圆锥曲线中焦点三角形

1、焦点三角形焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。一：椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1, F2与椭圆上任意一点 P为顶点组成的三角形。22与3二1(a b 0)a by性质有:1(1) |PF1 |+| PF2|二2a(2) 4c2 斗 PF1 |2 +| PF2 |2 -2 | PF111PF2 |cos/F1PF2(3)椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大22x y.证明：设P是椭圆 =十、=1 ( a >b>0, c为半焦距)上的一点

2、， 。为原点，E、F是 a b椭圆的两焦点，PE = m, PF =n则 cos. EPF =2mn4b2 -2mn 2b22b2一1，由余弦函数图象性质知NEPF有最大值，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。(4)设P为椭圆上的任意一点，角/F1F2P =0 , /F2F1P = P , ZF2PF1 =8 ,则有离心率e_ sWB)十 e -n)sin 工 rsin -SPFF =b2-sin =b2tan- 1F21 cos12证明：由正弦定理得:FlF2PF1sin(180o- ) sin-： sin :由等比定理得:F1F2PF1HPF2sin(-i ；，') sin 二&q

3、uot; sin :F1F22cPF1 PF2sin( ：；:') sin( ： " )sin ； sin :sin -2asin :c e 二 a例题：sin(二：b .-1)sin 工 1 sin :22一 x y一一.圆2+ 2 =1(a,b>0)的两个a bF1, F2 ,点P在椭圆上，且_4 _14 PF1 J-PF2,| PFi |= 一,| PF21 = 一.求椭圆的方程332y =1422222、设P为椭圆 斗+，=1 （a >b >0）上一点，Fi、F2为焦点，如果 /PFiF2=75二, a bPF2F1、2A.2=15 :则椭圆的离心率

4、为（3、F1、. 3 B.22xF2是椭圆一9C.主3D.AF1F2的面积为（2y =1的两个焦点,7）A为椭圆上一点，且/ AFiF2 = 450 ,则A. 7B.4、 Fi、一 一 x2F2是椭圆一 十2542=1的两个焦点,167C.一27.5D.2A为椭圆上一点，且 /F1AF2 =90,则A到x轴的距离为16A. 一3B.165C.1616or 35D.非上述答案5、设 Fi,F2分别是椭圆2x252+-y- =i 的左、i6右焦点,P为椭圆上一点,Fi, F2, P是直角三角形的一个顶点，则P点到16A. 一316B. 5C.x轴的距离是1616或一53D.非上述答案6、设 Fi,

5、F2分别是椭圆2+L =1的左、259右焦点,P为椭圆上一点,Fi, F2, P是是直角三角形的三个顶点,9 A.一4B.P点到x轴的距离是9T9c. 一 或一54D.非上述答案7、过椭圆左焦点,倾斜角为 一的直线交椭圆于 A, B两点，若FA=2FB离心率为（构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）22x y8、已知RtAABC, AB = AC =1,点C为椭圆 二十三=1（a >b a0）的右焦点，且 AB为 a b经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。2x9、已知椭圆 a一点P使4=i（a Ab >0）的左、右焦点分别为Fi（c,0）, F2（c,0）,若椭

6、圆上存在 bsin PFiF2sin PF2Fi,则该椭圆的离心率的取值范围为（）A. ( 2 -i,i)B. ( .3 -i,i)C. ( .3 - .2,i)二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点Fi, F2与双曲线上任意一点P为顶点组成的5(1)|PFi | | PFz|=2a(2)(3)4c2 =| PF1 |2 | PF2 |2 -2 | PF111PF2 |cos F1PF2设P为椭圆上的任意一点，角 /F,F2P =a, /F2F1P =P, NF2PF1=e,则有离心率sin : -sin,2 sinb2=b =1 -cos tan 一2(4) 例题:-

7、 2为双曲线x2 y J = 1上的一点，12| PF1 |:| PF21=3: 2 ,则 PF1F2 的面积为(Fi,凡是该双曲线的两个焦点，若A. 6万B. 122、已知又下2为双曲线cos F1PF2 =1A.一4C : x2C.2一 yD. 24=2的左右焦点，点 P在C上，| PF1 |=2| PF? |,则B.3、双曲线x2=1的焦点为F1、C. -D.-45F2,点M在双曲线上且 MF1 MF2 = 0 ,则点M到x轴的距离为(4A.-35B.-3C. 32.3D.4、已知F1、F2为双曲线P到x轴的距离为、3.6(A) y (B) y2C: x(C)33=1的左、右焦点，点 P

8、在C上，/ F1 P F2 = 60°,则(D)625、设Fi, F2分别是双曲线% =1(a A0,b A0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在 b2_tt| PF, |二 J3 | PF2 |,则该双曲线的离一点P,使(OP+OF2) F2P =0 , O为坐标原点，且 心率为3 1A. 石+1B. - C. 76 + 72D.22_ x y6、设点P是双曲线一2- - -2 a bF2分别是双曲线的左、右焦点,、一 2222 .= 1(a>, b>0)与圆x +y =a +b在第一象限的交点,Fi、且|PF11= 3| PF21 ,则双曲线的离心率A.非 B.哼 C.

9、屈 D.萼 227、过双曲线4=1( a A0，bO)的左焦点F(-cQ)作圆x2+ y2 = a2的切线，切点 a b1 t T为E,延长FE父双曲线于点P ,。为原点，若OE = (OF +OP),则双曲线的离心率 2为 522x y8、已知Fl、F2分别为双曲线 C:-y 4=1(a>b>0)的左、右焦点，点 P为双曲线右 a b支上一点，满足| PF2 |=| F1F2 | ,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为9、已知E、F2分别为双曲线22C:xy 与=1(aAb:>0)的左、右焦点，若双曲线上存在 a b一点P ,满足| PF1 |=

10、2 | PF2 |,则该双曲线的离心率范围为10、已知F1,F2为离心率为cos PF2F1 =2的双曲线的左右焦点，点(1, 3P 在 C 上，| PFi |= 2 | PF2 |,则B.C.、万D .311、设F1, F2分别是双曲线2x2 =1的左、右焦点.9> I若点P在双曲线上，且PF1PF2 = 0,则 PF1 +PF2|=()A.、,而B. 2,102 x12、设F1, F2分别是双曲线-2 aC. .5D. 2、, 5b2=1的左、右焦点，A, B是圆x2 + y2 = a2 +b2 与双曲线左支的两个交点，且A. s/5 B. 33 C.ABF2为等边三角形，则该双曲线

11、的离心率33 +1 D.-22213、已知P是双曲线 4与=1(a >0,b >0)右支上一点，Fi、F2分别是双曲线的左、 a b右焦点,I为APFF2的内心，若S»F1 =Sf2 +?S徐1F2成立，则该双曲线的离心率为A. 4 B. 2 C. 2 D. 222214、已知P是双曲线 人L=1上一点，F1、F2分别是双曲线的左、 右焦点，若|PFi|二5 43则 | PF21=1or92215、已知P是双曲线x- -L=1上一点，Fl、F2分别是双曲线的左、 右焦点，若|PFi|=5 412则 |PF2|二 9 22练习：已知双曲线 0 4=1 (a>0, b&

12、gt;0)的两个焦点为 F1(-c,0)、F2(c,0),若双曲 a b线上存在一点P满足sin""2 = a,则该双曲线的离心率的取值范围是sin. PF2F1c(1,12)2216、已知双曲线 三_丫2=1 (a>0, b>0)的两个焦点为 F1、F2，点A在双曲线第一象a b1限的图象上，若 AF1F2的面积为1,且tan/AF1F2=, tan/AF2F1 =-2 ,则双曲线2方程为A.3-3y25二1B.12C. 3x2 -12-y- =12_ xD .3豆二11272217、设Fi,F2是双曲线 马4=1(a A0,bA0)的左右焦点，过点 F2的直

13、线与双曲线的右 a b支交于A,B两点，若ARAB是以A为直角顶点的等腰三角形，则e2 =5-24522F1的直线与双曲线的左18、设Fi,F2是双曲线 与22 = 1(a A0,b0)的左右焦点，过点 a b右支交于 A,B两点，若| AB |:| BF2 |:|AF2 | = 3: 4: 5,则双曲线的离心率是 <132219、如图设Fi,F2是双曲线xr*=1(a A0,bA0)的左右焦点，|FiF2|=4, P为双曲线 a b右支上一点，F2P与y轴交于点A, AAPFi的内切圆在边PFi上的切点为Q,若|PQ|口， 则双曲线的离心率是(A) 3(B)2(C) , 2(D) 3y

14、椭圆与双曲线的焦点三角形2222x y .x y_例题：右椭圆 +=1 (m>n：>0)和双曲线 =1 (s,t > 0)有相同的焦点 F1和F2, mnst而P是这两条曲线的一个交点，则PF1 ,PF2的值是()1 22A.ms B. (ms) C. m - s D. . m - . s 22 2例题：若椭圆 土+ y2 =1(m >1)与双曲线 上 y2 =1(n A0 )有相同的焦点，点 P是两曲 mn线的一个公共点，则 F1PF2的面积是 122例题：设Fi与F2是曲线Ci： +上=1的两个焦点，点 M是曲线Ci与曲线622- X 2,C2 ： - -y =1的一个交点，求 AMFiF2的面积.32例题：如图，F1,F2是椭圆C1 ：L + y2=1与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第 4二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A、. 2 B.、.3C,3D.-622例题：已知点P是以F1, F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且PF1 _L PF2,向，金分别为椭圆和双曲线的离心率，则Aee2 -2 B©2 02一4 C.qe2 -2 2 D.工二三2 e e例题：已知点 P是以