向量的内积长度和正交性

1、第五章第五章 相似矩阵相似矩阵第一节第一节 向量的内积、长度和正交性向量的内积、长度和正交性1、向量的内积和长度、向量的内积和长度2、正交向量组、正交向量组3、施密特正交化过程、施密特正交化过程4、正交矩阵、正交矩阵定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积内积的运算性质内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx时有时有且当且当 线性性线性性正定性正定性定义

2、定义2 2 非负性非负性. 1齐次性齐次性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx 维向量间的夹角维向量间的夹角单位向量及单位向量及n .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 时时当当. 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念. ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交., 0,与任何向

3、量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线线性性无无关关. ., , , ,则则非非零零向向量量, ,是是一一组组两两两两正正交交的的, , , ,维维向向量量若若定定理理rrn 2121 1例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已

4、知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 向量空间的正交基向量空间的正交基., 212121的正交基的正交基向量空间向量空间是是则称则称组组是两两正交的非零向量是两两正交的非零向量且且的一个基的一个基是向量空间是向量空间若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx则则有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有0,3231 解解 ., 0, 213213

5、正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 规范正交基规范正交基. ,)( , 3212121 的的一一个个规规范范正正交交基基是是则则称称向向量量两两两两正正交交且且都都是是单单位位如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设定定义义VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一个个规规范

6、范正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaar 求规范正交基的方法求规范正交基的方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设,21212121rrrreeeeeeVV ., 21范范正正交交化化这这个个基基规规把把r 11

7、1122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等价等价与与且且两两正交两两正交那么那么rrraabbbb（2）单位化单位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一个个规规范范正正交交基基为为那那么么Veeer222321113133,bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbba

8、bab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得规范正交向量组如下得规范正交向量组

9、如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化.,1001,0101,0011321向量组向量组求与之等价的正交单位求与之等价的正交单位无关向量组无关向量组是线性是线性已知向量已知向量 例2例2解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化;)1(11 取取,)2(12212正交正交与与使得使得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故得得交交正正与与且且令令, , )3

10、(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故得得单位化单位化将将,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化并单位化得并单位化得取取,)1(11 111 ;002121 得得正交正交与与使得使得令令,)2(12212 k,21 k,21 .06261612 ,0121212 得得正交正交与与且且令令,)3(123322113 kk,311 k,322 k,21 ,61 .23)32(1)32(1)32(13 ,13131313

11、 .,321为所求之向量组为所求之向量组则则 例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于是得于是得其中其中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a证明证明EAAT E 定义定义4 4 . , 1正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 nn

12、nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明,为为正正交交变变换换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则有则有例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111

13、 .9794949491989498912 定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换Pxy P解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912.)/(2,为正交矩阵为正交矩阵证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为维列向量维列向量是是设设aaaaEAnEnaTT 例1

14、例1证明证明.,EAAAATT 证证义义验验然然后后根根据据正正交交矩矩阵阵的的定定先先验验证证)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA .)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是正交矩阵是正交矩阵时时特别当特别当aaEAaaTT , 0为一非零数为一非零数aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩阵是正交矩阵故故A1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化 ;11TAA ;2EAAT ;3单位向量单位向量的列向量是两两正交的的列向量是两两正交的A .4单位向量单位向量的行向量是两两正交的的行向量是两两正交的A2 2 为正交矩阵的充要