经典―直线与双曲线位置关系学案教学法

1、直线与双曲线的位置关系知识梳理:1、直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题:可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题,往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题,讨论时特别要注意转化的等价性,即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想 需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线时,直线与双曲线有且只有一个交点2、涉及直线与双曲线相交弦的问题:主要有这样几个方面:相交弦的长,有弦长公式|AB |=21k +|x 2-x 1|;弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等、弦的中点的轨迹等,这可以利用“设点代点、设而不求”的方法(设交点坐

2、标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决3、韦达定理的运用: 由于二次曲线和二次方程的密切关系,在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用4、 弦长公式:若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x 1,y 1,B(x 2,y 2,则弦长为 2212(1(x x k AB -+=; 若直线t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x 1,y 1,B(x 2,y 2,则弦长为 AB =5、焦半径:P 在右支上时: 1020PF ex aPF ex a =+=-; P 在左支上时:1020(PF ex a PF ex a =-+=- 典型示例例1

3、(1 (2010辽宁双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(D (A (B (C (D 【解析】设双曲线的一个焦点F (c,0,B(0,b直线FB :bx+cy-bc=0与渐近线y=b x a 垂直,所以1b b c a-=-,即b 2=ac 所以c 2-a 2=ac ,即e 2-e -1=0,所以e =或e =(舍去 (2(09湖北卷已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是

4、( A.11,22K -B. 11,22K -+ C. 22K -D. ,22K -+ 【变式】(09浙江过双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC = ,则双曲线的离心率是 ( A B C D 例2已知双曲线C :2x 2-y 2=2与点P (1,2,求过P (1,2点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点.【变式】直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ,B 两点,设过点0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上

5、的截距为b ,求b 的取值范围.例3已知双曲线2214x y -=和定点1(2,2P (I 过P 点可以做几条直线与双曲线C 只有一个公共点;(II 双曲线C 的弦中,以P 点为中点的弦12PP 是否存在?并说明理由【变式1】已知双曲线x 2-22y =1与点P (1,2,过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点,若P 为AB 中点。(1求直线AB 的方程;(2若Q (1,1,证明不存在以Q 为中点的弦【变式2】设双曲线12222=-by a x 0(b a <<的半焦距为c ,直线l 过0,(a 、,0(b 两点,且原点到直线l 的距离为c 43,求双曲线的离心率.例4 已知

6、双曲线的方程是16x 2-9y 2=144(1求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,求F 1PF 2的大小【变式2】已知F 1、F 2是双曲线0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A .324+ B .13- C .213+ D .13+ 【变式3】设双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交

7、于P 、Q 两点,如果PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率_e =例5已知双曲线的方程为1422=-y x , 直线l 通过其右焦点F 2,且与双曲线的右支交于A 、B 两点,将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来,求|F 1A|·|F 1B|的最小值解:设A(x 1,y 1,B(x 2,y 2,A 到双曲线的左准线x= c a 2= 54的距离d=|x 1+54|=x 1+54, 由双曲线的定义,d AF |1=e=25, |AF 1|=25(x 1+54=25x 1+2,同理,|BF 1|=25x 2+2, |F 1A|·|F 1B|=(25x 1+2(25x 2

8、+2=45x 1x 2+5(x 1+x 2+4 (1 双曲线的右焦点为F 2(5,0,(1当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为:y=k(x5, 由=-=145(22y x x k y 消去y 得 (14k 2x 2+85k 2x20k 24=0, x 1+x 2=145822-+k k +4=1448541(6522-+-k k +4=481+14(4852-k |F 1A|·|F 1B|>481; (2当直线AB 垂直于x 轴时,容易算出|AF 2|=|BF 2|=21, |AF 1|=|BF 1|=2a+21=29(双曲线的第一定义, |F 1A|·|F 1B|

9、=481 由(1, (2得:当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|·|F 1B| 481 【变式】 已知1l ,2l 是过点0,2(-P 的两条互相垂直的直线,且1l ,2l 与双曲线122=-x y 各有1A ,1B 和2A ,2B 两个交点.(1求1l 的斜率1k 的取值范围;(2若22115B A B A =,求1l ,2l 的方程;练习： 练习 1已知双曲线的渐近线方程为 y = ± A焦距为 10 C离心率是 3 x ，则此双曲线的（ 4 D离心率不确定 ） B实轴和虚轴长分别是 8 和 6 5 5 或 4 3 2如果双曲线 x2 y 2 = 1 上一点 P 到它

10、的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的右准 64 36 32 5 B10 C 2 7 ）A1 D B2 线的距离是（ ）A 32 7 7 C3 D4 3直线与双曲线的公共点的个数最多是（ 4、双曲线 A x2 y2 = 1 的右准线与渐近线在第一象限的交点与右焦点连线的斜率为（ ） 9 16 3 4 B 4 3 C 3 5 D 5 3 5、设双曲线 x2 y2 = 1(b > a > 0 的半焦距为 c ，直线 l 过 A(a， ， B(0，b 两点，已知原点到直线的 l 0 a 2 b2 的距离为 3 c ，则双曲线的离心率为_ 4 6、点 P (8,1 平分双曲线 x 2 4

11、 y 2 = 4 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_ 7、求双曲线 9 x 2 16 y 2 = 144 ，被点 A(8,3 平分的弦 PQ 的方程 8、求直线 y = 1 x2 y2 x + 2 与双曲线 = 1 的两个交点和原点构成三角形的面积 3 9 4 9、已知 t1 、 t 2 是过点 P ( 2 ,0 的两条互相垂直的直线，且 t1 、 t 2 与双曲线 y 2 x 2 = 1 各有两个交点， 求 t1 的斜率 k1 的取值范围 6 练习 1已知双曲线的渐近线方程为 y = ± A焦距为 10 C离心率是 3 x ，则此双曲线的（ C 4 D离心率不确定 ） B实轴和虚

12、轴长分别是 8 和 6 5 5 或 4 3 2如果双曲线 x2 y 2 = 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的右准 64 36 32 5 B10 C 2 7 D 线的距离是（A）A 32 7 7 3直线与双曲线的公共点的个数最多是（B） A1 B2 C3 D4 4、双曲线 A x2 y2 = 1 的右准线与渐近线在第一象限的交点与右焦点连线的斜率为（A ） 9 16 3 4 B 4 3 C 3 5 D 5 3 x2 y2 5、设双曲线 2 2 = 1(b > a > 0 的半焦距为 c ，直线 l 过 A(a， ， B (0，b 两点，已知原点到直线的 l

13、 0 a b 的距离为 3 c ，则双曲线的离心率为_2 4 6、点 P (8,1 平分双曲线 x 2 4 y 2 = 4 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_ 2 x y 15 = 0 7、求双曲线 9 x 2 16 y 2 = 144 ，被点 A(8,3 平分的弦 PQ 的方程 解：令 P ( x1 , y1 ， Q ( x2 , y2 2 2 9 x2 16 y2 = 144 2 2 得： 9( x12 x2 16( y12 y 2 = 0 ，即 9 x12 16 y12 = 144 9( x1 + x2 ( x1 x2 16( y1 + y2 ( y1 y2 = 0 Q x1 + x2

14、 = 16 ， y1 + y2 = 6 设 PQ 的斜率为 k ，则 k = 3 2 弦 PQ 的方程为 3 x 2 y 18 = 0 1 x2 y2 8、求直线 y = x + 2 与双曲线 = 1 的两个交点和原点构成三角形的面积 3 9 4 7 1 x2 y2 2 设直线与双曲线的两个交点分别为 P 、P2 ， y = x + 2 代入 将 =1， 整理得 x 4 x 24 = 0 ， 1 3 9 4 此方程的两个根 x1 、 x2 分别是 P 、 P2 的横坐标，由韦达定理可得 1 x1 + x2 = 4 ， x1 x2 = 24 x1 x2 = ( x1 + x2 2 4 x1 x2 = 4 7 S OP1P 2 = 1 1 x1 x2 2 = 4 7 2 = 4 7 2 2 9、已知 t1 、 t 2 是过点 P ( 2 ,0 的两条互相垂直的直线，且 t1 、 t 2 与双曲线 y 2 x 2 = 1 各有两个交 点，求 t1 的斜率 k1 的取值范围 依题意 t1 、 t 2 的斜率均存在，则 t1 : y = k1 ( x + 2 ， k1 0 ） （ ， 由 y = k1 ( x + 2 (k12 1 x 2