苏科版九年级数学下册 第6章 图形的相似　复习学案

1、苏科版九年级数学下册 第6章 图形的相似学员姓名： 年 级：初三 辅导科目：数学 学科教师：授课日期授课时段 段授课主题1、相似教学目标1、 掌握相似的判定，熟练运用2、 综合题中善于发现相似教学重难点教学内容图形的相似 找一找哪些才是相似图形？ 【知识梳理】6.1图上距离与实际距离：比例的性质：（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项（2）常用的性质有：内项之积等于外项之积若，则ad=bc合比性质若，则分比性质若，则合分比性质若，则等比性质若（b+d+n0），则比例线段：（1） 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即

2、它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  a/b=c/d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段（2） 判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系6.2 黄金分割：（1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC=ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点 其中AC=AB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个（2）黄金三角形：黄金三

3、角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值黄金三角形分两种：等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：（3） 黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为6.3 相似图形平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例  推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三

4、角形的第三边（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例相似图形（1） 相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同；两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况（3）相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形6.4 探索三角形相似的条件相似三角形的判定（1） 平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本

5、方法相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似6.5 相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平

6、方由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方射影定理（1） 射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项（2）RtABC中，BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：AD2=BDDC；AB2=BDBC；AC2=CDBC位似定义：（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心  注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一

7、点；对应边平行或在同一条直线上（2）位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k作图-位似变换（1） 画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小（2）注意：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求由于位似中心选择的任意性，

8、因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的典型例题（图形的相似）题型一：比例线段与黄金分割1已知，那么的值为（）A7B7CD2一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿 cm的鞋子才能好看？（精确到0.01cm）3已知线段AB的长是4cm，点P为线段AB的黄金分割点，则较长线段AP的长度为 cm题型二：相似的性质与判定1如图，点D在ABC的边AC上，要判定ADB与ABC相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（）AABDCBADBABCCD2如图，在ABC中，A75°AB6，AC8，将AB

9、C按如图所示剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（）ABCD3下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）ABCD4在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE2ED，EC交对角线BD于点F，则BCF与DEF的周长比为（）A3B9CD25如图，在4×4的正方形网格纸中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上（1）求证：ABCDEF；（2）直接写出ABC和DEF的周长比和面积比6已知：如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，若AC6，BC8（1）求证：AC2ADAB（2）求线段AD，BD，CD的长题型三：位似1如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）

10、、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A（2，5）B（2.5，5）C（3，5）D（3，6）2如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，1）（1）在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求OCD的面积题型四：相似的应用1如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测

11、得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A3.25mB4.25mC4.45mD4.75m2一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC120mm，高AD80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（1）求证：AEFABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？3如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部已知小华的身高是1.6m，

12、两个路灯的高度都是9.6m，且APQB（1）求两个路灯之间的距离（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？题型五：相似动点问题1如图，AB16cm，AC12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域（2）当t等于何值时，APQ与ABC相似？2如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点E、G的速度均为2cm/

13、s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S（cm2）（1）当t1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由3如图，在RtABC中，ACB90°，AC8，BC6，CDAB于点D点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止设运动时间为t秒（1）求线段CD

14、的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得SCPQ：SABC9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）当t为何值时，CPQ为等腰三角形？4如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA4，AB3动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动当两个动点运动了x秒（0x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由5已知，如图，在ABCD中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM，速度为1cm/s；同时