圆锥曲线离心率问题

1、圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆， 双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：e c （其中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e 0,1（2 ）双曲线：e 1,+2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系（1）椭圆：a2 b2 c2， 2a :长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1 PF2 2a 2b :短轴长 2c:椭圆的焦距（2 ）双曲线：c2 b2 a2 2a :实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1 PF2 2a 2b :虚轴长 2c:椭圆的焦距3、 求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找

2、参数a,b,c的比例关系（只需 找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1） 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形 （曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解（2） 利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1 ）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c

3、表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2 ）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e 0,1，双曲线：e 1,+二、典型例题：例1 ：设Fi,F2分别是椭圆2C：Xb21 a b 0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230o，则椭圆的离心率为( )A.bV1 C.1 D.-3636思路：本题存在焦点三角形 VPF1F2，由线段PF1的中点在y轴上，0为F1F2中点可得PF2/ y

4、轴，从而PF2 F1F2，又因为 PF1F2 30o，则直角三角形VPF1F2中，PF：PF?: |吋2| 2:1:73 , 且 2a PF|PF,2c |吋, 所 以 c 2cF1F2IV3e 一 ；a 2a I PF|PF2|3答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意0为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与0搭配形成三角形的中位线。22例2 :椭圆令古1 O b 2 一3与渐近线为X 2y 0的双曲线有相同的焦点F1F2 2c，在双曲线中,Fi,F2,P为它们的一个公共点，且F1PF290°,则椭圆的离心率为思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点

5、，设2:1:5，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：PFiPF24/3，由双曲线定义可得:PF1 PF2 2atc，因为 F1PF2.590°，PFi代入可得:PF2484c 而 PFi邑8c25i2PF2I =c .102pf1 pf222PFi PF2l306答案：回6小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时,它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。2x例3 :如图所示，已知双曲线a的右焦点为F，过F的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，且直线I的倾斜角是渐近线OA倾斜角的uuur2倍，若AFULW2FB，则该双曲线的离心率为(3 2A.

6、42 3B.3C.3055D.2思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,b,c表示，再寻找一个等量关系解出 a,b,c的关系。双曲线的渐近线方程为ybx， a由直线I的倾斜角是渐近线0A倾斜角的2倍可得：程得则yA答案:2ba2a2ab2 ,2a bb2 yBb2，确定直线1的方程为ya22abb2c,与渐近线联立方2abca2 b22abc3a2 b2 Or2abc3a222 y b2b2，解得 a：b：uurAFuuu2FB转化为坐标语言，c 3:1: 2，从而 e 2 331(a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P使得| PF11|PF2|

7、3b,|PF1| |PF2|9ab,则该双曲线的离心率为4459A.-B.C.334思路：条件与焦半径相关，所以联想到PF1PF22a，进而与例4 :设xF2分别为双曲线aD.3PF1PF22PF1即9b24a29ab9b2b2b99 -40aaa: b: c 3: 4:59|PF2|一 ab,找到联系，计算出42PF24PF1PF29ab4a20解得b1、b(舍)或_a3ac5e 一a3I PF | IPF2I 3b,|PF1| 解: Q| PF1 PF2| 2aa,b的比例，从而求得e43答案：B例5 :如图，在平面直角坐标系xOy 中,2 x A, A2, B1, B2为椭圆一2 a1(

8、a b 0)的四个顶点，F为其右焦点，直线 AB2与直线B1F相交于点T,线段0T与椭圆的交点 M恰为线段0T的中点，则该椭圆的离心率为 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意 义，所以考虑将点的坐标用 a, b, c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线AB2,BiF的方程含a,b,c，联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示（Ta2ac b a c），则OT中点Macb a c,再利用M点2 a c在椭圆上即可求出离心率解：直线ab2的方程为:x直线B1F的方程为：-cyb联立方程可得:bxcyaybxabbc解得：t （込，卫）,a c a cac b(a c) 则

9、M (ac2(a c)）在椭圆2771(ab0)上,c2(ac)2(aC)24(ac)2解得:e2 75答案:e2 75例6 :已知F是双曲线1,c210ac3a20,10e 32x2a£=1a 0,b 0的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于VABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率围为B.1,2C.1,1思路：从图中可观察到若 VABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角。由对称性可得只需AEF 0,4即可。且AF,FE均可用a,b,c表示,AF是通径的一半，得:AFFEa c,所以 tanAEF|AF|FE即e1,2答案:Bb2小炼有话说：（1 ）在处理

10、有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角 的问题转变为边的比值问题©2即可求（2）本题还可以从直线 AE的斜率入手，E a,0 ,A c,，利用kAE1,0PF2 , PF1，所以PF1F2,a例7x:已知椭圆2y 1 2a b0的左、右焦点分别为ab2F1c,0 , F2c,0,若椭圆上存在点 P 使ac则该椭圆的离心率的取值范围为11sinPF1F2sinPF2F1I()A.0/21B.返1C. 0匝D. /2 1,122出离心率2 2思路:PF2F1为焦点三角形VPF1F2的内角，且对边为焦半径利用正弦定理对等式变形:sin PF| F2sin PF2F1sin

11、 PF2Ficsin PF1F2aPF1cPF2a再由IPF2I | PF2a解得:| PF22a2,再利用焦半径的范围为a c,a c可得（由于依题意，P非左右顶点，所以边界值a c,a c ):2a2a caa c2 2a c2a22a22 ca 2ac2a2e2e 1，解得 e .21,10答案:2X已知F2是椭圆E : va的左右焦点,若椭圆上存在点P，使得PFiPF2，则椭圆离心率的取值范围是(A.C. 0兰5思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时,F1 PF2达到最大值。所以若椭圆上存在PFiPF2的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的90°

12、;，考虑该角与 a,b,c的关系,由椭圆对称性可知,tanOPF2of2.c 1，即 c bOP bc2 b2c2a2OPF2 45°，2c2，进而三-即e2a 2所以解得子，再由e 0,1可得e思路:由PFi PF2可得F1PF290°，进而想到焦点三角形F-)PF2的面积：S/F1PF2b2ta n2F1PF2b2，另一方面：SVf1 pf2F1F2yPc yPb2yP再同思路一可解得:b2，因为P在椭圆上，c所以yPb,b，即 yPuur思路三：PF1 PF2可想到PF1uujrPF2进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。P x,y ,F1c,0 ,F2 c,0，uu

13、rPFiuurc x, y ,PF2c x, yuu ujjr22 2PF1 PF2 x2 y c2 0，即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径rb时才可有交点，所以c b，同思路一可解得e ,12注：本题对P在圆上也可由PF1PF2判定出P在以F1F2为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为2 2 2x y c ，因为P在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程:.2 2b x2x2a2y2y2ca2b2代入消去x可得：ba2b2，整理后可得:b4，由cy b,b2可得：yb2同思路一即可解得:答案：e小炼有话说：本

14、题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不 同的结论得到不同的突破口； 二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过 坐标方程用代数方式计算求解22x y例9 :设点A1,A2分别为椭圆 21 a b 0的左右焦点，若在椭圆上存在异于点a bA,A2的点P，使得PO PA2，其中0为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）B.0,-22C.1A. 0,2思路:本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P ”，则P的横纵坐标分别位于a,ab,b中，所以 致力于计算P的坐标，设，题目中A> a,0 ，由POpa2可得p也在以oa为直径的圆上。即2a，所以联立方程:

15、4b222 xa,2cax b 0,2 c 22 X aax b2由已知可得A a,0也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得:axo2, 2a b2cXo零，再根cab222据x0的范围可得： a 亍 a b cc1，解得e2答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型:即已知一个交点,可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标2x例10 :如图，已知双曲线：a2y1(a0,b0)上有一点bA，它关于原点的对称点为点F为双曲线的右焦点，且满足AF BF，设 ABF离心率e的取值范围为(A. .3,23B. 、2八 31C. 2,2-31BF可得VABF为直角三

16、角形,思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义,AF且AB2 OF于原点对称，所以2c ,结合AF即为cos sinABF可得AF2cs in,BF2ccos ,因为A, B关B的左焦半径。所以有2a2 cosBFAF2c cos sin ,，即关于的函数，在云g求值域即cos43 142_22 ，所以e 2, . 3答案：B三、历年好题精选21、已知双曲线笃a21(a0,b0) , M ,N是双曲线上关于原点对称的两点,P是双曲线上的动点，直线PM,PN的斜率分别为ki,k2(ki k20)，若 k1k2的最小值为1,则双曲线的离心率为2、( 2016，新余一中模拟)已知点A是抛物线

17、x24y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PAm PB，当m取最大值时,点P恰好在以焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(421B.2C.5 12D. .52 23、已知F1, F2分别是双曲线一2每a b的左、右焦点，过点 F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若VABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是-2 1,C .1,1231,设F1,F2分别是双曲线2x2a2 y b20,b0的左右焦点，若双曲线左支上存在一点uuuuruuuu,使得RMOMuuirOF1为坐标原点，且uuuuMF13 ujuurMF2，则该双曲线的离心率为（C. 6.25、

18、（2016四川高三第一次联考）2 2a b 0和圆x ybt222c ,e的取值范围为1,2恒有四个交点,（c为椭圆的半焦距）对任意t则椭圆的离心率2x椭圆方程为2ma21 ambb 0,m1 若 AC, BD的斜率之积为9，则椭圆的16离心率为7、（ 2015，新课标II）已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上,VABM为等腰三角形，且顶角为120o，则E的离心率为（A.B. 2C. .3D.8、（ 2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线2 2xy2,2aba 0,b0的左、右焦点分别为F1,F2，点M在双曲线的左支上，且MF?7 MF1，则此双曲线离心率的最大值为5B.-39、（2

19、015，山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1 :2x-2a2 y b20,b0的渐近P是它们的一个公共点，且D.11、（ 2014，浙江）设直线 x 3y0 m 0与双曲线1 a 0,b两条渐近线分别交于点A, B，若点Pm,0满足PAPB，则该双曲线的离心率是解得:习题答案:1、答案:B.解析：设M(p,q),N(p, q), P(s,t)，则2p2a2q_b2b22 2两式相减得：2 sqt22ab2，而 k1k222b a， 4b4c24a2q tq tp sp sa25a24 c22q2pt2s22b2线与抛物线C2：x2 2py p 0交于点O,AB，若VOAB的垂心为C?的焦点

20、，贝U G离心率为 10、（2014，湖北）已知 Fi,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,FE -，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为C. 32、答案：A0, 1 ,B 0,1P作准线的垂线，垂足为，所以PBPAPM，所以mPB解析：由抛物线方程可得:合可知当AP与抛物线相切时,1sin PAM，可知m取得最大值时,PAM最小，数形结PAM最小。设AP : y kx 1，联立方程x2 4y y kx 1即 x2 4kx 4 0，贝U0 k 1，此时 P 2,1 ，贝U PA 2, PB2，所以2aPAPB 2罷 2 a 2 1，贝y ea .2 12 13、解析：QVABF2为钝角三角形，

21、且 AF2 BF2, AF2F145o即 AF| F1F2,丄 2c c2 a2 2ac 0 a即 e2 2e 1答案：B4、答案：A思路：已知条件与焦半径相关,umir先考虑焦点三角形 MF1F2的特点，从F1MuuuuOMuuirOF10入手，可得uumrF1MuuuuOMuuurOF1，数形结合可得四边形OMPF1为菱形，所以OM可判定VMF1F2为直 角uuuuLmf2J3:3MF1旺OF1of2 3k, MF2uuuuMF1 :3k，可得MF1MF2e 2c2a MF2 MF1 3k 3k5、答案:bt2c解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则2bt2ca对任意b1,2恒成立，即b 2c2ca25c，平方变形后可得：_ba24ac17c26、答案:解析：设切线 AC的方程为y k1 x ma，切线4e丄17BD的方程为i，1k2xmb，联立切线AC 与内层椭圆方程，得：y K x ma.2 2bxayab 2所以b2 a2k： x2 2ma3k12 x24 222m a & a b