周长最小值专题(完整版师用)

1、周长最小值专题完整版师用A.线段和最小值两种根本模型如图，要在街道旁修建一个奶站 P,向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从 A，B到它的距离之和最短？为什么？/P-PA(求线段和最小值的一般步骤： 选点P所在直线I为对称轴；画出点A的对称点A' 连结对称点A'与B之间的线段，交直线I于点P,点P即为所求的点，线段A' B的长就是AP+BP的最小值 根本解法:利用对称性，将“折转“直根底训练1.如图 11,梯形 ABCD中，AD/BC, AB=CD=AD=1Z B=60°,直线MN为梯形ABCD勺对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD勺最小值

2、为A/CA.试题分析：连接AC,与MN所得交点即为所求P点，因为D与 A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，所以，所以，所以，此时，所以， 即2.如图4,菱形ABC冲，AB=2 / BAD=60，E是AB的中点，P是 对角线AC上的一个动点，如此PE+PB的最小值是。分析：首先分解此图形，构建如图 5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P,使PE+PB最小，关键是找出点B或E 关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对 称，连结DE此时DE即为PE+PB勺最小值，由/ BAD=60 , AB二AD AE二BB知

3、DE 3 232故PE+PB的最小值为,3。2如图，点A是半圆上一个三等分点，点 B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，假如的半径长为1,如此AP+BP的最小值为。P位于A B与MN的交点处，AP+BP的值最小；作A关于MN的对称点A,根据圆的对称性，如此A必在圆上，连接BA 交MN于P,连接PA如此PA+PBt小，此时PA+PB=PA+PB=A B,连接 OA OA、OB1.某某彰州如图 4，/ AOB=45 ° , P是/ AOB内一点，PO=10,某某彰州如图 4,/ AOB=45 ° , P是/ AOB内一点，PO=10, Q、R分别是 OA、OB上的动点，求

4、PQR周长的最小值.Q,分析：点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角 形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线.解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连结P1P2,根据轴对称性易知：OP1=OP2=OP=10，/ P1OP2=2/ AOB=90 ° ,因而 P1P2= 2.10 ,故厶PQR周长的最小值为 2. 10 .2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1 , 0), B(-3 , 0)两点，1求该抛物线的解析式。2设1中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点使得QAC的周长最小？如果存在，求出点Q的

5、坐标；假如不存在，请说明理由(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是厶PB的面积最大？假如存在，求出点P坐标与 PB面积的最大值；假如不存在，请说明理由<4)若点H从B点臥毎秒扌个单位沿万问冋H点运动，同时，点II从C点以每科个单位问沿CB方向A点运动，问t当为何值时，以0粘X対顶点的三角形与1卩!117丿fj重点分析第2问，要使 QAC勺周长最小即AC+CQ+C最小，由于AC长度 一定，故只要CQ+QA1小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN如此可分解出图形，构建模型，要在直线 MN上找点Q,使CQ+QA1小。由抛物线的对 称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于

6、点Q,只要找出点Q 的位置，其坐标不难求得。解：(1 )将A ( 1 1 D ) j B (-3 J 0)代中得-93 6十c0仁2,两-抛物纸解析弍为；尸-/-滋+3； <4»)(2)存柱.<55II由如下:由题fe/L<S两点关于抛物线的对称曲又1对称, 二SSBC与秆-1的交点即対Q点，曲时临C周世最小，* j=-k2-2i+3 j二C的坐标为；(皿孑)*解析5为：(6分沪 1 时 y=-Fl=r2 *畝的坐标是Q <-n 2) J (7#)(3)存花.辽分)理由如下；如鼬设卩点(1- -i2-2z+3)卜3<*5，则PE= (-x=-2x+3)

7、- (t+3) =-xz-3i' SA=FC=|xPEX h- (-3) 4xpEX (0-k),zz弓 M (宀)+士)H(Kd+3x) r当匸抽砸c的ffiiflw®大值，最大值是务jLK当孟二时* -:r-2算+3二丄.24二点F坐标为(-右: (11分14ob2oc2=运动t 秒时 j EH=it j BN=3j?-j21 i(4)在Rt AOB匚中,BC=3>ZEFN 直酋时，? AMBN AOBC - 55/ EV OB BCJ迈是盲角'.AOBC BC OB弔3Q Q奈上所逹，七为寸或F时，畑M，N为顶点的三角形与旦QEC相似 3.如图，抛物线 y

8、=ax2+bx+c 过 A 3, 3.5、B 4, 2丨、C 0, 2 的动点.1求抛物线的解析式；2如图甲所示，连接 AC、CP、PB、BA，是否存在点P,使四边形 假如存在，求出点 P的坐标；假如不存在，说明理由；ABPC为等腰梯形?3点H是题中抛物线对称轴I上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值.1利用待定系数法，将点 A，B，C的坐标代入解析式即可求得；2根据等腰梯形的判定方法分别从PC / AB与BP / AC去分析，注意不要漏解;3首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可.解：抛物线 y=ax 2+bx+c 过 A 3 , 3.5、B 4 , 2、C 0 , 2三

9、点，#3=3、3 4交* . 0 (ft, 2>9fl+3fe+c = 3.5怡 “+4$4u 2匕昨甜礦喷式为】'*25*25t2> AO, 35).日 2) C (0. 2> *.AC-心爭t轴PC昭，则过点昨菟|備，过点仲El,幽，京点为日E=1 9i BE=1*献的鉴标为：応，们呻V6G割：<1 . 3. 5 JM 2>、C W"三去， 如亠站r=J占' Its"-Au c Z：此肘帕冶鬧祈式K ： 7-4*?+2"*EI(2) -.-A 15, 3,5> . B - ' 2> . C 40

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11、廉袖扣«=irVK Oi JPfi J . 1 f4 I 2 J ,P- n li?ft: ATFh 耳亠的眾'l-fi 力:图乙根本模型一定长不动：做双对称思路与方法1）总有两个点，即一条边是定值。2）分别做两个点关于xy轴的对称点，如此与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最 小。1.在直角坐标系中,设A4, -5B8，-3Cm 0D0，n,当四边形的 周长最短时,m/n的值为.【分祈】由于AB從芮定值，四边MHtD周長最姮其实不茹作吕B直关于y轴的对赢宜F (4, 5)-嵋关于h軸的对Wfiir <-3&#

12、187; -3)再连接AT 1该亶珈F交用于G交x轴于D， 求岀#沪的需ff戒偲SD点的坐标优入首线方程，求出n.n的值即可如图所示，作B点关升抽的対祢点B1 (8, 3)=上点关于丫抽的对称点X 7 -5)再连援“ -«s«rrSy轴千c，交轴于m设直如 V 的晤析式为护蛛十b (k剂八 把点XLQ，-5) i F 3)代入得，Hi-4k-Z> (3 = 85 '一得，k斗代入OS. b=-,17故此函埶的解析找知y=s-33、.2 ?7分别把C (mt 0 ) ! D ( 0 !' n) All * jm-r=0 > n-tB1 77wm=

13、- f n=-y»!UZx(J)丄n 172故吾臬为已-学22在直角坐标系中有四个点A-6 , 3，B : -2 , 5，C 0, m丨，Dn , 0，当四边形ABCD周长最 短时，如 此m+n=【分析设点美于区袖的对称点为Z 贝帖(-6- -3>，B点关于y袖的对称点是E* <2-即设直莪A#B*解析式为尸kjc+b把胪(-6 » -3) » By ( 2 » G)代入得k=1* b=3 »所以*令莖=0 *得 y- 3 j 令y=0，導龙=-：3，即皿=2；，n- 3 > 即n+n= 0 :解篙解；四边形丽CD周长最短阳丘廣一定？ *