离散数学代数结构部分

1、第五章第五章 代数系统代数系统代数结构又称为代数系统，简称代数，是代数结构又称为代数系统，简称代数，是抽象代数的主要研究对象。抽象代数的主要研究对象。代数系统的种类很多，它们在计算机科学代数系统的种类很多，它们在计算机科学的自动机理论、编码理论、形式语言、时的自动机理论、编码理论、形式语言、时序线路、开关线路计数问题以及计算机网序线路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算机理论科学等方面有着非常广泛的应用机理论科学等方面有着非常广泛的应用。本部分主要内容本部分主要内容二元运算及其性质。二元运算及其性质。二元运算二元运算中的特殊元素

2、中的特殊元素幺元，零元，逆逆元。元。代数系统的定义及其性质。代数系统的定义及其性质。 定义定义5.1 设设 为集合，函数为集合，函数 称称为为 上的二元运算，简称为二元运算。上的二元运算，简称为二元运算。5.15.1节节 二元运算及其性质二元运算及其性质SSSSf:S在整数集合在整数集合 上，对任意两个整数所进上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。元运算。 Z如何判断一个运算是否为集合如何判断一个运算是否为集合 上的上的二元运算二元运算 1 唯一性唯一性集合集合S中任意的两个元素都能进行这种运中任意的两个元素都能进行这种运算，并且结果

3、要是唯一的。算，并且结果要是唯一的。S2 封闭性封闭性 集合集合S中任意的两个元素运算的结果都是中任意的两个元素运算的结果都是属于属于S的，就是说的，就是说S对该运算是封闭的对该运算是封闭的 例例5.1设Ax|x ，nN，问在集合A上通常的乘法运算是否封闭，对加法运算呢?解：对于任意的 所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有 n2定义定义5.2 设设*是定义在集合是定义在集合A上的二元上的二元运算，如果对于任意的运算，如果对于任意的x,yA，都有，都有x*yy*x，则称该二元运算，则称该二元运算*是可交是可交换的。换的。例例5.2 设设Q是有理数集合，是有理数集合，*

4、是是Q上的二元上的二元运算，对任意的运算，对任意的a，bQ，a*ba+b-ab，问运算，问运算*是否可交换。是否可交换。解：因为解：因为a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算所以运算*是可交换的。是可交换的。定义定义5.1 设设 为集合，函数为集合，函数 称称为为 上的二元运算，简称为二元运算。上的二元运算，简称为二元运算。5.15.1节节 二元运算及其性质二元运算及其性质SSSSf:S在整数集合在整数集合 上，对任意两个整数所进上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。元运算。 Z定义定义5.2 设设*是定义在集合是定义在集合A

5、上的二元上的二元运算，如果对于任意的运算，如果对于任意的x,yA，都有，都有x*yy*x，则称该二元运算，则称该二元运算*是可交是可交换的。换的。例例5.2 设设Q是有理数集合，是有理数集合，*是是Q上的二元上的二元运算，对任意的运算，对任意的a，bQ，a*ba+b-ab，问运算，问运算*是否可交换。是否可交换。解：因为解：因为a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算所以运算*是可交换的。是可交换的。定义定义5.3 设设*是定义在集合是定义在集合A上的二元上的二元运算，如果对于任意的运算，如果对于任意的x，y，zA，都有都有(x*y)*zx*(y*z)，则称该二元，则称该二元运算运算*是

6、可结合的，或者说运算是可结合的，或者说运算*在在A上适合结合律。上适合结合律。例例5.3 设设A=Z,“+”是整数中的加法：则是整数中的加法：则 “+”在在Z中适合结合律。中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取是整数中的减法：则特取 而 运算“。”不满足结合律 定义定义5.4 设设*是定义在集合是定义在集合A上的一个上的一个二元运算，如果对于任意的二元运算，如果对于任意的xA，都，都有有x*xx，则称运算，则称运算*是等幂的。是等幂的。例例5.4 设设P(S)是集合是集合S的幂集，在的幂集，在P(S)上上定义的两个二元运算，集合的定义的两个二元运算，集合的“并并”运运算算和集合的和集合的

7、“交交”运算运算，验证，验证，是等幂的。是等幂的。解：解： 对于任意的对于任意的AP(S)，有有AAA和和AAA，因此运算因此运算和和都满足等幂律。都满足等幂律。 定义定义5.5 设。和*是S上的两个二元运算，如果对任意的 有 例例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。 定义定义5.6 设设。和*是定义在集合是定义在集合A上的上的两个可交换二元运算，如果对于任意两个可交换二元运算，如果对于任意的的x，yA，都有，都有则称则称。运算运算和*满足吸收律满足吸收律 例例5.6 设集合设集合N为自然数全体，在为自然数全体，在N上定上定义两个二元运算义两个二元运算*和，

8、对于任意和，对于任意 x，yN，有，有x*ymax(x，y)， xymin(x，y)， 验证运算验证运算*和满足吸收律。和满足吸收律。解：对于任意解：对于任意a，bNa*(ab)max(a，min(a，b)aa(a*b)min(a，max(a，b)a 因此，因此，*和满足吸收律。和满足吸收律。定义定义5.7 设*是S上的二元运算，5.25.2节节 二元运算中的特殊元素二元运算中的特殊元素1. 1. 幺元幺元在自然数集N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。定理定理5.1 设设*是是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的

9、。 所以幺元是唯一的。定理定理5.2 5.2 设设* *是是S S上的二元运算，如果S S中既存在关于运算* *的左幺元的左幺元 ，又又存在关于运算的右幺元的右幺元 则S中必存在关于运算* *的幺元e并且 lere定义定义5.8 设*是是S上的二元运算，2. 2. 零元零元在自然数在自然数集N上普通乘法的零元是0，而加法没有零元。 定理定理5.3 设设 *是是S上的二元运算，如果S中存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。的）零元，则必是唯一的。所以零元是唯一的。定理定理5.4 设设 *是是S上的二元运算，如果S中既存在关于运算*的左零元 又存在关于运算*的右零元 lr定义定义5.9 设*是是

10、S上的二元运算，2. 2. 逆元逆元 例例5.8 整数集整数集Z上关于加法的幺元是上关于加法的幺元是0，对，对任意的整数任意的整数m，它关于加法的逆元是，它关于加法的逆元是-m,因为因为定理定理5.5 设设*是是S上可结合的二元运算，e为幺元幺元,如果如果S中元素x存在（关于运算* ）的逆元，）的逆元， 则必是惟一的。 所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。定理定理5.6 设设*是是S上可结合的二元运算，e为幺元幺元,如果如果S中元素x既存在关于运算*的左逆元 ，又存在关于运算*的右逆元 ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且 lyry解：解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律

11、。单位元是a，没有零元，且 运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元， 运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元素。 定义定义5.10 设设S是非空集合，由是非空集合，由S和S上若干个运算 构成的系统称为代数系统，记作 5.35.3节节 代数系统代数系统 代数系统也简称为代数。 例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法运算， 定义定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称 定义定义5.12 设设 例例5.11 设定义定义5.13 设设定义定义

12、5.14 设设例例5.14 表示求两个数的最小公倍数的运算。则 解：解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*解解：例5.16 设有集合 解解：讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。例5.17 设 解解：第六章第六章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 本章讨论几类重要的代数结构：本章讨论几类重要的代数结构： 半群、群、环、域、格与布尔代数半群、群、环、域、格与布尔代数 定义定义6.1 设 6.16.1节节 半群与群半群与群是可结合的即： 定义定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有

13、幺元1 定义定义6.3 设设例例6.2定义定义6.3 设设 定义定义6.4 设设定义定义6.5 设设 例例6.3 设设 证明G关于矩阵乘法构成一个群故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群， 在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。定义6.6 若群例例6.4 （1）在 中除0之外都没有逆元，所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以它们是交换群。 0没有逆元，所以它们仅是有么半群而不是群。 例例6.5设设G=e,a,b,c,。为。为G上的二元运算，上的二元运算，它由以下运算表给出。不难证明它

14、由以下运算表给出。不难证明G是一是一个群，称该群为个群，称该群为Klein四元群。四元群。定义定义6.7 设设例例6.6 在群解：解：定理定理6.1 设 证明：略。定义定义6.8 设设定义定义6.9例例6.7 对于集合 列出其运算表如下表从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ， 这个群的阶数是6，元素0，1，2，3，4，5的次数分别为1，6，3，2，3，6。 定理定理6.2 设设 下面证明唯一性从而唯一性得证。例例6.8 设设定理定理6.3 定理定理6.4 设设 定理定理6.5 G为有限群，则为有限群，则G的运算表中的每的运算表中的每一行（每一列）都是

15、一行（每一列）都是G中元素的一个置换，中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同。且不同的行（或列）的置换都不相同。定义定义6.10 设设 例例6.9 例例6.10 群群 定理定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。证明：必要性是显然的。定理定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群 证明：必要性充分性证明： 定理定理6.8(子群判定定理3)设H是群 证明：必要性是显然的。例例6.11 设设 定义定义6.11 设 6.26.2节节 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 例例6.12 设 解： H的右陪集为 定理定理6.9 设H是群 定理定理6.10 设定理定理6.11 设证明： 略。推论

16、6.1定理定理6.12 设定理定理6.13 设定义定义6.12 群 定理定理6.14（拉格朗日定理）（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。根据定理6.11的推论有推论推论6.2 设 推论推论6.3 设 根据定理6.11的推论有定义定义6.13 设 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群 定理定理6.15 设设 证明：略。例例6.13 设设 例例6.14 设设 定理定理6.16 设设 定义定义6.14 设设6.3 6.3 群的同态与同构群的同态与同构 例例6.13 设设 定义定义6.15 设设定理定理6.17 设 证明：略。定义定义6.16 设设定理定理6.18 （群同态基本

17、定理）（群同态基本定理）设 定义定义6.17 设设6.4 6.4 循环群与置换群循环群与置换群 定理定理6.19 设 例例6.16例例6.17 设 定义定义6.18 设 例例6.18 设 定义定义6.19 设 例例6.19 4元置换定义定义6.20设 定理定理6.20定义定义6.21例例6.20 如图进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看作是作用在 定义6.22 设 6.5 6.5 环和域环和域例例6.21 （1）整数集 定理定理6.21 设设 2,3证明略。例例6.22 定义定义6.23 设 例例6.23 （1）整数环）整数环 例例6.22模6整数环 定义定义6.24 设 定义6.22 设 6.5