数学归纳法和它的教学

1、数学归纳法和它的教学城关中城关中学-代亚玲 “中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践研究”数学归纳法以及它的教学设计、教学过程谈一些想法，供同行参考不当之处请指正一、数学归纳法是一种什么样的方法要上好数学课首先是对数学的理解要到位从当前课堂教学中所暴露出来的许多问题看，首先是对数学本身理解的偏差，其次才是对教学设计的把握没有对教学内容的深刻的数学理解就谈不上进行准确的教学设计，上出一堂好课来同样，要上好数学归纳法这节课首先要弄清楚数学归纳法到底是一种什么样的方法1.使用数学归纳法证明的步骤数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题的一种方法使用这个方法证明一个与正整数有关的命题

2、p（n）成立，需要证明：p（n0）（n0N*）成立；若p（k）（kn0，kN*）成立，则p（k1）也成立于是，可以下断语：p（n）对于一切正整数n（nn0）都成立如果把最后的断语也算做一步，那么，可以认为数学归纳法证明的过程有三步但是，由于最后的断语几乎千篇一律，而证明过程又主要是前面两步，因此，通常认为数学归纳法的证明过程是两步，不过最后的断语是不可缺少的2.为什么有了这两步，命题p（n）对于一切正整数n（nn0）都成立事实上，由第一步的证明可以得到，p（n）对于nn0已经成立了而第二步，已经证明了命题“若p（k）（kn0，kN*），则p（k1）也成立”是真命题，于是我们就可以使用这个真命题

3、，得到p（n01）是成立的；再使用这个真命题，得到p（n02）是成立的；，如此反复，可见命题p（n）对于一切正整数n（nn0）都成立了由此可见，数学归纳法中的第一步证明了一个“递推基础”（或者叫做“归纳奠基”）；第二步证明了一个“递推依据”，我们就可以从递推基础起，反复使用递推依据，动起来了，可以一直无限制地递推下去，使得对于一切正整数n（nn0）命题p（n）都成立可见，第二步的证明解决了一个“能”字，能够无限制地进行递推，能够从有限走向了无限由上面的分析可见，这两步是缺一不可的缺少了“递推依据”也就无法“动”起来，由有限走向无限，无法完成对于一切正整数n（nn0）命题p（n）都成立的证明任务

4、缺少了“递推基础”就成了无源之水，无从“动”起数学归纳法的本质是递推3.第二步中的k是什么？“数学”、“归纳”体现在哪里第二步中的k是一个事先给定的正整数，相对于n而言，它是常量，是有限不是无限我们可以就n0，n01，n02（n0N*）等具体的正整数来验证p（n）成立，却无法解决p（n）对所有的正整数n（nn0）成立的问题但是，若对于n取某个具体的k（n0是它的一个身影）命题成立，又能够证明出nk1时命题也成立，那就好办了因为这就证明了一个递推的依据，可以反复使用这个递推依据，使n从有限走向了无限，这正体现了“归纳”二字的特点由特殊到一般这就是为什么称为“归纳法”的原由不仅如此，数学归纳法是完

5、全归纳法，由这两步，就一切正整数n（nn0）都证明了p（n）是成立的另外，用数学归纳法证明的那个结论，往往是通过不完全归纳得到的，然后用数学归纳法这个完全归纳法来加以证明，有“先猜后证”的特点“数学归纳法”中的“数学”二字又体现在哪里呢？笔者以为，在第二步证明命题“若p（k）成立，则p（k1）也成立”的过程中，使用的是演绎推理，不是归纳推理；从整个数学归纳法证明问题的过程看，“数学归纳法实质上是演绎法的一种重要变态”4，演绎推理是数学推理的主要特征由以上两点可见，这个方法叫“数学归纳法”是非常恰当的另外，自然数的皮亚诺公理的性质是数学归纳法（也称完全归纳法）的根据（注：这里所说的自然数不包括零

6、） 二、数学归纳法一课的教学该怎样设计了解了数学归纳法是怎么回事，再进行教学设计就有了根据，有了方向教材是教学内容的载体，提供了教学内容的呈现方式，是学生的“学”、教师的“教”，开展教学活动的重要材料要上好一节课，对教学内容的数学理解以及对教材的研究都是十分必要的，只有这样，才有可能设计出恰当的教学过程1教学目标是什么教学要有明确的教学目标，教学活动应该围绕教学目标来展开本节课的教学目标，就是要让学生明确：用数学归纳法证明与正整数n有关的命题p（n）成立需要做哪几件事；为什么做了这几件事就能证明命题p（n）对一切正整数n都成立也就是使学生领会这一方法的实质，为今后逐步熟练地运用这一方法奠定基础

7、2.让学生感受到学习新方法的必要性数学教学应当从问题开始首先提出问题：对于数列an，已知a11，an1（n1，2，3，），通过计算可以得到a2，a3，a4，于是，我们获得猜想an但是，这里出现了两个问题：一是，总不能这样一直计算（验证）下去，因为你算得再多也不能证明an就是数列an通项公式；二是，猜想得到的通项公式只有通过证明才能成为数学结论那么，怎样证明我们的猜想an是正确的呢？之前的方法都不能完成这个任务，需要另辟蹊径，学习一种新的方法必要性出现了（这个方法叫什么名字不要紧，关键是它是一个什么样的方法，为什么用这个方法可以解决问题？）通过“问题”把学生推向“愤、悱”境地，让学生感受到学习的

8、必要性，激起求知的欲望，促使学生主动地学习，教学效果才有保证3.类比，用好多米诺骨牌这个模型多米诺骨牌是理解数学归纳法的最好模型我们用第一块骨牌表示a1，它若倒下，相应地，表示a1是正确的；第二块骨牌表示a2，它若倒下，相应地，表示a2是正确的；，用第k块骨牌表示ak，它若倒下，表示ak是正确的只要能保证所有多米诺骨牌都倒下，相应地，就能保证通项公式对一切正整数都成立那么，所有多米诺骨牌都倒下的条件是什么呢？通过观察可以发现，只要满足以下两个条件，所有骨牌就都能倒下：第一块骨牌倒下；相邻的两块，前一块倒下一定导致后一块倒下“为什么满足这些条件多米诺骨牌会全部倒下呢？”一定要让学生来解释其中的道

9、理，并解释每一个条件的作用分别是什么，这是教学过程中的一个不可或缺的重要环节通过这个解释学生才能够领会数学归纳法的实质，掌握使用这个方法的要领，理解这个方法需要指出的是，弄清所有骨牌都倒下的条件是必要的，但更需要明确的是，我们要做什么事？“保证”，保证这些条件都已经满足有骨牌模型这个作为寄托，加上一个具体的事例，再理解抽象的数学方法就不再困难证明关于正整数的命题p（n）对于一切正整数n（nn0）都成立需要证明两点：（1）证明当n取第一个值时n0（nN*）时命题成立；（2）假设nk（kn0，kN*）时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题p（n）对于从n0开始的所有

10、正整数n都成立在这两个步骤中“证明”二字指出了我们要做的事情要让学生明确要“做什么”以及“为什么”要做这些特别要让学生明白第（2）步是要证明一个命题成立，这个命题的条件是“nk（kn0，kN*）时命题成立，即p（k）成立”，结论是“nk1时命题也成立，即p（k1）成立”以上过程，教师可以通过板书逐渐形成下面的表格，以加强数学归纳法与多米诺骨牌的对比，帮助学生理解好这一方法骨牌通项公式证明第一块已经倒下证明n1时，公式正确证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的证明“如果nk时公式正确，那么nk1时公式也正确”这个命题是真命题做了以上两件事（证明），无数块骨牌都倒下了做了以上两件

11、事（证明），通项公式对一切正整数n都成立了为什么学生用数学归纳法证明时（尤其是初学），笔者不允许把第（2）步写成“设nk（kn0，kN*）时结论成立，要证明nk1时结论也成立”而要求把“结论成立”具体化，写出nk时成立的内容，还要写出nk1时，要证明的具体内容也就是，明确要证明的命题的条件是什么？结论是什么？不这样做，在问题简单时可能不能明显感受它的好处，但是当问题较为复杂时，这个要求就显得十分必要在由条件推出结论的过程中，可以用分析法、反证法，有时甚至需要把已经证明过的递推基础作为结论来使用（篇幅所限，都不再举例），等等更重要的是感受演绎推理的特点，数学归纳法也是发展与培养学生逻辑思维能力的

12、好题材还有一个问题，“假设nk（kn0，kN*）时命题成立，证明当nk1时命题也成立”中的条件“nk（kn0，kN*）时命题成立”是怎么来的？用多米诺骨牌这个模型来解释就比较容易理解这个k类似于多米诺骨牌中的“前一块”，“nk（kn0，kN*）时命题成立”就是“前一块已经倒下”相应地，证明结论“nk1时命题也成立”就是要证明“导致后一块一定倒下”再比如，如果有人帮助你计算出了第1000项，你能保证就可以计算出第1001项吗？这是可以的，就是利用题设中的条件an1（n1，2，3，）这正是他们至少已经重复了3次的由前一项计算后一项的过程这个问题可以又一次让学生感受到“假设nk（kn0，kN*）时命

13、题成立”中的k指什么？为什么可以假设ak成立，然后再去证明ak+1也成立这些都说明，在“证明当nk1时命题也成立”时不可能不用到“假设nk（kn0，kN*）时命题成立”这个假设，这个条件，否则就不能说是在使用数学归纳法如果学生的基础比较好，则可以思考：是否可以由“假设nk（kn0，kN*）时命题成立”去证明“当nk2时命题也成立”来达到证明命题对于所有正整数n（nn0，n0N*）都成立的目的结合要证明的通项公式这是容易理解的他们会发现，这时递推基础就不能是一个，而应该是两个：a1，a2反复使用递推依据，就可以得到a3，a4；a5，a6都成立，同样可以证明an对于一切n（nN*）都成立他们还可能

14、发现，也可以去证明“当nkl（kn0，k，lN*）时命题也成立”，只不过递推基础要做相应的变化这样，可以促进学生更好地认识到两个步骤的相互依存关系，认识数学归纳法的本质，而不需要去机械地强调“两个步骤缺一不可”实际上，数学归纳法还有许多变式，这里不再赘述三、对教学实践过程中两个片段的思考课题组已经有两位教师就这个课题进行了教学实践，这里就教学中的两个片段谈一些看法，以供再设计、再教学时参考片段1一位教师的开场白是这样的师：这节课我们要学习一种新的方法数学归纳法作为一种方法的学习，大家首先要对自己问四个问题Where，Why，What，How也就是说，我们这个方法研究的是什么问题？为什么要引进这

15、个方法？方法的思想或者内涵是什么？方法如何运用？我先回答第一个问题，这个方法研究的是与正整数有关的问题，我把这个命题记成p（n）这种命题的特点是这里的n有许多，如p（1），p（2），p（3），等等，永无止境，那么怎么研究？然后就进入通过a12，a24；a36，a48让学生猜想通项公式的活动这个片段大约花去了近4分钟的时间对于教师的这一番话，学习者我们的学生会是什么感受呢？为什么要学习新方法？缺乏需求很难感受到学习这一方法的必要性，很难引起学生学习的兴趣“新的方法”，为什么是新方法？过去的方法怎么不行了？“数学归纳法”这个名字哪来的呢？“这个方法研究的是与正整数有关的问题”，什么样的与正整数有关

16、的命题？太抽象，为什么不从一个具体问题说起呢？其实，教材写得很清楚，从研究一个问题开始（见2.2），由此可以明确所要研究的问题以及引发学习新方法的必要性，围绕这个问题的解决过程让学生感受这个新方法的特点没能很好地研究教材，用好教材，而是把教材置于一旁，这不是可取的态度学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程，解决问题的方法、工具也不是凭空产生的，通常因解决问题的需要而产生教学过程要尽量自然一些、平顺一些，少让学生感到突兀，甚至莫名其妙片段2师：解决了这两个步骤，问题就解决了，是不是？生：是笔者以为，缺少最关键的一句问话为什么？学生能否准确回答这个“为什么”是衡量这节课是否成功的一个重要

17、标志学生如果能解释好这个“为什么”，就说明，他们已经领会了这个方法，而不是只会机械地套用那两个步骤而课堂上，基本上没有让学生解释这两个步骤的来源以及作用的机会学生的学习不是靠教师的反复告诉有人说“告诉学生3×515不是教学，问学生3×5？是教学”，就是说，不要把结果直接告诉学生，而是让学生通过自己的独立思考、探究，与同伴的交流等方式来获得数学结论学习是学习者本人的体验、感受，“饭要亲自吃，觉要亲自睡”为什么有了这两个步骤，就可以完成从n0（n0N*）到一切正整数命题p（n）都成立的证明？为什么要这样假设？为什么可以这样假设？为什么“假设nk（kn0，kN*）时结论成立”还要去证明“nk1时结论也成立”呢？这个k到底指什么？这一连串的“为什么”如果都能弄懂了，对数学归纳法这一方法当然也就清楚了多问“为什么”，是从假懂走向真懂的必经之路多问“为什么”，可以挖掘解决问题背后的思维过程，因