圆锥曲线常考题型总结材料——配有大题和练习

1、圆锥曲线大综合第一局部 圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：X围为题本质是函数问题题型十一：存在性问题存在点，存在直线y kx m，存在实数，三角形等边、等腰、直角，四边形矩形，菱形、正方形，圆二热点问题8.定值，定点，定直线问题第二局部知识储藏元二次方程ax2bxc 0(a0)相关的知识三个“二次问题1.判别式:b2 4ac2.韦达定理:假如一元二次方程2axbx

2、c0(a0)有两个不等的实数根x1,x2，如此3.1.2.3.x1x2求根公式:bc,X1 X2aa假如一元二次方程b%2 2ab2 4ac.与直线相关的知识直线方程的五种形式：点斜式,2axbx c斜截式，截距式,与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率:0(a0)有两个不等的实数根两点式，一般式y tan ,0,);点到直线的距离公式：d AX0A2ByB2C一般式或d kX0 y0d2k2%,X2，如此b 斜截式弦长公式：直线y kx b上两点A(Xi, yj, B(x2,y2)间的距离:AB1k2 X1X2.(1 k2)(x1X2)24xiX2(或 AB1屮y2)14.两直线l1 ： %k1

3、x1时2：丫2 k2X2b2的位置关系: l1 l21 l1/l2kk2 且 b| b25.中点坐标公式:两点A(n, yj, B(X2, y2)，假如点 M x, y线段AB的中点，如此x1 x1x 丁，yy22 / 18三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程与简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆与抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义与几何图形：椭圆、双曲线与抛物线的定义与几何性质。2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3. 圆锥曲线的根本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等

4、4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆並，双曲线2b2，抛物线2p焦点三角形的面积:p在椭圆上时SFPf2b2 tan 2p在双曲线上时 SFiPF2b2/嘔四.常结合其他知识进展综合考查1. 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2. 导数的相关知识：求导公式与运算法如此，特别是与切线方程相关的知识3. 向量的相关知识：向量的数量积的定义与坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4. 三角函数的相关知识：各类公式与图像与性质5. 不等式的相关知识：不等式的根本性质，不等式的证明方法，均值定理等五.不同类型的大题1圆锥曲线与圆例1.本小题共14分2 2 双曲线C:笃每 1(a 0,

5、b 0)的离心率为3，右准线方程为xa bI求双曲线C的方程；n设直线l是圆o：x2 y2 2上动点P(x0, y0)(x0y0 0)处的切线，丨与双曲线C交于不同的两点 A, B，证明 AOB的大小为定值【解法1】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力.a23I由题意，得 c 3，解得a 1,c3 ,C込a2点 P x0, y0 x0y00 在圆 x2 y22 上,圆在点P x0,y。处的切线方程为y y。X0X y。X0,化简得x0x y0y2.22 y 彳,X1由2与2 2冷y°22 b2c2 a

6、22 ,所求双曲线C的方程为x21.XoXy°y 22 2 23x0 4 x 4x0x 8 2x0 0,切线丨与双曲线C交于不同的两点A、B,且0 x22 2 2 2- 3x2 4 0,且 16X0 4 3怡 4 8 2X00 ,设A、B两点的坐标分别为x-i, y-i , x2, y2 ,【解法如此 x2 COS AOB4xo3xo 4，X1X2OA OBOA| OBOA OB x-|X2X1X2y2为X22 4Xo3Xo1y。2X0XiXoXiX22x°X2,2X0X1X228 2xp3Xq 48 2x23x： 4AOB的大小为902】I同解法1.n点 p Xo, yo

7、 Xo yo程为y y°'yo3X28x03x03x00.2 2X 8 2X020在圆X2上,圆在点PXo, yo处的切线方X X0 ,化简得X0Xyoy2.由XoX2y2yoy 21 与 Xoyo 2x2 4x0x 8 2xf3x0 48y0X 8 2x00切线丨与双曲线C交于不同的两点A、B,二3x40，设A、B两点的坐标分别为Xi,yi,X2,y2 ,如此x28 2X02x2 83x2 4，yiV2 3x2 4二 OA OB X1X2 yi y20,AOB的大小为90 .x0y22 且 x°y°0 , 0 x：2,0y 2，从而当3xo 40时，方程

8、和方程的判别式均大于零2 20的左顶点，直线l : x my 1(m R)与椭圆C练习1 :点A是椭圆C :- 匕1 t9 t相交于E, F两点，与x轴相交于点B .且当m0时， AEF的面积为163I求椭圆C的方程；5设直线 AE , AF与直线x 3分别交于M , N两点，试判断以 MN为直径的 圆是否经过点 B ?并请说明理由2圆锥曲线与图形形状问题x2A, B, C是椭圆W + y2= 1上的三个点，O是坐标原点.4(1)当点B是W的右顶点，且四边形 OAB(为菱形时，求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OAB(是否可能为菱形，并说明理由.2x解：椭圆WF y2= 1

9、的右顶点B的坐标为(2,0).4因为四边形 OABC菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分.所以可设A(1, m，代入椭圆方程得1 + m= 1，即 作4AA所以菱形OABC勺面积是一I OB T AC = - X 2X 2| m = . 3.22假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且直线 AC不过原点，所以可设 AC的方程为y = kx+ m( k0, m左0) 4 y 4,消 y 并整理得(1 + 4k2) x2 + 8kmx+ 4nn- 4= 0. kx m设 A(xi, yi) , Qx2, y2),如此4kmy1 y21 4k22m1 4k2所以AC的中点为M4 kmm1

10、4k2,1 4k2因为M为AC和OB的交点，所以直线 OB的斜率为14k1因为k 工一1，所以AC与 OB不垂直.4k所以OAB(不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形 OAB(不可能是菱形.2 2练习1 ：椭圆C :笃 与 1(a b 0)过点(2 , 1)，且以椭圆短轴的两个端点和一个 a b焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形(I)求椭圆的标准方程；(n )设M (x, y)是椭圆C上的动点,P ( p,0)是X轴上的定点，求 MP的最小值与取最小值时点M的坐标.3圆锥曲线与直线问题椭圆 C: x2 2y24 ,(1)求椭圆C的离心率.2上，且OA OB，求直线AB(2)设

11、O为原点，假如点A在椭圆C上，点B在直线y22与圆x2y 2的位置关系，并证明你的结论解析：椭圆的标准方程为:直线2 2AB与圆x y-2，离心率e -a2相切.证明如下:22法一:设点AB的坐标分别为xo yot 2，其中Xo因为OA丄OB，所以OAOB 0，即 txo 2yo解得t2yoX。xo t 时，yot2,代入椭圆C的方程，得22,故直线AB的方程为x 2 .圆心0到直线AB的距离d2此时直线AB与圆x2y 2相切.当xo t时，直线AB的方程为y 2生二x t ,xo t即 yo 2 xxo t y 2xo tyo o .圆心O到直线AB的距离d又 xO 2yO 4 , t2yo

12、x，故dxo42xo 8xo 16血.此时直线AB与圆x2 y22相切.法二：由题意知，直线 OA的斜率存在，设为 k，如此直线OA的方程为y kx , OA丄OB ,当k 0时，A2 0，易知B 0 2，此时直线AB的方程为x原点到直线AB的距离为 2，此时直线AB与圆2相切;当k 0时，直线OB的方程为y lx ,k联立2kx 2得点A的坐标1 22y242k.1 2k21 2k22k22k ；1联立Xk得点B的坐标2由点A的坐标的对称性知，无妨取点A2k.1-进展计算,22k于是直线AB的方程为:2k丄2y 21 2kx一22k1 2k2即 k 1 2k2 x 1k .1 2k2 y 2

13、k220 ,2k221 k.1 2k2原点到直线AB的距离此时直线AB与圆2相切。综上知，直线AB 一定与圆2相切.法三:当k °时，A 2 0，易知B 0 2，此时OA 2 OB 2 ,AB J22 222 2，原点到直线AB的距离dOA OBAB此时直线AB与圆x2 y22相切;当0时，直线OB的方程为yXiy1BX2 *，如此0A1 k X1， OBky221 k2 ，联立kx2y22得点A的坐标'1 2k42k1 2k222k22k1 2k2.是0A<rlXA, l°B 亦k2 ,'4 1 k2AB 1 2k2所以 d |OAabOB22 运

14、1 k4 1 k 42k2J k2 21 k2相切;1 2-22,直线AB与圆2 2 1 k.1 2 k2综上知，直线 AB 一定与圆X2 y2 2相切2 2练习1：椭圆C:与 占 1(a b 0)过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍过椭圆左a b焦点F的直线交椭圆c于A B两点，0为坐标原点I求椭圆C的标准方程；5假如直线AB垂直于X轴，判断点0与以线段AB为直径的圆的位置关系， 并说明理由；川假如点 O在以线段AB为直径的圆内，求直线 AB的斜率k的取值X围.4圆锥曲线定值与证明问题fo椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 ，且椭圆C上的点到两个焦点的距2离之和为4 .I求椭圆C的

15、方程;n设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线I与椭圆交于点 M，与y轴交于点N，过原点与I平行的直线与椭圆交于点P .证明:| AM | | AN | 2| OP|2.2解：I设椭圆C的标准方程为冷ab21(ab 0),2I 22a b c ,由题意知- 解得a 2, b 1 . a 2 '2a 4,2Xo1.所以椭圆C的标准方程为y24n设直线 AM的方程为：y k(x 2)，如此N(0,2k). y k(x 2),2 222由 22得(1+4k2)x2 16k2x 16k2 4 0 *.x 4y 4,设A( 2,0) , M (x, , y1)，如此2, x1是方程*的两个根,所以2

16、 8k21 4k2所以M(2 8k21 4k2(2 8k2 铁 8k2)21 4k2（1 ：k2）216 16k2 (1 4k2)24、1 k21_4k2"| AN |4 4k22,1 k2 .| AM |AN |4丄 1_k2_2_j_k21 4k28(1 k2)1 4k2设直线OP的方程为：y kx y kx, x2 4y2得(1 4k2)x24,、n2设 P(xg,yo)，如此 Xo2 ?1 4k22y。4k21 4k2所以|OP|24 4k21 4k22|OP|28 8k21 4k2所以 | AM | | AN | 2| OP |2 y2 3b21 a>b>

17、76;的离心率为飞，Aa，0，B（0，b），。0, 0X2例4.2:椭圆C：a OAB的面积为1.I求椭圆C的方程；（I I）设P的椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点 M直线PB与X轴交于点No求证：AN ? BM为定值。1鼻1)由已如得.e = y曲 血=1“血jflB =护+ X，血解?；3=2=1>则wm方殍为(11) IftUBfl上/SP 的峑标为2M0.SW).只已ftl ApP0).B0.1)t 则直fitPJl 的方程为sln6y = r a_z O 一 2)2qqsB - 2令就可以得到财点呐标为<0,丄) 同样可以福到N的坐标为gw1iJnfl则黒M| = E

18、Et-silnJI ITI pl “e一 g刖 2-2 42练习1：椭圆C :与a与 1(a b 0)的离心率为6,椭圆短轴的一个端点与两个焦点b23构成的三角形的面积为5>/23 .(I )求椭圆C的方程;(n )动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点.假如线段AB中点的横坐标为1 72,求斜率k的值；假如点M ( 3，0),求证：MA mb为定值.2 3练习2:抛物线C : y2 = 2 pxp> 0，其焦点为F, 0为坐标原点，直线 AB不垂直于x轴 过点F且抛物线C交于A , B两点，直线OA与 OB勺斜率之积为p .1求抛物线C的方程；2假如M为线段AB的中点，射

19、线OM交抛物线C于点 D ,求证：-|OD| >2|OM |1练习3:动点P(x, y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l：x 4的距离之比为.2(I )求动点P的轨迹C的方程；定点 A( 2,0)， B(2,0)，动点Q(4, t)在直线丨上，作直线 AQ与轨迹C的另个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为 N，证明：M , N ,F三点共线.5圆锥曲线最值问题x2 y 2例5:椭圆C：冷 2 1(a b 0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A, B两点,a b2|AB| 2.I求椭圆C的方程;设点 P是椭圆C上的一个动点，且点P在y PA , PB与直线x 4分别相交于M , N

20、 MN为直径的圆与x轴交于两点E, F ,求点P横坐标的取值 X围与| EF |的最大值.解：I由题意可得，b 1 ,c3e -a22 a1 3得2a4解a24 ,x2椭圆C的标准方程为x 2y 145设 P(Xo,y°)(O xo 2), A(0,1) , B(0, 1),所以kpA yo -，直线PA的方程为y凶1 x 1 ,XoXo同理：直线PB的方程为yyo!x 1， xo直线PA与直线x4的交点为4(yo 1)M(4,Xo1)，直线PB与直线x4的交点为N(4,4(yo 1)1)，Xo线段MN的中点他)，(4，xo所以圆的方程为(x 4)2(y24 2)2 (1-)2，Xo

21、Xo4yo、2因为所以o,2Xo4(x如此2yo4)2因为这个圆与(x 4)2色5Xo16y22X。氐12xo(11011分x轴相交，该方程有两个不同的实数解,oQ所以5-。，解得xo (o,2.设交点坐标(為,0),(x2,0)，如此|為8Xo14X2练习1 :椭圆C:二a2yb2的一个焦点为F(2，0)，离心率为昼。过焦点F的3所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.直线l与椭圆C交于A, B两点，线段A冲点为D, C为坐标原点，过Q 的直线交椭圆于 M N两 点。1求椭圆C的方程；2求四边形AMBN面积的最大值。练习2：椭圆C : mx2 3my2 1(m 0)的长轴长为2 6， C为坐标原点I求椭圆C的方程和离心率;设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，假如|BA| |BP|，求四边形OPAB面积的最小值6圆锥曲线存在性问题，点 P 0,1 和点 A m,n m0都在2 2例6.椭圆C : 每 1 a b 0的离心率为a b椭圆C上，直线PA交X轴于点M .I求椭圆C的方程，并求点M的坐标用m n表示；n