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1、00,1 ,0 ,0第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 一一 洛必达法则洛必达法则 二二 其他未定式其他未定式洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、: 00.)x(F)x(flim,)x(F)x(f,)x(ax)x(ax型未定式型未定式或或称为称为那末极限那末极限大大都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当 00例如例如,tanlim0 xxx)00(,sinlnsinlnlim0bxaxx)( 定义定义定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必

2、达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x .)x(F)x(flim)x(F)x(flim);()x(F)x(flim;xFxF)x(f),a(a;xFxf,axaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设3021证证, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,x),a(U内任取一点内任取一点在在 0,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯

3、西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax ,)()( )()()(无关无关及及的极限与的极限与agafaxxgxf辅助函数辅助函数所以定义所以定义例例1 1解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(例例2 2.2tanlim0 xxx求求)00()()2(tanlim0 xxx原式原式12sec2lim20 x

4、x . 2 解解例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4.sinlim30 xxxx 求求解解203cos1limxxx 原式原式xxx6sinlim0 61 )00()00()00(注意：注意： 1) 1) 使用罗必塔法则必须验证条件，不使用罗必塔法则必须验证条件，不是是 未未 定式不能用罗必塔法则定式不能用罗必塔法则；2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化罗必塔法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限的极限. .例例5xxxxxsinsintan

5、lim20 xxxxx 20sintanlim原式原式22031seclimxxx 2203)(tanlimxxx 313lim220 xxx定理定理2)( .,x该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 .)x(F)x(flim)x(F)x(flim);()x(F)x(flim;)x(F)x(F)x(f),a(a;)x(F)x(f,axaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在都趋于无穷都趋于无穷及及函数函数时时当当设设3 0 2 1例例6 6解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim2

6、22 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意注意3：若导数比的极限不存在，不能判断：若导数比的极限不存在，不能判断原函数极限不存在原函数极限不存在。例如例如，xxxxxsinsinlim xxxcos1cos1lim1sin1sin1lim xxxxxxxxxxeeee lim)1()1(lim22eeeexxxxx 1)1()1(lim22 eexxx事实上事实上型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 关键关键: :将其它类型未定

7、式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0. 1,10 .0100 或或步骤步骤:例例7 7.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe . 解解型型 . 20101 .0000 ).1sin1(lim0 xxx 求求)( xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 解解例例8 8型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 .lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 xxxe1lnlim0 2011limxxxe 0e . 1 步骤步骤:例例9 9解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e.)(cotlimln10 xxx