圆锥曲线的综合问题

1、t BixtEHlj - gkSiiajlllJIEMI时间：45分钟满分：100分班级：姓名：学号：得分：一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1. (2014襄樊一模)若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线 卜2x的焦点，点P 是抛物线上一动点，则|FA|+ |PF|取得最小值时，点P的坐标是()A. (0,0)B . (1,1)C. (2,2) D. 2，1解析：1I1如图，点A在抛物线内部.由抛物线定义知：|PF|等于P到准线x=的距1离.根据几何关系易知|FA|+ |PF|的最小值是由A点向抛物线的准线x=作垂 线(B为垂足)时

2、垂线段AB的长度从而求得 AB与抛物线的交点为(2,2) 故选 C.答案：C22. 设F1、F2为椭圆；+ y2= 1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，PF1 PF2的值等于()A. 0 B . 2C. 4 D . 2解析：易知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形 PF1QF2的面积最大.此时，F1( 3, 0)，F2( 3, 0)，P(0,1)，PFi = ( 3, 1), PF2二(，3, 1).PFi PF2= 2.答案：D2 23. 过椭圆 c：餌 y- 1(a> b> 0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于1 1另

3、一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若3<kv刁 则椭圆离心 率的取值范围是()192A.(4 4)b .(3, 1)1 2 1C.(2, 3 D. (0, 2b2解析：由题意，B(c,才)，b2a a c°k= 1 e,c+ aa1 1 1 2 '3< 1 e< 2,2< e< 3.答案：C224 .已知双曲线倉务=1,过其右焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则琵的值为()5 55 5c.4D8解析：依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P( 3, 0)、Q(3,0)、|MF| 5M(0,0

4、)、F(5,0),窝二6.答案：B2 2与椭圆的一个x y5已知椭圆C的方程为16+1(m>0),如果直线交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则m的值为()A. 2 B. 2 2C. 8 D. 2 32 216 m 16 m+ 2m2 二解析：根据已知条件c=- ：16 m2,则心16- m2，呉/l6 m2)在椭圆話+1(m>0)上, / 161,可得 m= 2 2.答案：B6. (2014衡水模拟)下列说法正确的是()A. 在 ABC中，已知A(1,1), B(4,1), C(2,3),贝U AB边上的高的方程是 x=2B. 方程y=x2(x>0)的曲线是抛物线1

5、C. 已知平面上两定点 A、B,动点P满足|FA|PB|= lABI，贝U P点的轨迹是双曲线D. 第一、三象限角平分线的方程是 y= x解析：选项A符合曲线与方程的概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点.选项B符合(2)但不符合(1).选项C符合(2)但不符合(1).选项D符合(1)、(2).故选D.答案：D、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7. 设椭圆的两个焦点分别为F1, F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若厶F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .2 2b2解析：设椭圆

6、方程为乍+袞=1(a>b>0),令x= c,贝U|y|= £，由题意得|PF2|abab，又 t|FiF2|= |PF2|,2c=.2 2 2 2 2'b = a c , 'c + 2 ac c = 0,-'e + 2e 1 = 0,解之得 e= 1 ±.'2,又 °0v ev 1, e= ;：2 1.答案：2 128. 已知双曲线x2 3 = 1的左顶点为A1，右焦点为F2, P为双曲线右支上 点，则PA1 PF2的最小值为.解析：设点P(x, y)，其中x> 1.依题意得A1( 1,0)、F2(2,0),由双曲

7、线方程2 2 2 2 2 得 y= 3(x 1).PA1 PF2= ( 1 x, y) ( x, y)= (x+ 1)(x 2) + y = x + y1 2 81x 2= x + 3(x 1) x 2= 4x x 5= 4(x §)忌，其中 x> 1.因此，当 x=1时，PA1 PF2取得最小值2.答案：29. 设F为抛物线y2= 4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若FA+ 2FB = 0,则 |FA+ 2|PB| =.解析：过A, B两点分别作准线的垂线,再过B作AC的垂线，垂足为E,设 BF= m,贝U BD = m, FA+ 2FB = 0,'AC= AF =

8、 2m,如图，在直角三角形AE= AC BD= 2 m m = m,AB= 3m,.cosZBAE=AEAB=13,直线AB 的斜率为：k=tanzBAE = 2 2,直线AB的方程为：y = 2.2(x 1),将其代入抛物线的方程化简得：2x2292 992,因此可得 QQ 1, p,因 F(1,0),由 |FQ|= 2,则有(k 2)2 + Q)2= 4,1,k= ±1.答案：± 5x+ 2二0,，X1= 2, X2= 2A(2,2 .2), B(± . 2),又 F(1,0),则 |FA|+ 2|FB|= - 1答案：610. (2013浙江)设F为抛物线C

9、： y2 = 4x的焦点，过点P( 1,0)的直线I交抛物线C于A, B两点，点Q为线段AB的中点.若|FQ|= 2,则直线I的斜率等于.解析：设直线I的斜率等于k,设A(X1, y1), B(x2, y2)，则直线I: y= k(x+22 22241)与抛物线 C: y = 4x联立得 k x + (2k 4)x+ k = 0,则有 X1x2= 1, X1 + 血=亡一、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分,写出证明过程或推演步骤)2 2以该椭圆上的点和椭圆的11. 已知椭圆予+治=1(a> b> 0)的离心率为左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的

10、周长为4(,2+ 1). 一等轴双曲线的顶点是 该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点.(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；(2) 设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1 k2= 1.解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知c =返a_ 2，2a+ 2c= 4(冷 2+ 1)，所以 2 2，c= 2，又 a2= b2 + c2，因此 b= 2.2 2故椭圆的标准方程为令+才=1.2 2由题意设等轴双曲线的标准方程为m2-m? = 1(m> 0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2.2 2因此双曲线的标准方程为4 卷=1.(2)证明：设 P(xo，yo)，则k1x

11、o + 2， 2_ xo 2.因为点P在双曲线x2 y2= 4 上,所以 xO y0= 4.因此匕k1k2 =yoyoxo+ 2 xo 22xo 4即 kk2= 1.2 212. (2013课标全国U )平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:拿+存=1(a>b>0)右焦点的直线x+ y 3= 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的(I )求M的方程；(n )C, D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD丄AB,求四边形ACBD面积的最大值.解：(1)设 A(xi, yi)，B(x2，y2)，P(xo, yo),则2 22 21, a2+b21,y2_ y1 = _ 1 X2 -

12、 X1_，由此可得b?(X2 + X1) y2 y1a(y2 + y1) X2X1因为 X1 + X2= 2Xo,y1 + y2 = 2yo,yo_ 1Xo_ 2,所以 a2_ 2b2.又由题意知，M的右焦点为(3, 0),故a2 b2_3.因此 a2_ 6, b2_ 3.2 2所以M的方程为X + y _ 1.63x+ y 3_ 0,由x2+存1解得x_ 0,y_，因此 AB|_ 436.由题意可设直线CD的方程为y_x+ n( 53<nv .3),设 C(X3, y3), D(x4, y4).y_ x+ n, 由X2+律1得 3x2 + 4nx+ 2n2 6_ 0.于是X3,4_2n

13、± 2 9 n23.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|_ . 2|X4 X3|_49 n2.由已知，四边形ACBD的面积S= 2lCD|AB|=9- n .当0时，S取得最大值，最大值为 彎.所以四边形ACBD面积的最大值为36.13. (2014威海市模拟)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经 过 A(- 2,0)、B(1, 2)两点.(1) 求椭圆E的方程；(2) 若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线I: x= my+ 1与椭圆 E交于M、N两点，则 FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出 这个最大值及直线I的方程；若不存在，请说明理由.2 2解：

14、设椭圆E的方程为a2 +生=1(a> b>0)，椭圆E经过A(- 2,0)、B(1,号)两点,，二 a2 = 4，b2= 322椭圆E的方程为+ £ = 1.设 M(x1，y"、N(x2，y2)，不妨设 y1 >0，y2<0,如图，设 FMN的内切圆的半径为R,贝USFMN = 1(|MN|+ |MF|+ |NF|)R= (|MF| + |MH|)+ (|NF|+ |NH|)R= 4R当SaFMN最大时，R也最大， FMN的内切圆的面积也最大,又 SaFMN =2lFH|y1|+ ；|FH|y2|,|FH|= 2c= 2二 Sa fmn= |yi|+ 险|= yi - y2x= my+ 1由 x2 y2得(3m2+ 4)y2 + 6my 9= 0,4 + 3 = 1则= (6m)2 + 4X9(3m2 + 4)>0恒成立，yi + y2= 3后+，yiy2=3m二 yi y2 = y/(yi + y2) 4yiy2=26m 24x n FMN的内切圆的面积的最大值是9n，此时，m= 0,直线I的方程是x =i2