数据分析方法3(方差分析)

1、试验设计数据的方差分析试验设计试验设计 一个养蟹户要遇到许多影响生产的因素或因子（一个养蟹户要遇到许多影响生产的因素或因子（factorfactor），比如），比如水温，饲料，水质等各种问题。要想稳定高产，就要进行各种因素的水温，饲料，水质等各种问题。要想稳定高产，就要进行各种因素的不同水平不同水平(level)(level)的搭配（组合）试验。这里的的搭配（组合）试验。这里的“水平水平”就是一个因素就是一个因素可能取的值。比如对于饲料这个因素，每个水平就是一种饲料；如果可能取的值。比如对于饲料这个因素，每个水平就是一种饲料；如果有三种可供选择的饲料，该因素就有三个水平。而如果水温有四种水有三

2、种可供选择的饲料，该因素就有三个水平。而如果水温有四种水平，则水温和饲料就有平，则水温和饲料就有1212种可能的搭配（组合）。种可能的搭配（组合）。 试验设计模型可以说就是回归模型的一种，自变量有定性变量的试验设计模型可以说就是回归模型的一种，自变量有定性变量的情况的处理和试验设计数据处理是一样的。但试验设计问题本身有很情况的处理和试验设计数据处理是一样的。但试验设计问题本身有很大一部分是如何设计试验，使得人们有可能用最少的资源得到最好的大一部分是如何设计试验，使得人们有可能用最少的资源得到最好的结果。当然，我们不打算详细讨论如何设计试验，而把主要精力放在结果。当然，我们不打算详细讨论如何设计

3、试验，而把主要精力放在试验设计数据的方差分析上。试验设计数据的方差分析上。 方差分析方差分析 方差分析（方差分析（analysis of varianceanalysis of variance，ANOVAANOVA）是分析各个自变量）是分析各个自变量对因变量影响的一种方法。这里的自变量就是定性变量的因子及对因变量影响的一种方法。这里的自变量就是定性变量的因子及可能出现的称为协变量（可能出现的称为协变量（covariatecovariate）的定量变量。分析结果是由一）的定量变量。分析结果是由一个方差分析表表示的。原理为：因变量的值随着自变量的不同取个方差分析表表示的。原理为：因变量的值随着自

4、变量的不同取值而变化。我们把这些变化按照自变量进行分解，使得每一个自值而变化。我们把这些变化按照自变量进行分解，使得每一个自变量都有一份贡献，最后剩下无法用已知的因素解释的则看成随变量都有一份贡献，最后剩下无法用已知的因素解释的则看成随机误差的贡献。然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比机误差的贡献。然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比较（较（F F检验），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变化有检验），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变化有显著贡献。输出就是显著贡献。输出就是F-F-值和检验的一些值和检验的一些p-p-值。下面看一个例子。值。下面看一个例子。 销售数据销售

5、数据( (sales.savsales.sav) ) 研究研究这个数目的主要目的是看销售额（因变量）是否受到促这个数目的主要目的是看销售额（因变量）是否受到促销方式、售后服务和奖金这三个自变量的影响（头两个是定性变销方式、售后服务和奖金这三个自变量的影响（头两个是定性变量，亦称为因子，分别有量，亦称为因子，分别有3 3个和个和2 2个水平；而定量变量奖金是协变个水平；而定量变量奖金是协变量）以及怎样的影响。量）以及怎样的影响。什么什么是方差分析是方差分析(ANOVA(ANOVA)? )?1. 1.检验多个总体均值是否相等检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等通过分析数

6、据的误差判断各总体均值是否相等2. 2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类型自变量一个或多个分类型自变量两个或多个两个或多个 (k (k 个个) ) 处理水平或分类处理水平或分类 一个数值型因变量一个数值型因变量3. 3.有单因素方差分析有单因素方差分析和多因素和多因素方差分析方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量单因素方差分析：涉及一个分类的自变量多多因素因素方差分析：方差分析：涉及多个涉及多个分类的自变量分类的自变量什么是方差分析什么是方差分析? ? 消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司

7、航空公司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758例题分析：为了例题分析：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共2323家企业家企业投诉的次数如下表投诉的次数如下表什么是方差分析什么是方差分析? ?1. 1.分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断断“行业行业”对对“投诉次数投诉

8、次数”是否有显著影响是否有显著影响2. 2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等值是否相等3. 3.若它们的均值相等，则意味着若它们的均值相等，则意味着“行业行业”对投诉次数是没有影对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着等，则意味着“行业行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异服务质量有显著差异方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语1. 1.因素或因子因素或因子(facto

9、r)(factor)所要检验的对象所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子2. 2.水平或处理水平或处理(treatment)(treatment)因子的不同表现因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平3. 3.观察值观察值在每个因素水平下得到的样本数据在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值每个行业被投诉的次数就是观察值方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语1. 1.试验试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水

10、平的试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验2. 2.总体总体因素的每一个水平可以看作是一个总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体是四个总体3. 3.样本数据样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据方差分析的基本思想和方差分析的基本思想和原理原理( (图形分析图形分析) )不同行业被投诉次数的散点图不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数 零售业零售业 旅游业旅游业 航空公司航空公司 家

11、电制造家电制造1. 1.从散点图上可以看出从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数是有明显差异的不同行业被投诉的次数是有明显差异的同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2. 2.行业与被投诉次数之间有一定的关系行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方

12、差分析的基本思想和方差分析的基本思想和原理原理( (图形分析图形分析) )1. 1.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2. 2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差之间是否有差异

13、时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源来源方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理 1. 1.比较两类误差，以检验均值是否相等比较两类误差，以检验均值是否相等 2. 2.比较的基础是方差比比较的基础是方差比 3. 3.如果系统如果系统( (处理处理) )误差明显地不同于随机误差，则均值就是误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的不相等的；反之，均值就是相等

14、的 4. 4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和方差分析的基本思想和原理原理( (两类误差两类误差) )1. 1.随机误差随机误差因素的同一水平因素的同一水平( (总体总体) )下，样本各观察值之间的差异下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 2. 2.系统误差系统误差因素的不同水平因素的不同水平( (不同总体不同总

15、体) )下，各观察值之间的差异下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差系统误差方差分析的基本思想和方差分析的基本思想和原理原理( (误差平方和误差平方和) )1. 1.数据的误差用平方和数据的误差用平方和(sum of squares)(sum of squares)表示表示2. 2.组内平方和组内平方和

16、(within groups)(within groups)因素的同一水平因素的同一水平( (同一个总体同一个总体) )下样本数据的平方和下样本数据的平方和比如，零售业被投诉次数的误差平方和比如，零售业被投诉次数的误差平方和组内平方和只包含随机误差组内平方和只包含随机误差3. 3.组间平方和组间平方和(between groups)(between groups)因素的不同水平因素的不同水平( (不同总体不同总体) )下各样本之间的平方和下各样本之间的平方和比如，四个行业被投诉次数之间的误差平方和比如，四个行业被投诉次数之间的误差平方和组间平方和既包括随机误差，也包括系统误差组间平方和既包括随

17、机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和方差分析的基本思想和原理原理( (误差的比较误差的比较) )1. 1.若原假设成立，组间平方和与组内平方和经过平均后的数值若原假设成立，组间平方和与组内平方和经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近就应该很接近，它们的比值就会接近1 12. 2.若原假设不成立，组间平方和平均后的数值就会大于组内平若原假设不成立，组间平方和平均后的数值就会大于组内平方和平均后的数值，它们之间的比值就会大于方和平均后的数值，它们之间的比值就会大于1 13. 3.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着

18、显著差异，也就是自变量对因变量有影响显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响差，说明不同行业对投诉次数有显著影响方差分析的基本假定方差分析的基本假定1. 1.每个总体都应服从正态分布每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本布总体的简单随机样本比如，

19、每个行业被投诉的次数必需服从正态分布比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布2. 2.各个总体的方差必须相同各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等比如，四个行业被投诉次数的方差都相等3. 3.观察值是独立的观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立数独立方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定1. 1.在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验

20、具有同方差的四个正态总体的均值是否相实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等等2. 2.如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分 方差分析中基本假定方差分析中基本假定 如果原假设成立，即如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4四个行业被投诉次数的均值都相等四个行业被投诉次数的均值都相

21、等意味着每个样本都来自均值为意味着每个样本都来自均值为mm、方差为、方差为 2 2的同一正态总体的同一正态总体 方差分析中基本假定方差分析中基本假定 若备择假设成立，即若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等不全相等至少有一个总体的均值是不同的至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 问题的一般提法问题的一般提法1. 1.设因素有设因素有k k个水平，每个水平的均值分别用个水平，每个水平的均值分别用m m1 1 , , m m2 2, , , , m mk k 表表示示2. 2.要检验要检验k k个水平个水

22、平( (总体总体) )的均值是否相等，需要提出如下假设：的均值是否相等，需要提出如下假设： H H0 0 ： m m1 1 m m2 2 m mk k H H1 1 ： m m1 1 , , m m2 2 , , ，m mk k 不全相等不全相等3. 3.设设m m1 1为零售业被投诉次数的均值，为零售业被投诉次数的均值，m m2 2为旅游业被投诉次数的为旅游业被投诉次数的均值，均值，m m3 3为航空公司被投诉次数的均值，为航空公司被投诉次数的均值，m m4 4为家电制造业为家电制造业被被投诉次数的均值投诉次数的均值，提出的假设为提出的假设为H H0 0 ： m m1 1 m m2 2 m

23、m3 3 m m4 4 H H1 1 ： m m1 1 , , m m2 2 , , m m3 3 , , m m4 4 不全相等不全相等单因素方差分析的单因素方差分析的数据结构数据结构观察值观察值 ( j )分析步骤分析步骤提出假设提出假设构造检验统计量构造检验统计量统计决策统计决策提出假设提出假设1. 1.一般提法一般提法H H0 0 ： m m1 1 = m= m2 2 = = m mk k 自变量对因变量没有显著影响自变量对因变量没有显著影响 H H1 1 ： m m1 1 ，m m2 2 ， ，m mk k不全相等不全相等自变量对因变量有显著影响自变量对因变量有显著影响 2. 2.注

24、意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等并不意味着所有的均值都不相等 构造检验的统计量构造检验的统计量 构造统计量需要计算构造统计量需要计算水平的均值水平的均值全部观察值的总均值全部观察值的总均值误差平方和误差平方和均方均方(MS) 构造检验的构造检验的统计量统计量(计算水平的均值)1. 1.假定从第假定从第i个总体中抽取一个容量为个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数个数

25、2. 2.计算公式为计算公式为 式中：式中： n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个总体的样本观察值个数，个数，x xij ij 为第为第 i i 个总体的个总体的第第 j j 个观察值个观察值 构造检验的构造检验的统计量统计量(计算全部观察值的总均值)1. 1.全部观察值的总和除以观察值的总个数全部观察值的总和除以观察值的总个数2. 2.计算公式为计算公式为 构造检验的构造检验的统计量统计量(例题分析)构造检验的构造检验的统计量统计量(计算总误差平方和 SST)1. 1.全部观察值全部观察值 与总平均值与总平均值 的离差平方和的离差平方和2. 2.反映全部观察值的离散状况反映全部

26、观察值的离散状况3. 3.其计算公式为其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：构造检验的构造检验的统计量统计量(计算水平项平方和 SSA)1. 1.各组平均值各组平均值 与总平均值与总平均值 的离差的离差平方和平方和2. 2.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和间平方和3. 3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4. 4.计算公式为计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：构造检验的构造检验的统计量统计量(计算误差项平方和 SSE)1. 1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差每个水

27、平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和平方和2. 2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和方和3. 3.该平方和反映的是随机误差的大小该平方和反映的是随机误差的大小4. 4.计算公式为计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSE = 2708SSE = 2708构造检验的构造检验的统计量统计量(三个平方和的关系)总离差平方和总离差平方和(SST)(SST)、误差项离差平方和、误差项离差平方和(SSE)(SSE)、水平项离差平、水平项离差平方和方和 (SSA) (SSA) 之间的关系之间的关系 前例的计算结果：前例的计算结果： 构造检

28、验的构造检验的统计量统计量(三个平方和的作用)1. 1. SST SST反映全部数据总的误差程度；反映全部数据总的误差程度；SSESSE反映随机误差的大小；反映随机误差的大小；SSASSA反映随机误差和系统误差的大小反映随机误差和系统误差的大小2. 2.如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSASSA除除以自由度后的均方与组内平方和以自由度后的均方与组内平方和SSESSE和除以自由度后的均方和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平各水平( (总体总体

29、) )之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差3. 3.判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小间方差与组内方差之间差异的大小构造检验的构造检验的统计量统计量(计算均方MS)1. 1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差均，这就是均方，也称为方差2. 2.计算方法是用误差平方和除以相应的自由度计算方法是

30、用误差平方和除以相应的自由度3. 3.三个平方和对应的自由度分别是三个平方和对应的自由度分别是SST SST 的自由度为的自由度为n-1n-1，其中，其中n n为全部观察值的个数为全部观察值的个数SSASSA的自由度为的自由度为k-1k-1，其中，其中k k为因素水平为因素水平( (总体总体) )的个数的个数SSE SSE 的自由度为的自由度为n-kn-k构造检验的构造检验的统计量统计量(计算均方 MS)1. 1. 组间方差：组间方差：SSASSA的均方，记为的均方，记为MSAMSA，计算公式为，计算公式为组内方差：组内方差：SSESSE的均方，记为的均方，记为MSEMSE，计算公式为，计算公

31、式为构造检验的构造检验的统计量统计量(计算检验统计量 F )1. 1.将将MSAMSA和和MSEMSE进行对比，即得到所需要的检验统计量进行对比，即得到所需要的检验统计量F F2. 2.当当H H0 0为真时，二者的比值服从分子自由度为为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1k-1、分母自由、分母自由度为度为 n-k n-k 的的 F F 分布，即分布，即 构造检验的构造检验的统计量统计量(F分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等，F=MSA/MSE1 F 分布分布F (k-1,n-k)拒绝拒绝H0不能拒绝不能拒绝H H0 0统计决策统计决策 将统计量的值将统计量的值F F与给定的显著性水平

32、与给定的显著性水平 的临界值的临界值F F 进行比较，进行比较，作出对原假设作出对原假设H H0 0的决策的决策根据给定的显著性水平根据给定的显著性水平 ，在，在F F分布表中查找与第一自由度分布表中查找与第一自由度dfdf1 1k- k-1 1、第二自由度、第二自由度dfdf2 2=n-k =n-k 相应的临界值相应的临界值 F F 若若FFFF ，则拒绝原假设，则拒绝原假设H H0 0 ，表明均值之间的差异是显著的，所，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响检验的因素对观察值有显著影响若若FFF F F ，则拒绝原假设则拒绝原假设H H0 ，表明均值之间的差异是显著的，

33、表明均值之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响即所检验的行因素对观察值有显著影响若若F FC C F F ，则拒绝原假设则拒绝原假设H H0 ，表明均值之间有显著差异，表明均值之间有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著影响即所检验的列因素对观察值有显著影响 双因素双因素方差分析表方差分析表(基本结构)双因素双因素方差分析方差分析 提出假设提出假设 对品牌因素提出的假设为对品牌因素提出的假设为 H0： m1=m2=m3=m4 ( (品牌对销售量无显著影响品牌对销售量无显著影响) ) H1： mi (i =1,2, , 4) 不全相等不全相等 ( (有显著影响有显著影响) )

34、对地区因素提出的假设为对地区因素提出的假设为 H0： m1=m2=m3=m4=m5 ( (地区对销售量无显著影响地区对销售量无显著影响) ) H1： mj (j =1,2,5) 不全相等不全相等 ( (有显著影响有显著影响) ) 双因素双因素方差分析方差分析结论：结论：1.F1.FR R18.10777F18.10777F 3.49033.4903，拒绝原假设，拒绝原假设H H0 0，说明彩电的品，说明彩电的品牌对销售量有显著牌对销售量有显著影响；影响； 2. 2. F FC C2.100846 F2.100846 F 3.25923.2592，不拒绝原假设，不拒绝原假设H H0 0，无证据表

35、明，无证据表明销售地区对彩电的销售量有显著影响销售地区对彩电的销售量有显著影响差异源差异源SSdfMSFP-valueF crit 行行(品牌品牌)13004.634334.8518.10789.46E-053.4903 列列(地区地区)2011.74502.9252.100850.143673.2592 误差误差2872.712239.392 总和总和1788919双因素双因素方差分析方差分析(关系强度的测量) 行平方和行平方和( (行行SS)SS)度量了品牌这个自变量对因变量度量了品牌这个自变量对因变量( (销售量销售量) )的影响效应的影响效应 列平方和列平方和( (列列SS)SS)度量

36、了地区这个自变量对因变量度量了地区这个自变量对因变量( (销售量销售量) )的影响效应的影响效应 这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应 联合效应与总平方和的比值定义为联合效应与总平方和的比值定义为R R2 2 其平方根其平方根R R反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度 双因素双因素方差分析方差分析(关系强度的测量) 例题分析例题分析 品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售量差异的品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售量差异的83.94%83.94% 其他因素其他因

37、素( (残差变量残差变量) )只解释了销售量差异的只解释了销售量差异的16.06%16.06% R=0.9162R=0.9162，表明品牌和地区两个因素合起来与销售量之间有，表明品牌和地区两个因素合起来与销售量之间有较强的关系较强的关系 有有交互作用的双因素方差分析交互作用的双因素方差分析【例例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得2

38、020个行车时间个行车时间( (分钟分钟) )的的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响车时间的影响 交互作用的图示交互作用的图示路段与时段对行车时间的影响路段与时段对行车时间的影响交互作用交互作用无交互作用无交互作用可重复双可重复双因素分析因素分析( (方差分析表的结构方差分析表的结构) )m为样本的行数可重复双可重复双因素分析因素分析( (平方和的计算平方和的计算) ) 设： 为对应于行因素的第为对应于行因素的第i i个水平和列因素的第个水平和列因素的第j j个个 水平的第水平的第l l行的观察值行的

39、观察值 为行因素的第为行因素的第i i个水平的样本均值个水平的样本均值 为列因素的第为列因素的第j j个水平的样本均值个水平的样本均值 对应于行因素的第对应于行因素的第i i个水平和列因素的第个水平和列因素的第j j个水个水 平组合的样本均值平组合的样本均值 为全部为全部n n个观察值的总均值个观察值的总均值 可重复双可重复双因素分析因素分析( (平方和的计算平方和的计算) )1. 1.总平方和：总平方和：2. 2.行变量平方和：行变量平方和：3. 3.列变量平方和：列变量平方和：4. 4.交互作用平方和：交互作用平方和：5. 5.误差项平方和：误差项平方和：第一第一个例子的个例子的方差分析方

40、差分析( (只考虑主效应只考虑主效应, ,不考虑交互效应及协变量不考虑交互效应及协变量) ) 首先假定自变量受到的仅仅有不同因素的主效应（首先假定自变量受到的仅仅有不同因素的主效应（main effectmain effect）而没有交互效应（而没有交互效应（interactioninteraction）和协变量的影响。主效应就是每个自）和协变量的影响。主效应就是每个自变量对因变量的单独影响，而交互效应是当两个或更多的自变量的变量对因变量的单独影响，而交互效应是当两个或更多的自变量的某些水平同时出现时除了主效应之外的附加影响。拿我们例子来说，某些水平同时出现时除了主效应之外的附加影响。拿我们例

41、子来说，当单独考虑时，假定主动促销比被动促销可以多产生当单独考虑时，假定主动促销比被动促销可以多产生8 8万元效益，万元效益，而有售后服务比没有售后服务多产生而有售后服务比没有售后服务多产生9 9万元效益。那么在没有交互万元效益。那么在没有交互作用时，同时采取主动促销和售后服务会产生作用时，同时采取主动促销和售后服务会产生8 89 91717万元的效益万元的效益（称为可加的）。但如果存在交互效应，那么同时采取主动促销和（称为可加的）。但如果存在交互效应，那么同时采取主动促销和售后服务会产生一个附加的效应即交互效应（一般来说也可能是正售后服务会产生一个附加的效应即交互效应（一般来说也可能是正面的

42、，也可能是负面的），这时的总效应就不是面的，也可能是负面的），这时的总效应就不是1717万元了。万元了。 方差分析方差分析( (只考虑主效应只考虑主效应, ,不考虑交互效应及协变量不考虑交互效应及协变量) ) 如如要分析的只是因变量销售额和自变量促销和售后服务的要分析的只是因变量销售额和自变量促销和售后服务的主效应主效应。用。用y y表示销售额表示销售额，i i表示促销（下标表示不同水平表示促销（下标表示不同水平），）， j j表示售后服务；则相应的只有主效应的线性模型为：表示售后服务；则相应的只有主效应的线性模型为： ,1,2,3,1,2,1,2,3,4:)ijkijijkijkijijky

43、ijkym(或有常数项时为这里的下标这里的下标i i代表促销的水平，下标代表促销的水平，下标j j代表是否有售后服务，下代表是否有售后服务，下标标k k代表每种代表每种ij ij组合中的第几个观测值。这里的最后一组合中的第几个观测值。这里的最后一项项 ijkijk为随为随机误差项。机误差项。Tests of Between-Subjects EffectsTests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: SALES21469.667a45367.417257.224.000579.2502289.62513.880.000532.0421

44、532.04225.497.000417.3332020.86721887.00024SourceModelPROMOTSERVICEErrorTotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squared = .981 (Adjusted R Squared = .977)a. 对于这个模型，对于这个模型，SPSSSPSS输出为输出为 促销促销(promotpromot)的的F F检验统计量检验统计量(其自由度来自其自由度来自promotpromot和和errorerror的的自由度自由度:2 2,2020)取值为取值为13.88013.880，

45、p值值为为0.0000.000(更精确些是更精确些是0.00016580.0001658).而售后服务的而售后服务的F检验统计量为检验统计量为25.497，p-值为值为0.000(更精确些是更精确些是0.00006135). R2为为0.981. 这里的估计只有相对意义。一定要放在模型中，或者考虑这里的估计只有相对意义。一定要放在模型中，或者考虑同一因子水平之间的差，比如同一因子水平之间的差，比如 1- 3、 2- 3、 1- 2等等。上等等。上面的模型还可以有面的模型还可以有截距，有截距，有截距时的截距时的SPSS默认约束是固定默认约束是固定 3= 2=0；而目前的没有截距的；而目前的没有截

46、距的 1， 2， 3的估计实际上等的估计实际上等于截距的估计加上有截距时的于截距的估计加上有截距时的 1， 2， 3的估计。的估计。 由于约束条件不一样，所以各种软件的各种选项的估计不由于约束条件不一样，所以各种软件的各种选项的估计不尽相同，但相对大小是不会变的。尽相同，但相对大小是不会变的。Parameter EstimatesParameter EstimatesDependent Variable: SALES28.4581.86515.260.00024.56832.34832.7081.86517.539.00028.81836.59840.3331.86521.628.00036.

47、44344.223-9.4171.865-5.049.000-13.307-5.5270a.ParameterPROMOT=.00PROMOT=1.00PROMOT=2.00SERVICE=.00SERVICE=1.00BStd. ErrortSig.Lower BoundUpper Bound95% Confidence IntervalThis parameter is set to zero because it is redundant.a. 对于这个模型，参数估计为对于这个模型，参数估计为 没有没有交互作用的模型可以交互作用的模型可以从上面点从上面点图中直观看出。图中直观看出。图中图

48、中下面一条下面一条折线连接了没有售后服务时三种促销状况的销售均值，而上面一条连折线连接了没有售后服务时三种促销状况的销售均值，而上面一条连接了有售后服务时三种促销状况的销售均值。由于模型选择为无交互接了有售后服务时三种促销状况的销售均值。由于模型选择为无交互作用，所以这两条线是平行的。从该图可以看出，两个因子效应综合作用，所以这两条线是平行的。从该图可以看出，两个因子效应综合效应是简单的加法。效应是简单的加法。 Estimated Marginal Means of SALESPROMOT2.001.00.00Estimated Marginal Means5040302010SERVICE

49、.00 1.00SPSSSPSS实现实现( (只有因子主效应的方差分析只有因子主效应的方差分析) ) 拿拿sales.savsales.sav为例，在为例，在SPSSSPSS中选中选AnalyzeAnalyzeGeneral Linear ModelGeneral Linear ModelUnivariateUnivariate进入主对话框；进入主对话框； 然后把然后把salessales选入选入Dependent VariableDependent Variable，把，把promotpromot和和serviceservice选入选入Fixed FactorsFixed Factors；

50、然后点击然后点击ModelModel，选择，选择CustomCustom，在，在Build Terms: Main effectsBuild Terms: Main effects中选择中选择Main effects,Main effects,再把再把promotpromot(F)(F)和和service(F)service(F)选入选入ModelModel； 选择或不选择选择或不选择Include intercept in modelInclude intercept in model则确定是否在模型中则确定是否在模型中包含常数项；回到主对话框（包含常数项；回到主对话框（ContinueCo

51、ntinue），这时点），这时点OKOK即可；即可； 如果要输出参数估计可以在如果要输出参数估计可以在OptionsOptions选诸如选诸如Parameter Parameter EstimatesEstimates等。等。 SPSSSPSS实现实现( (有交互效应有交互效应, ,但没有协变量的方差分析但没有协变量的方差分析 ) ) sales.savsales.sav为为例例 1 1. .在在SPSSSPSS中选中选AnalyzeAnalyzeGeneral Linear ModelGeneral Linear ModelUnivariateUnivariate进入进入主对话框；主对话框；

52、 2. 2.把把salessales选入选入Dependent VariableDependent Variable，把，把promotpromot和和serviceservice选入选入Fixed FactorsFixed Factors； 3. 3.点击点击ModelModel，选择，选择Full factorialFull factorial；选择或不选择；选择或不选择Include Include intercept in modelintercept in model则确定是否在模型中包含常数项；则确定是否在模型中包含常数项； 4. 4.回到主对话框（回到主对话框（ContinueC

53、ontinue），这时点），这时点OKOK即可；即可； 如果要输出参数估计可以在如果要输出参数估计可以在OptionsOptions选诸如选诸如Parameter Parameter EstimatesEstimates等。等。 方差分析方差分析 现在再加上作为协变量的定量变量奖金，看它对销售有没有影响，现在再加上作为协变量的定量变量奖金，看它对销售有没有影响，这时的线性模型就又多了一个如同回归一样的代表自变量奖金这时的线性模型就又多了一个如同回归一样的代表自变量奖金x的一项（加上的一项（加上系数系数 ） x ,1,2,3,1,2,1,2,3,4ijkijijkijyxijk方差分析方差分析

54、而计算机的方差分析表的输出而计算机的方差分析表的输出( (主要部分主要部分) )为：为： Tests of Between-Subjects EffectsTests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: SALES21799.925a73114.275608.012.000704.6332352.31768.784.000550.8621550.862107.547.000165.256282.62816.132.000186.1751186.17536.348.00087.075175.12221887.00024SourceModelPROMOTSERVICEPROMOT