKgKgKmiizssN10)()(gK 今设今设N(s)为为m阶方程，故有阶方程，故有m个开环有限零点决

8、定了个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着个闭环极点，随着 =，它，它们都趋向无限远（们都趋向无限远（无限零点无限零点）。）。 3. 根轨迹根轨迹分支数和它的对称性分支数和它的对称性 因为因为 ，而根轨迹从开环极点出发，所以，而根轨迹从开环极点出发，所以根轨迹根轨迹有有n条条。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都故根轨迹都对称于实轴对称于实轴。 n m 4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上的所有零、极点

9、是共轭的，它们到总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180180 。 结论：结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。开环零、极点数目的总和为奇数。 证明：设证明：设 为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， 为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目， 由辐角条件由辐角条件 整理得整理得所以，实轴

10、上存在根轨迹的条件应满足所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足11(1 2 )mnijzpijNN ()2()(12 )zzzpzzpNNNNNNN ), 2, 1, 0(21pzNNzNpN5 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。 当当 nm 时，则有（时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于条根轨迹分支终止于无限零点无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的线由与实轴的夹角夹角和和交点交点来确定。来确定。 ), 2 , 1 , 0()21 (180mno无穷远处的特征根，到无穷远处的特征根

11、，到S平面上所有开环有限零点和极点平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为的矢量辐角都相等，均为 ，即，即ji1118012mnijijmn 独立的渐近线只有（独立的渐近线只有（n-m）条）条（1）渐近线的倾角）渐近线的倾角代入辐角条件得代入辐角条件得即渐近线的倾角为即渐近线的倾角为gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()n mnmkgn mn mjijisKspzs当当 时，时， ，即得，即得ksskjipz（2）渐近线的交点）渐近线的交点k由幅值条件由幅值条件令上式中等式两边的项系数相等，令

12、上式中等式两边的项系数相等，即得即得渐近线的渐近线的交点交点mnzpmiinjjk11由于由于 和和 是实数或共轭复数，故是实数或共轭复数，故 必为实数，必为实数，因此渐近线交点总在因此渐近线交点总在实轴实轴上。上。jpizk例例4-2 4-2 设开环传递函数为设开环传递函数为)4)(1()(sssKsWgK180 (12 )180 (12 )60 ,60 ,18030ooooonm 试确定其根轨迹渐近线。试确定其根轨迹渐近线。解解 （1 1）计算渐近线倾角。）计算渐近线倾角。 因为因为n=3n=3 ,m=0,m=0, 所以所以可得渐近线倾角为可得渐近线倾角为111405303nmjijikp

13、znm 因为因为 n=3, m=0；所以渐近线交点为所以渐近线交点为0120,1,4;ppp（2）计算渐近线交点。）计算渐近线交点。 6 分离点和会合点分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。分开的点称为分离点（或会合点）。 在下图上画出了两条根轨迹。我们把在下图上画出了两条根轨迹。我们把a a点叫做分离点，点叫做分离点，b b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。 ( )1( )10( )1( )( )( )0KgKgN sWsK

14、D sWsK N sD s ( )( )( )( )N s D sD s N s 分离点（会合点）的坐标分离点（会合点）的坐标 由下列方程所决定由下列方程所决定ds整理得整理得n如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。则在此区间上必有分离点。n如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。则在此区间上必有会合点。n用分离点方程式求解后，需将所求结果代用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的入特征方程式中验算。只有当与之对应的 值为正值时，这些分离点才

15、是实际的分离值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。点或会合点。 例例4-2 已知开环传递函数为已知开环传递函数为( )(1)(4)gKKWss ss解：由已知解：由已知( )1N s ( )(1)(4)D ss ss2( )3104D sss( )0N s代入分离点和会合点方程，有代入分离点和会合点方程，有2( )( )( )( )31040D s N sNs D sSS解得解得120.46,2.87ss 例例4-3 已知开环传递函数为已知开环传递函数为(3)( )(1)(2)gKKsWsss解解 由已知：由已知：( )3N ss( )(1)(2)D sss( )23D ss( )1

16、N s 代入分离点和会合点方程，有代入分离点和会合点方程，有由此得分离点和会合点分别为由此得分离点和会合点分别为( )( )( ) ( )(23)(3)(1)(2)0D s N sN s D sssss11.6s 24.4s 即即2670ss该系统的根轨迹图如下图所示该系统的根轨迹图如下图所示7 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角出射角 ：根轨迹离开：根轨迹离开S平面上开环极点处的平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。切线与实轴的夹角。入射角入射角 ：根轨迹进入：根轨迹进入S平面上开环零点处的平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。切线与实轴的夹角。scsr例例4-4 已知开环传递函

17、数为已知开环传递函数为试计算起点（试计算起点（-1+j1）的斜率。）的斜率。)22)(3()2()(2sssssKsWgK把以上诸值代入辐角条件，即得起点（把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为）的出射角为解解 令令 稍为增大，在（稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根）附近的特征根 应满足辐应满足辐角条件，即角条件，即ksks11234()180 (12 )o o6 .264112345 ,135 ,26.690oooo，解得解得111180nmoscjiji111180nmosrjiji同理可得同理可得入射角入射角的计算公式为的计算公式为通过这个例子，可以得到计算通过这个

18、例子，可以得到计算出射角出射角的公式为的公式为 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 ，此时系，此时系统处于临界稳定状态，令此时的统处于临界稳定状态，令此时的 。由此可计算对应的。由此可计算对应的临界放大系数临界放大系数 值。值。 确定交点的方法：确定交点的方法： （1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式； （2 2）利用劳斯判据）利用劳斯判据。 sjlKglKKsj例例4-5 设有开环传递函数为设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。 ( )

19、(1)(2)gKKWss ss32( )320gF ssssK假设假设根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 ，代入上式，代入上式，sj解解 方法（方法（1 1） 根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为 则得则得 亦即亦即 解得：解得： ， ，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹的起点； ， ，对应根轨迹与虚轴相交。，对应根轨迹与虚轴相交。 交点处的（临界放大系数）为交点处的（临界放大系数）为 0gK 6gK 023()3(2)0gF jKj233020gK2 6lK 方法（方法（2 2） 用劳斯判据计算交点和临界放大系数用劳斯

20、判据计算交点和临界放大系数3213s2sgK1s23gK0sgK32( )320gF ssssK劳斯表劳斯表特征方程特征方程在第一列中，令在第一列中，令 行等于零，则得临界放大系数行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即行的辅助方程求得，即 令上式中令上式中 ，即得根轨迹与虚轴的交点为，即得根轨迹与虚轴的交点为 6gK 2sj 2s230gsK6glKK1s 9 根轨迹的走向根轨迹的走向 如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行另一些根轨迹必左行 。说明：把特征方程式改为说明：把

21、特征方程式改为式中：式中： 是一个常数，它是各特征根之和。这表明，是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着随着 值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。 2mn 1111()0nnnkjnjWssRsa sanjjRa11gK根轨迹绘制法则归纳如下：根轨迹绘制法则归纳如下：（1 1）起点（）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2 2）终点（）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括（包括 m 个有限零点和（个有限零点和（n-m）个无限零点）。）个

22、无限零点）。（3 3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 ，根轨迹对称于，根轨迹对称于实轴。实轴。（4 4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。应是奇数。0gK gK n（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 0)()( )()( sDsNsNsD（6）根轨迹的渐近线。）根轨迹的渐近线。 渐近线的倾角渐近线的倾角 ), 2 , 1 , 0()21 (180mno渐近线交点渐近线交点 mnzpmiinjjk11（9）根轨迹走向。）根轨迹走向。

23、如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行右行时，另一些根轨迹必左行。2mn（8）根轨迹与虚轴交点。把）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式代入特征方程式 ，即可解出交点处的临界即可解出交点处的临界 值和交点坐标。值和交点坐标。sjgK入射角入射角njmiijosr111180111180njmiijosc出射角出射角（7）根轨迹的出射角与入射角。）根轨迹的出射角与入射角。 4.2.2 4.2.2 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹1. 1. 二阶系统二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为设二阶系统的结构图如下图所示。

24、它的开环传递函数为( )1(1)()gKKKKWssTss sT二阶系统的根轨迹图如右图所示。二阶系统的根轨迹图如右图所示。gK如果要使得系统的阻尼比为如果要使得系统的阻尼比为 21则从原点作阻尼线则从原点作阻尼线0R, 交根轨迹于交根轨迹于R（见右图）。（见右图）。 开环放大系数开环放大系数 应为应为 KK12KKT上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同 2 2开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。 它的开环传递函数为它的开环传

25、递函数为)2 . 0()() 15(2 . 0)()(ssasKssasKsWgK由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：分离点和会合点： aaas2 . 021aaas2 . 022 本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。能改善系统动态品质。时的根轨迹图时的根轨迹图 1a 3. 三阶系统三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示

26、。它的开环传递函数为示。它的开环传递函数为( )(1)(1)(1)()KKgKWss sTsKs ssa在在 时，分离点为时，分离点为 和和 。因为在。因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为之间不可能有根轨迹，故分离点应为 。4a 467. 01s87. 22s467. 01s当当 时，根轨迹与虚轴交点为时，根轨迹与虚轴交点为对应的根轨迹放大系数为对应的根轨迹放大系数为考虑到考虑到 ，于是得临界开，于是得临界开环放大系数为环放大系数为根轨迹绘于右图。根轨迹绘于右图。4a 220gKlgKK45420lK本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增

27、大，增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。 gK4. 开环具有零点的三阶系统开环具有零点的三阶系统开环传递函数为开环传递函数为21211( )(1)()dKdigKsWsTs TsKszssp4.2.3 4.2.3 零度根轨迹零度根轨迹 零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是 ，而，而是是 的情况。的情况。 )21 (180 360 图示系统有一个零点在图示系统有一个零点在S右半平面，它的传递函数右半平面，它的传递函数为为)()()1 ()1 ()(111psszsKsTssTKsWgakK 它的闭环特征

28、方程式为它的闭环特征方程式为 0)()()()(11zsKpsssNKsDgggKpsszssDsN1)()()(11亦即亦即 gKpsszssDsN1)()()(11幅值条件幅值条件辐角条件辐角条件minjjipszssDsN11)()()()(11360(0,1,2)mnijij由于辐角条件是偶数个由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。，故名为零度根轨迹。 零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1 1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是偶数。应是偶数。（2 2）根轨迹的渐

29、近线。倾角根轨迹的渐近线。倾角 （3 3）根轨迹的出射角与入射角。根轨迹的出射角与入射角。2,(0,1,2,)nm111360nmosrjiji111360nmoscjiji入射角入射角出射角出射角例例4-7 4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。试绘制下图示系统的根轨迹。 （1）二个开环极点：）二个开环极点： ， ； 一个有限零点：一个有限零点： 和一个无限零点。和一个无限零点。00p111TpaTz11)()()1 ()1 ()(111psszsKsTssTKsWgakK解：解：式式中中1111111,kgaK pKzpzTT （2）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，）实轴上根轨迹

30、。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，才能满足辐角条件。因此在实轴的才能满足辐角条件。因此在实轴的0 和和 区区间存在根轨迹。间存在根轨迹。（3）分离点与会合点）分离点与会合点 分离点与会合点分别为分离点与会合点分别为 11TaT10)()()()( )()( 111psszsspssDsNsNsD11111aaTsTT21111aaTsTT 根轨迹如下图所示。根轨迹如下图所示。 不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点点 ，半径为，半径为 。 aT

31、z1111TTa4.2.4 4.2.4 广义根轨迹广义根轨迹 广义根轨迹（或参数根轨迹）：以广义根轨迹（或参数根轨迹）：以 以外的参数作为变量的根以外的参数作为变量的根轨迹，称为广义根轨迹。轨迹，称为广义根轨迹。假设系统的可变参数是某一时间常数假设系统的可变参数是某一时间常数T，原特征方程式变为，原特征方程式变为gK( )( )1( )( )gTTK N sTNsD sDs 式中，式中， 、 分别为等效的开环传递函数分子、分母多项分别为等效的开环传递函数分子、分母多项式，式，T的位置与原根轨迹放大系数的位置与原根轨迹放大系数 完全相同。完全相同。( )TNs( )TDsgK例例4-84-8已知

32、系统的结构图如下图所示，已知系统的结构图如下图所示， 以为以为 变量，绘制根轨迹。变量，绘制根轨迹。gKs sp2( )1keqgsWsspsK 根轨迹绘出以后，对于一定的根轨迹绘出以后，对于一定的 值，即可利用幅值条值，即可利用幅值条件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。知的输入信号，分析系统的暂态特性。gK4.3.1 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 根据已知的根据已知的 值，在根轨迹上确

33、定特征根的值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用位置时，可以采用试探法试探法。 对于对于 的系统，可先在实轴上选实验的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。gK3nm例例4-9 系统开环传函为系统开环传函为试确定试确定 的闭环极点。的闭环极点。 14gKKWss ss10gK 4.3.2 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析控制系统：用根轨迹法分析控制系统： 定性分析稳定性分析。定性分析稳定性分析。 定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。 控制系统的性能是由闭环

34、零、极点的位置决定的。根轨迹控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最最大优点大优点就是可以就是可以直观直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。统性能。(1)(1)闭环系统有两个负实极点闭环系统有两个负实极点暂态过程主要决定于离虚轴近的暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。极点。一般当时一般当时 ，可忽略极点，可忽略极点的影响。的影

35、响。 由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。215RR2R 假设假设 不变不变随着阻尼角随着阻尼角 的改变，极点将沿着以的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。为半径的圆弧移动。arccosnn(2) (2) 闭环极点为一对复极点闭环极点为一对复极点由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 决定系统的暂态特性。决定系统的暂态特性。narccos 假设假设 不变不变则随着则随着 增大，极点将沿矢量方向延伸。增大，极点将沿矢量方向延伸。n等阻尼线等阻尼线 是表征系统

36、指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。 有相同有相同 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。时间。nn等衰减系数线等衰减系数线 (3)(3) 闭环系统有一对复极点外加一个实极点闭环系统有一对复极点外加一个实极点 系统超调量减小，调节时间增长系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点一对复极点和一个实极点 当实极点与虚轴的距离比当实极点与虚轴的距离比复极点实部与虚轴的距离复极点实部与虚轴的距离大大5倍以上倍以上时，可以不考时，可以不考虑这一负极点的影响，直虑这一负极点的影响，直接用二阶系统

37、的指标来分接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。析系统的暂态品质。 （4）闭环系统有一对复极点外加一个零点）闭环系统有一对复极点外加一个零点 将增大系统超调量将增大系统超调量但是，如果但是，如果 ， , 则可以不计零点的影响，直接用则可以不计零点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。态品质。5 . 0nz41一对复极点和一个零点一对复极点和一个零点 （5）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子。偶子。用根轨迹法分析系统暂态品质的用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点最大优点是可以看出是可以看出开环系统放大系

38、数（或其它参数）变化时，系统暂态开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统暂态品质怎样变化。品质怎样变化。 偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。 4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。211212( )()(1)(1)()()gKKKKWspps TsT ss spsp如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为)()()(21pspsszsKsWgK例例4-10 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 开开环环零零点点在在不不同同取取值值情情况况下下的的根根轨轨迹迹 从以上四种情况来看，一般从以上四种情况来看，一般第三种第三种情况比较理想，这情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标时系统具有一对共