线性代数重难点大纲

1、绪论从高科技本质上就是数学技术到CT技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的矩阵母。工程数学之线性代数线性代数主要讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初 等变换；矩阵的特征值、特征向量与相似，以及线性方程组和二次型。n维向量空间相关性理论则是本课程的难点所在。全书各部分以线性空间与线性变换为主线，逐渐阐述欧氏空间的理论，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。第一章 行列式内容概述：行列式是线性代数中的一个重要概念。本章从二、三元方程组的解的公式出 发，引出二阶、三阶行

2、列式的概念，然后推广到n阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n元方程组的克拉默法则。第一节行列式的定义和性质教学目的：复习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，掌握到 n阶行列式定义和性 质。重点难点：n阶行列式定义和性质教学过程：一、复习二阶、三阶行列式的概念1. 二阶行列式我们从二元方程组的解的公式，弓I出二阶行列式的概念。在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）,用巾=*的2-如2L巧加减消元法容易求出未知量 xi, X2的值，当a11a2a12a27J 0时，有 （2）:饷+咖珂（1）这就是二元方程组的解的公式

3、。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是 引进二阶行列式的概念。我们称记号（3）为二阶行列式，它表示两项的代数和:all= fltF23_2aiaLl刚陀1a22（3）即定义陀1a22(4)- a11a22a12a21二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从 / 左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号，这条连线为副对角线（或次对角线），即: P21 鋭由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示；如果将 D中第一列的元素311, 321换成常数项b1, b

4、2 ,则可得到另一个行列式，用字母D表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：；工 -:一，这就是公式（2）中X1的表达式的分子。同理将 D中 第二列的元素312, 322换成常数项b1, b2 ,可得到另一个行列式，用字母 D表示，按 二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：3nb2-b 1321，这就是公式（2）中X2的表达式an知ai如是二元方程组的解的公式又可写为XiD =的分子。于是有2. 三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为知珂+划七+珂护厂勿2lxla22x2+a23x3 =b2厲Mi +旳询+碍内=色 （1）还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公

5、式，当勺他宓坤北3細+旳牝幽询血佝P角切F血为2诃时，有 如皿菇+術內拓+妬的仍总3十他化金1 +业列的厂场莎為厂的朮烤3 -的內耗2尊如刀一业如21a代* +肉口诜1+内2 一闵渔矗厂曲声2內广曲必企2的他伽+內处羽1 + %押2T 审2代厂肉必他-如也色国內癌+砖必2运1 +如角厂细加巧厂肉件肉（2）这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行 歹U式的概念。我们称记号为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆:从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号,5faJSt.TtftnH二刚 2蚀+。12 泌 31 +

6、fl13flla32(3)次对角蝶方向由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示。同理将 D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项bi,b,b3就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为Di, D2, D3于是有久网2处L1旬切如加对A=幻勺】fl236 =乌=切2$毎也2切跨1 h切釘1対2 h按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（ 2）中xi, X2,X3的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。201例1 ：计算D =1-4-1-183于是三元方程组的解的公式又可写为DiD2D3X| 二 ,X2

7、 二 ,X3 DDDD =2 (-4) 3 0 (-1) (-1) 1 1 8-1 (-4) (-1)-0 1 3-2 (-1) 8 =-24 8 -4 16 二-4二、排列、逆序数与对换1 排列定义(排列)：由n个不同的元素1,2,3,n排成的任一有序数组，称为这n个元素的全排列，简称排列。N个元素排列的总数为 n!个.2 .逆序定义：我们将n个不同的自然数从小到大规定为标准次序，如12345。在一个排列p1P2 .p n中，如果有某个较大的数i t排在较小的数i s的前面，就称排列有一个逆序。例如在12354中，较大的数5排在较小的数4之前，就称排列有一个逆序或5与4为一个逆序。一个排列P

8、1 P 2 .p n中逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为N(p1 P 2 .p n)。例如N( 12345) =0, N( 12354) =1 N (13254) =2求一个排列p1 p 2 .p n的逆序数的方法是：法1：先求第一个元素 P1的逆序数Z即前面有几个比它大的数，再求第二个元素P2的逆序数N2,，最后求第n个元素pn的逆序数Nn,将它们加起来即可。法2：看第一个元素P1的后面有几个比它小的数目N1，再求第二个元素 P2的后面比它小的数目N2,，最后求第n个元素Pn的后面比它小的数目Nn,将它们加起来即可。法3:先看数1,看有多少个比1大的数排在1前面，记为N1,，再看有多少个比

9、2大的 数排在2前面，记为N2,，再看有多少个比 n大的数排在n前面，记为Nn(=0)即无论哪种方法，都有N(5p2山pn)=弘 N2 l)INn例 2 计算 N (32514)和 N (34125)解：在32154中3的逆序数为0,2的逆序数为1,5的逆序数为0,1的逆序数为3,4的逆 序数为 1 即 N( 32514) =0+1+0+3+仁5.同理 N( 34125) =0+0+2+2+0=43. 奇偶排列定义：如果N(P1 P2 .pn)为奇数，则称P1 P2 .Pn为奇排列；如果Ng p? .pj为偶数，则 称P1 P2 .pn为偶排列.规定：排列1 2n为偶排列.32154是奇排列，

10、34125是偶排列。4. 对换例如在排列32145中，将2与4对换，得到新的排列34125。这称为对换。定义(对换)：在一个排列 ai .a s .a t .a n中，如果只将 as与at的位置互换(其 余均不动)，得到另一个排列 ai .a t .a s .a n,这样的变换称为一次对换。将相邻元素 对换，叫做相邻对换。N (34125) =4 奇排列经对换 2与4后变成了偶排列 N( 32514) =5定理1 : 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。证：1)首先讨论对换相邻两个元素的情况。设排列为aJHaiabbJHbm将相邻两元素a与b作一次对换，则排列变为丨Haibad川bm

11、，显然对元素ajl(ai,biHbm来说，并不改变它们的逆序数。而元素的逆序数改变为：当av b时，经过a与b对换后，排列的逆序数增加 1个；当a b时，经过a与b对换后，排列的逆序数减少1个。所以对换相邻两元素后，排列改变了奇偶性。2)再讨论一般情况.设排列为ai |l(aiabi川bmbGMCn欲将a与b作一次对换，这是对换不相邻的两元素 的情况。但它可以看成是先将b与bm对换，最后与 bi对换，即b与它前面的元素作 m次相邻元素的对换变成排列a1 IltaabbJHbmGlIICn ;然后将元素 a与它后面的元素b,bi,bm，作m+1次相邻元素的对换而成。即相当于作m+(m+1)=2m

12、+1次相邻两元素的对换。由前面证明的可知，排列的奇偶性改变了2m+1次。不论m为何数，2m+1必为奇数，说明排列改变了奇偶性。于是证明了任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变。证毕推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对调次数为偶数。证：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立。证毕三、行列式的定义观察a12a13a23 = a11a22a33 * a12a23a31 * a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32寻找规律：1)三阶行列式是3!项的代数和。2)每一项都可写成a1p1a2

13、p2a3p3，恰是来自不同行不同列的三个元素的积。3) P1P2 P3时123的一个排列，当排列是偶排列时，项取正号；反之取负号。因此，各项所带的符号可以表示为 (-仃,t为列标排列p1 p2 p3的逆序数。a11即 D = a21a13a32=1) a1 p1a2p2a3p3表示对123三个数的所有排列P1 P2P3 取a23和。仿此，可以把行列式推广到-1 定义(n阶行列式定义)不同行不得同列n个数的乘积，并冠于符号 中P1PJII Pn为自然数12n的一个排列， 有这n!项的代数和a (-1)ta1p1a2pJHanp或忖n，数 aj称为行列式det(aj)的元素。般情形。:由n2个元素

14、排成n行n列的数表(表1)作出表中位于(-仃，得到形如(-1,印趨p2anpn的项，其t为这个排列的逆序数，这样的项共有n!项，所称为n阶行列式，记作表2形式，简记为det( aij),ana12II)a1na1a2111ana21a2211 丨a2n_a21a221 1 丨a2nD =III川川川iF1an1an2annan1an2IIIann表1表2注意：1、n阶行列式的定义有三个要点：(1 )是n!项的代数和；(2 )每一项的符号是：当其元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列 为偶排列，则取正号；如果为奇排列，则取负号；（3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有

15、 n!项）.2、由行列式的定义不难看出：如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零， 则此行列式的值必为零。3、按此定义的二阶三阶行列式和前面用对角线法则定义的二阶三阶行列式显然是 一致的。当n=1时，一阶行列式|a|=a不是绝对值。例3求对角行列式 D1和D2 （主对角线或副对角线以外元素全为零的行列式）、上三角形行列式D3 （主对角线下方元素全为零的行列式）、下三角形行列式 D4 （主对角线上方元素全为零的行列式）的值。印 III 0Ml 0 ana)1 a? Ill aa1 0 川 00 川 0 an0 电 III 000 a?n1 00去川aa 22 川 00 IIIaa aD二1 1

16、 1D2 二:. -.1 1 D 二:1.111111D4 =:, .111-1D=1L1r1-0 0川為a1 0 0 00 0川aa %川aj41 川 ann_1 an（n_!）解:显然 Di=D3=D4= aiia22 川 ann , D5= D2 = （-1） dna2,n11 an1 = （-） 號 a2,nJ I H an12 另一种定义（n阶行列式定义）：n阶行列式的定义为 D=v （-1）ta1pa2P21 |anpn，行排列是标准排列，是否可以使列排 列为标准排列？也就是可以将a1p1 a2p,anpn经过若干次的对换变成 aq11aq2| aqnn而不改变原来的符号吗？先看对

17、换一次情况如何：将IHaip IHajPj |anPn中的aip、a.对换为此时行标排列由1ijn变为1jin,逆序为r,由定理1知r为奇数；列标排列 由P1PiPj HI Pn变为P1 III pl I P逆序为k ,则由定理1得（_1）t（_1）k十1）k r，于是（旳師川ajllajpjlllanpn =（-1厂師川知川知川 它表明对换两元素后，行标排列和列标排列之和不改变奇偶性。经过一次对换是如此，多次；可否淡化:一点？；I对换后还是如此，若干次后，列标排列p1 p| pn （逆序数为t）变为自然排列（逆序数为o）, 行标排列由自然排列变为新排列q1q|qn ,逆序数为s ,则有(_1

18、ya1p1a2pjHanpn = (_1)aq11aq2Haqnn，由此可得:定理2n阶行列式也可定义为D 1）taq1a2|an其中t为行标排列的逆序数D 八(MaqzlHapnq其中s、t为行证明：略（看书）。事实上n阶行列式还可更一般的定义为 标和列标排列的逆序数。四、行列式的性质ana21a12HIa1na2n则dtan1an2川annana12*ra1na21a22III an1川an2称为行列式D的转置行列式a2n川ann性质1行列式与它的转置行列式相等证明:则Dt说明：a11a12IIIa1nb11b12IIIbma21a22IIIa2nTb21b22 1 11b2n*Iqqr设

19、D =*“*“an1an2IIIannbn1bn2川bnn八（旳鸟卩2川骗 八（-1严2叭31心22|叩二D行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。性质2互换行列式的两行行列式变号。（交换ij两行（列）记为 斤 qccj）证：设行列式D1 =Pib12b22IIIIIIbinb2n是由原来的行列式 det（aj）变换i，j两行得到的,bn1bn2IIIbnn不是i,j行时，即k丰i,j, bkp = akp ；当是i,j行时即k=i,j,切二ajp,% =即于是D1八（-1）訂阪IllbjPj II%八（-1）匕|飾|毘川1%八（-1）时|轴|%川孤其中1ijn为自然排列，

20、t为排列口川p| pill pn的逆序数，设排列Pill） Pj川p|l| pn的逆序数为S,则（_卄_3）s故D1=： （-1）瓦川&川和|0广-D证毕推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0 （互换两行，-D=D故D=0）性质3用数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘此行列式。记法：第i行乘以k,记为ri k，简记kri ；第i列乘以k，记为c k ,简记kc。推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面性质4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式等于0。性质5如果行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一

21、行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。即a11+a12fbIIIfhai n4ia11+a12fhIII1a1nFba11+ai2IH卜卜am+Pb2 +c2fbPIIIfh4i=+bi+P b2fh1III1FbnFb+c+C2bIII卜卜:+an1Pan2PIIIann+an1Pan 21IIIFann+an1an2bIII1annan比III d+G川為如a? Ill b川為a1比III g川為a21a?2山鸟坨川a2n-+-r+i+ir+=还1a?2IIID卅a 1卜I FF1+ +a21a22 III q IIIa2n11RFFq+4F+an1 耳2 山 bn+cn 川 4

22、nan1 氐 III b.川 annI-I-4FFan1耳2川cn川ann说明:D=2： （-1）3川|（匕+q川叽=送（-1应|也11%+送（-1应归川孤=。1+。2k后再加到另一行（列）对应的性质6:行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数元素上去，行列式的值不变。记为rs krt （cs - kct）a11+a12IIIia1 n证：D =+as1+1as2i1IIIiasnF作 rs +krt 得 D1at1+at2IIIiatnb+an11an21IIIbanna11+a12卜III4a1n+1 kat1+as 2 kat 2F1-4III44asn katnF+at1+rat2卜I

23、II4ratn+an1Fan24IIIanna11+a121-III1a1 nba11+旦21IIIia1n+as1has2III1-asn+kat1kat2III+katn+1-11bb+11i+at1+at21-III1atnbat1+at21IIIi為+an1han2IIII-ann+an1an2III+ann说明：性质5表明可以将复杂的行列时分解为两个行列式，甚至可以继续下去；性质236介绍了行列式的三种运算，利用这些运算进行化简，特别是利用性质 三角形行列式。6将行列式化为（上）3-511-132-4计算D =201-11-53-3例4（把an换成1,将该行或该列其他元素消成0,继续

24、消成三角形行列式）3 111 31D =1131 1 11 一 一 一（注意所有行或所有列的兀素之和相等，则全部加到第一行或第1列，提取公因子，再消成三角形行列式）X1X2X3练习X1X2X3是方程x3+x+仁0的三个根，求X2X3X1的值X3X1X2abcd例6计算D =aa +ba +b +ca +b +c +da2a+b3a+2b+c 4a+3b+2c + da3a +b6a+3b+c 10a+6b+3c+d淡化证明重在说明强化应用判断：通过ri r 2 ,r2 - 口 计算a+cc aZd是否正确?d ba11山a1n441-0例8 设d =ak1HIakkCI1C1nhbl11III

25、bmCn1卜3nkbn1III卜bnn证明：D=D 1D2a“川a1nbl1illbln，D1 =+h+F，D2 =*J+-I+4ak1川 akkbn1川bnn五、小结：行列式的重点是计算，应当在理解行列式的概念、掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算低阶行列式， 会用恒等变形化行列式为上下三角形行列式，从而直接求其值。六、作业：P32的 1、2、3、4（ 1）（ 2）（ 3）、5（ 1）（ 2）（ 3）、6、7（ 1）（ 2）板书:课后反馈:绪论讲了半节课，时间有点紧张，例5以后都没讲，后一节课讲了例 5和例8。前面会罗嗦点，后面会加快一点。作业只做到5（ 2）第二章矩阵及其运算内容概述：矩

26、阵是数学中的一个重要的概念；它是线性代数的主要研究对象之一，在科 学技术及经济领域中有广泛的应用。矩阵理论贯穿线性代数始终，对矩阵的理解和掌握要扎实深入融会贯通。这一章的目的是引入矩阵的概念及运算，并讨论它们的一些基本性质，最 后给出两种求逆矩阵的方法。考试要求：1理解矩阵概念，了解一些特殊矩阵定义2掌握矩阵线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律；了解方阵的幂、方阵行列式3理解逆矩阵概念，掌握其性质、矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵，会用它求逆阵4了解分块矩阵概念及运算第一节矩阵及矩阵的运算教学目的；掌握矩阵以及一些特殊矩阵的概念、运算和性质重点难点：概念、运算与性质教学过程:、矩阵anA=血

27、a22_am1川3inIIIa2n通常，我们用大写拉丁字母A, B, C等表示矩阵，为了明确起am2川amn1定义：由mxn个数 (i T,2 |l|m, j 1,2川n)排成一个m行n列的矩形表称为一个m行n列矩阵，简称 mxn矩阵，其中的元素 a 称为矩阵的第i行第j列的元素。见，有时在右下角标明矩阵的行数和列数，例如 A n或记作 Amn或A = = (aij )m n元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等：矩阵Am n Bm n是同型矩阵且它们的元素都相等。Qj FjO, j =1,2| I n)= A= B例；A=B

28、得到 x= y= z=2 一些特殊的矩阵：零矩阵（Zero Matrix）:元素全为零的矩阵称为零矩阵，mx n零矩阵记作0mvn或0。 注意：不同阶数的零矩阵是不相等的。行矩阵（Row Matrix）：只有一行的矩阵 A = a1,a2|,an ,称为行矩阵（或行向量）.列矩阵（Column Matrix）:只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）.方阵（Square Matrix）:行数与列数都等于 n的矩阵，称为n阶方阵An对角阵（Diagonal Matrix）:方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。=diag 数量矩阵（Scalar Matrix）:单位矩阵（Identity M

29、atrix）:1.2.行列式与矩阵的区别：方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。方阵，主对角元素全为 1,其余元素都为零。记作En或E一个是算式，一个是数表一个行列数相同，一个行列数可不同.00001362i、0000a2列矩阵，鼻(0000 ), B=+2220000+*12222000丿J广k.记为：An阶方阵可求它的行列式是复矩阵，是方阵a2是对角阵,kEn3.对-I 二diag(q,a2，|l|an)=是数量矩阵an3.矩阵的应用实例例1:（价格矩阵）某工厂往三家商店（Shop）送四种食品（Food），aij表示第i个商店第j种*1581122、A =1691219J8815

30、16例2:（通路矩阵）四F1F3S2S3食品的数量，单位量的售价F2（以某种货币单位计）和重量可用以下两个矩阵给出|2i市到j市有通路, aij = 1，从i市到j市没有通路，aij = 0。则这四个城市的通路可 用矩阵表示，可以将它推广到若干个城市：100例3：（赢得矩阵）0丿我国古代有 齐王赛马”的事例，说的战国时代齐王与其大将田忌赛 马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛 ，这样共赛马3次，的败者付给胜者一百金。已知在同一等级马的比赛中，齐王 之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王 中、下等级的马。比赛策略：1=（上、中、下），2=（中、上、下），3=（下、中、

31、上），4=（上、下、中），5=（中、下、上），6=（下、上、中），aj表示齐王的第i种策略对田忌的第j种 策略的结果，分别为3，1，-1，-3。，则齐王的赢得矩阵A每次比赛311113111113-111-113111113一1-11111an+a22+III+anX!qx+q坯+III+aIII III 川amx+磁+川+a如图所示。从矩阵中可以得到齐王策略和田其策略。例4：（系数矩阵）n个变量x1,x2|xn与m个nl*线性变换确定系数矩阵， 反之亦然。线性变换和系数矩阵存在着一一对应的关系，今后 我们研究线性变换只需研究系数矩阵即可。特别的，某些线性变换对应着特殊的矩阵:恒等变换% =儿

32、，y2 =X2,Ey =Xnr1o山0o1WoIIIIIIIII川lo01单位阵- 川 -ryyy ：y2例5 （投影变换和旋转变换）广10、伙=1 x + 0 y对应线性变换彳将变为0y = 0 x +0 y如图所示cos-sinsin cos寸应线性变换35y,二 sinx cosy将/变为yX1如图所示y1二、矩阵的运算：1.矩阵的加法：定义：两个 m行n列矩阵A二）和B = （bij）对应位置元素相加得到的 m行n列矩阵， 称为矩阵A与B的和，记为A+B,P(x,y)应当注意：只有两个矩阵是同型矩阵时, 这两个矩阵才能进行加法运算。例6123-5189、1-90+654268a1nU=

33、九a21a22III-92n11IIIIIIIIIIH .一&am1/-am1IIIamn 丿举例：数与矩阵 A相乘和数与行列式相乘不同。数乘运算律：A B是mXn矩阵，入卩是数(1) 1A=A ( 2) 0A=0(3)(入卩)A=入(卩 A)(4)(入+卩)A=入A+卩A (5)入(A+B)=入A+入B 表示数的结合律和分配律。 注意：在(2)式中，左边的0表示数零，而右边的 0则表示m行n列零矩阵。 矩阵相加与数乘合起来统称为矩阵的线性运算例7求满足下列等式的矩阵X .广21-2X =43-3、-1bJ-13、矩阵的乘法 ：定义(矩阵的乘法)：设A=(aj)m s B =(bj)s n则矩

34、阵A和B的乘积AB=C=(q)mns其中 cj =ai1b1j +a2b2j +| +aisbsj = aik bkj (i 二1,2, |m； j =1,2，朴|，n),k_1说明：1如果矩阵A的列数等于矩阵 B的行数，则A与B可以相乘，否则不可乘。其 乘积C的第i行第j列的元素Cj等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素 乘积之和。并且矩阵C的行数等于矩阵 A的行数，矩阵 C的列数等于矩阵 B的列数。2矩阵乘法不可交换 ABo A=(1,0,4), B =(1,1,0)T验证ABM BA,甚至无意义。3左乘和右乘有严格区别。若AB=BA称A与B可交换。4AB=0可能AM0且BM0

35、即无真零因子。验证广 24 -2-3显14=0-2丿5A=0 0丿0 0丿 B=C;反之成立。例9求(b b2 )a12a21a22丿例10求2-81f1512-81103a1 1b,a11a21a32a33a34 74a21 a 2 2 a1 3a2 3a3 3aI4 n n .2 n n得到 Em mAmAmAm n En n , E单位元 1 ；(入E)A=入A=A(入E)=入A 入E是方阵纯量阵相当于数乘线性方程组可以写为 ax=y , A为系数矩阵，X=(x 1,x2,x n) , Y=(y 1，y 2,y n) 矩阵乘法的运算规律：(设下列矩阵都可以进行有关的运算)(1) ( AB

36、) C=A( BC(结合律)(2) k (AB) = ( kA) B=A(kB) ( k 是实数)(3) ( A+B C=AC+BC C( A+B) =CA+CB(左右分配律)例如瓷个方阵的幕有以下运算规律: 则(1) AmAk 二 Am k 一般来说，对k11例11已知A二(AB)2)(设A是方阵，k,l是自然数.)k(2) (Am) =Amk. (3 ) En = E 只有当 AB=BA寸(AB k=Bk-1JAkBk(1求:2 2 2 2A , B , A-B , (A + B)(A B).匀的+知乃+ +电心 “1划al2叫、aA 叱 a2nX =fiB =.1_务】珂+除円+尙丸為二编严諒也 如*丿MxnAx=B 。根据矩阵乘法的定义，则线性方程组可以表示为4、方阵的幕定义(方阵的幕)：设A为n阶方阵，则k个A的连乘积称为方阵 A的k次幕,P1-戸占4丿=卫22丿b 4兀4丿1104丿我们看到:例12.通路矩阵111、2110、10000111，则 A2 =010010001101o丿0211表示从i市中转一次到达j仪15、(月+B)(*_ B)二4 f5 a(15 22) 6 14jJ SJu 丿$ 0护-B2 =* - -7 _ ?，这是因为乘法不满足交换律。市的航线条数。COS e-sinnCos