指数与对数的运算

1、指数与对数的运算【课标要求】(1) 通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的UC的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模 型的实际背景；(2) 理解有理指数幕的含义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。(3) 理解对数的概念及英运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料， 了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质 为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理, 能对常见的指数型函

2、数、对数型函数进行变形处理.【要点精讲】1、整数指数幕的概念.(1)概念：an = a a-ci an e N*)= l(a H 0)a'! = -(a 0,n e A*)v a刀个a屮=an(mjieZ)两点解释：宀"可看作沪旷(2) 运算性质：(a'")" =a'n,(m,neZ)(ab)n =an -bn(neZ)(巴)“可看作“屮 b2、根式:(1) 定义：若xf, =a(n>,neNJ则*叫做a的力次方根。(2) 求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的c次方根为负数记作：x = '当n为偶数时，正数的n次方

3、根有两个(互为相反数)记作：x = 土换负数没有偶次方根0的任何次方根为0aa > 0)一 a(a < 0)名称：咖叫做根式n叫做根指数a叫做被开方数(3) 公式：臥y = a ；当n为奇数时炉=“；当n为偶数时 0 =制=<3、分数指数幕(1) 有关规定:事实上,(/)”=/” 若设 a> Q,k = -(n>lneN*) , (aky =(a)n = a,n 由打次根式 nmm 定义， 亦是的次方根，即：/=佰上 1(2) 同样规泄：(I ” =匚>0,加丿丘川*且舁>1)； 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义.(3) 指数幕的性质

4、：整数指数幕的运算性质推广到有理指数幕.circix = +”(“ A O, = s e Q)("” =ci fa A O, ry s w Q)(rzZ?)r = nrhr(67 > O, Z? > O,厂 w Q)(注)上述性质对r、5 6R均适用。4、对数的概念(1) 立义:如果aa > 0,且“工1)的b次幕等于N,就是J = N ,那么数b称以d为底N的对数，记作ogaN=b,英中d称对数的底，N称真数。 以10为底的对数称常用对数，loggN记作IgN； 以无理数e(e = 2.71828)为底的对数称自然对数，logN，记作In N ：(2) 基本性质：

5、真数N为正数(负数和零无对数)；2)log=0； log/ = l： 4)对数恒等式:E = N.(3) 运算性质：如果d>0,“H0,M >0,N>0,则 loga(MN) = logcM+log“N ；M log = oga M - logn N :lognMz, =/Hog/7M(neR)。Nlos N(4) 换底公式：logn N =(a > 0,g H 0,m > 0,？羊 、N > 0),bg加u两个非常有用的结论log" Z?log, = 1 ；log m bn = log bo°Hl【注】 <指数方程和对数方程主要有

6、以下几种类型：(1)bof (x)二logab, logaf (x)二b0f (x)二£；(左义法) a'"-a! ' <f (x) =g(x) , logaf (x) =logag(x)<=>f (x) =g (x) >0.(转化法)(3) ar " =b! = Of (x) logna=g (x) logcb.(取对数法)(4) logaf(X)=logbg (x)ologdf(x) =logag (x) /logab (换底法)【典例解析】题型1:指数运算例 1.(1)计算：(3|)_1(5)05 +(0.008)_7

7、 一(0.02)方 x(0.32)2-0.0625°25；（2）化简，V2 -込化简：八丁普）%4卢+2师+ /a（4）化简:丁十（1_2泸）x“7a 了+2海+ 4戻也675 一8a'b例2.已知）+启=3,求'；+丁一2的值。x2 +x 2 -3题型2：对数运算例3.计算(lg2)2+lg2-lg50+lg25;(2) (log32+log92)-aog43+log83)：lg5lg8000 +(lg2d)23 ii 0lg600-lg0.036-lg0例4设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c(1) 求证：log.(1 + ) + log.(1 + ) = 1

8、: a" b(2)若 log4(l +2log8(« + /?-c)=,求a、b、c 的值。求log36 45 (用a,b表示)例5。(1)已知 log 189 = 6/ ,18 = 5 ,(2)设 3" =4、=6 >1求证丄-题型4：指数.对数方程例 6：解方程（1） log（2f_i）（3x2+2尤-1）=1（2）log2log3（log4 x）= 0例7设关于x的方程4x-2x+,- = 0（Z>eR）,<1）若方程有实数解,求实数b的取值范围：（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。【巩固练习】1。若 log? 1O

9、&3 吨4 X = 1O§3 1O§4 1O§2' = lo§4 lo§2 lo§3 Z =。则 X+y + Z 的值为A. 50B. 58C. 89D. Ill()20 若9_v -2-3*t = 27 ,则a =:3。已知y = 4v-3-2x+3的值域为1, 7,则;v的取值范围是()A。2,4B.(-oo,0) C.(0,1)U2,4 D。(s,0)Ul,24 若 10 ” =2,10 =3,则 10 丁 =丄45已知ci2 = - (a>0),则logdua9326“ (1) lg52+jlg8 + l

10、g51g20 + (lg2)2；(2) (log25+log40.2)(log52+log250.5) o7.若 lg(A->-) + lg(A + 2y) = lg2 + lgA + lgy,求?的值.(2) 29v+5 = 168 解下列指数方程:(3) 278r =81(1) 8" =128(4) 5"23亍一50 = 09 解下列对数方程(1) Iog2(+14) + log2(x + 2) = 3 + log2(x + 6)(2) (log3x)2 + log9= 2(3) lgV5x + 5=l-ilg(2A-l)2 log2log3(log2x)-l=0

11、10如果函数y =。2”+2/-1（“>0山工1）在区间1,1上的最大值是14,求d的值.1 + 2" + 4" allo设/(x) = lg 若x e (-00,1时JG)有意义，求实数a的范围。【思维总结】1. 炸 =*/ =N,bsN=b（其中N>0,a>0,“Hl ）是同一数疑关系的三种不同表示形式，因此在 许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算。在运算中，根式常常化为指数式比较 方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2. 要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式 分解、有

12、理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训 练逐渐积累经验：3. 解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指 数与对数函数的性质，英中单调性是使用率比较高的知识：【课后作业】1。计算。(2) j5-2、E+j5 + 2亦2。化简下列各式(结果用有理数指数幕表示)：屁'(2) la J/目a" ya(a H 0)3。化简下列各式(结果用有理数指数慕表示):213(1) (2a %2 )(-6“。3 )* (-3“恳灰)；(2)(AJ/z-,)-(x-,y7z3)4已知“ + “&qu

13、ot;=7,求下列各式的值：丄 -丄(1)庶 +ci ：(2) a25.计算：(1) 2(lg V2)2 + lg 迈 lg5 + J(lgJ)2_g2 + ；(2) 2log. 2- Iog3 + log3 8 -32+,ogj5 ; (3) lg2 2 lg 250 + lg2 5 lg406o (1)已知“ =logs 2, 3" =5 ,用4方表示log3 V30 :(2)设Ig2 = ag3 = b,用恥表示log512 ;7 设 x>l, y>l,且 21ogvy-21ogyX + 3 = 0,求 T = x2-4y2 的最小值。8. (1)已知3* =4V

14、=36,求匸仝的值。答案详解 题型1：指数运算= -Z + 25xJrxia = (-12 + 2)x2;93510299原式=半鱼2_ 丁4_2朽72(3 + 73)2 _J(朽-1)?血卩+侖）？ _血（12 + 6、你）（3 一、行）（3 +、6（注意复习,根式开平方）1 II/(/)3 一(曲3)3 -1I *>(/尸+/(2 戻) + (2/异)2（3）原式二（4）原式=(a-Sb)2i7T&亍+2/卢+4庚x-r历一 2伏I 一 8/?)xa3 = = aa 一 8/?点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幕的形式，然后利用分数指数幫的运算性质求解,对化简 求

15、值的结果，一般用分数指数幕的形式保留：一般的进行指数蒔运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数 幕,化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。丄 丄丄例 2 解：V x+x =3,：.(AJ + xy)2 =9, ：.x + 2 + x =9, A x + x"1 =7, (x + <r)2 = 49 , x2 +x2 = 47 ,又 * + x 勺=(x° +x E) (x 1 + x") = 3 (7 1) = 18 ,° _=-=3。0+宀3 彳点评:本题宜接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例 3 解：(1)

16、原式=(lg2)2+(l + lg5)lg2 + lg52=(lg2 + lg5 + l)lg2 + 21g5= (l + l)lg2 + 21g5 = 2(lg2+lg5) = 2 ；原式=(空+暨)(空+空)=(空+厘)(旦+旦)二陛坐lg3 lg9 lg4 lg8 lg3 21g321g2 31g221g3 61g24(3) 分子=lg 5(3 + 31g 2) + 3(lg 2)2 = 31g 5 + 31g 2(lg 5 + lg 2) = 3 ：分母=(lg6 + 2)_lg361000x = le6 + 2-lg106100=4；3.原式=-<>4点评:这是一组很基本

17、的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不髙，但是数式运算是学习数学 的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的务种技巧.一 一“ 、亠7 ,a + b + c .a + b-c ,ci + b + c a + b-c.例 4. 址明：(1)左边= log«>+ log= log,)abaf (a + b)2-c2 f a2 + 2ab+b2 -c2 f2ab + c2-c2 , 小.ab=log?= log?= bg?= log? 2 = 1 ：h + cb + c解：(2)由log4(l + ) = 1 得 1 + =4, ：.-3a+b+

18、c = 0 aa由 o(a + b-c) = -a + b-c = =4由+得一 “ =2由得 c = 3a-b，代入 a2 +b2 = c2 得 2a(4a 一3b) = 0,V«>0, 心3b = 0由、解得a = 6, b = 8,从而c = 10o点评:对于含对数I天1式的证明和求值问题.还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指对数式的简单应用18例 5 (1)解：V log is 9 =/. Iog18 一 = 1 logls 2 = a A log 卅 2 = 1 " V 18* =5/. logis 5 = Z?吨36 45

19、 =log is 45 _ log189 + log185 _ a + b log is36l + logi$2 2-a(2)证：V 3X =4y =6Z =t>llg， _ Igf _ lg，0 "丽"断 11 = Ig 6 lg 3 _ lg 2 = lg 4 = 1z x lgrlgr lg/ 21gr 2y题型4：指数、对数方程例 6： 解(1) 3x2 +2x-l = 2x2 -1 => x2 + 2x = 0 => x = 0? a* = -22x2-1>0但必须：< 2F-1H1x = 0舍去 x = -23.v2+2x-1>

20、;0(2) log3(log4 x)= 11 log4 x = 3 , x = 43 =64例 7.解：(1)原方程为 b = 41 - 2V+I,4丫一2小=(2r )2 - 2 x 2X = (2X -1)2 -1 > - b当b e 1,+s)时方程有实数解:(2)当b = l时，2x=l. .-方程有唯一解x = 0：当 b>l 时，(2”一1)2 =1 + "亠2,2X >0,l + Vi+>0,/. 2V =1 + Vn3 的解为x = log2（l + Vi+）；令1-Jl + Z? > 0 => y/ + b vl=>-lvbvO,.当01 甘,2" = 1-Jl + b 的解为 x = log2（l - Vl+T）； 综合、，得1）当一 1 < ”