中考二次函数经典例题(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上已知：抛物线y= -x2 +2x +8交X轴于A、B两点（A在B左侧），O是坐标原点。 1、动点P在X轴上方的抛物线上（P不与A、B重合），D是OP中点，BD延长线交AP于E 问：在P点运动过程中，PE：PA是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。 2、在第1问的条件下，是否存在点P，使PDE的面积等于1 ？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 解：1.y= -x2 +2x +8=-(x-4)(x+2) 所以OA=2 OB=4 自己画图,由面积等于底*高/2. 可以知道PE:EA=SPDE:SADE 由于PD=OD,那么SPDE=SODE 所以PE:E

2、A=SODE:SADE 由图可知ODE和ADE同底,则SODE:SADE=两三角形高之比OG:AH 显然BAH和BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3 所以PE:EA=2:3 那么PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值 2.设P点为(X,Y) PE：PA=2:5 所以SPDE=(2/5)*SPDA SAOP=Y*2/2=Y SAOD=Y/2(因为D是OP中点) 所以SADP=SAOP-SAOD=Y/2 则SPDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5 当SPDE=1时 Y=5 对应X=-1或2 则P点坐标为(-1,5)或(2,5) 2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，如图5

3、车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？ 解：先建立直角坐标系 设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方 +6 当x=6时，y=0，a=1/6 解析式是 y=1/6 x的平方+6 当x=6-2=4时，y=3/10 因为顶部与。有1/3的空隙 所以只能达到3米 （这题是要你看清题目中的条件，函数最重要的就是定义域，一定要准确把握定义域的范围）3.平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运

4、动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NPBC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。 （1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示） （2）试求 MPA面积的最大值，并求此时x的值。 （3）请你探索：当x为何值时，MPA是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。 （1）（6x , 4/3 x ）; (2)设MPA的面积为S，在MPA中，MA=6x，MA边上的高为 x，其中，0x6.S= （6x）× 4/3 x= (x的平方+6x) = - 2/3 (x3)的平方+6 S的最大值为6, 此时x =3. (3)延长NP交x轴于Q，则有

5、PQOA 若MPPA PQMA MQQAx. 3x=6, x=2; 若MPMA，则MQ62x，PQ= 4/3x，PMMA6x 在RtPMQ 中，PM2MQ方PQ方 (6x)的平方=(62x)的平方+ ( 4/3x)的平方x= 108/43 若PAAM，PA5/3 x，AM6x 5/3 x=6x x= 9/4 综上所述，x=2，或x= 108/43，或x=9/4 。【例1】平时同学们在跳长绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线。如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，

6、已知学生丙的身高是1.5米，则学生丁的身高为（如图建立的平面坐标系）( )（A）1.6米（B）1.625米（C）1.63米（D）1.64米【解】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知条件知，函数的图像过(-1，1)、(0，1.5)、(3，1)三点，将三点坐标代入，易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为1.5，代入其解析式可求得其纵坐标为1.625。故丁的身高为1.625米，答案为B。【例2】（东阳卷）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，

7、足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。足球第一次落地点C距守门员多少米？（取）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取）【解】再向前跑10米。【例3】（兰州卷）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米。现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB使C,D点在抛物线上，A,B点在地面OM上，则这“支撑架”总长的最大值是多少？【解】M(12，0)，P(6，6)。

8、设抛物线解析式为：y=a(x-6)2+6 抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0，0)，0=a(0-6)2+6，即抛物线解析式为：设A(m,0)，则B(12-m,0)，“支撑架”总长AD+DC+CB = 此二次函数的图像开口向下当m=3米时，有最大值为15米。【例4】（重庆卷）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数。请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函

9、数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜1000克的利润最大？且最大利润分别是多少？若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜。从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a，若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，

10、请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值。（参考数据：3721369，3821444，3921521，4021600，4121681）【解】4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8，把x=1,y=2.8和x=2,y=2.4分别代入：解得b=-0.25,c=3.1，所以5月份y功能x满足的函数关系式为y=-0.05x2-0.25x+3.1。设4月份第x周销售此种蔬菜1000克为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜1000克的利润为W2元，W1(0.2x+1.8)- =-0.05x+0.6，-0.05<0 W1随x的增大而减小，当x1时，W1最大=-0.05+0.6=0.55，W2(

11、0.05x20.25x+3.1)- 0.05x20.05x+1.1 对称轴为x0.5，且0.050 当x0.05时，y随x的增大而减小当x1时W2最大=1，所以4月份销售此种蔬菜1000克的利润在第一周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜1000克的利润在第一周最大，最大利润为1元。由题意知：100(1-a%)+2×2.4(1+0.8a%)=2.4×100 整理得，a2+23a-250=0解得：3921521,4021600，而1529更接近1521，取a-31（舍去）或a8，答：a的整数值为8。【例5】（宁德卷）如图1，抛物线与x轴交于A,C两点，与y轴交于B点

12、，与直线y=kx+b交于A,D两点。直接写出A,C两点坐标和直线AD的解析式；如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字1、1、3、4。随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记作P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记作P点的纵坐标，则点P(m,n)落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？【解】A点坐标：(3,0)，C点坐标：(4,0)；直线AD解析式：所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）：总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图1中抛物线与直线围成区域内的结果有7种：(-1,1)，(1,-1)，(1,1)，(1,3

13、)，(3,-1)，(3,1)，(4,-1)。因此P（落在抛物线与直线围成区域内）。【例6】（日照卷）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米。已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距米。求出点A的坐标及直线OA的解析式；求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。【解】在RtAOC中，AOC=30o，OA= AC=OA·sin30o= OC=OA·cos30o= 点A的坐标为设OA的解析式为y

14、=kx，把点A的坐标代入得：顶点B的坐标是(9,12),点O的坐标是(0,0) 设抛物线的解析式为y=a(x-9)2+12，把点O的坐标代入得：抛物线的解析式为当x=12时，小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。【例7】（德州卷）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯。已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品。甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个。乙店一律按原价的80%销售。现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元。分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？【解】由题意可知，当x100时，购买一个需5000元，故y15000x；当x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以即100x