二次函数图像性质知识点总结以及习题集锦

1、次函数图像及性质知识总结二次函数一般地，形如义域是全体实数，y ax2图像是扌bx c （ a , b, c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。定 抛物线概念解析式b、c 为 0 时 y ax22b 为 0 时 y ax c2b、c 不为 0 时 y ax bx ca 0开口向上.向上向上a 0开口向下向下向下对称轴y轴y轴bx 2a图顶点坐标0 , 00, cb 4ac b22a4aa 0时y有最小值X=0.时y 最小值等于 0X=0,时Y 最小值等于 c当 x 时。2a2y有最小值4ac b.4a像a 0时y有最大值X=0.时y 最大值等于 0X=0,时Y 最大值等于 c当 x 时,2

2、a2y有最大值4ac b.4a的 性质a 0时开口x 0时，y随 x 的增大而增大；x 0时，y随 x 的增大而减小；x 0时，y有最小值0.当 x P 时,2ay随 x 的增大而减小；向上当 x 时,2ay随 x 的增大而增大a 0时开口x 0时，y随 x 的增大而减小；x 0时，y随 x 的增大而增大；x 0时，y有最大值0当 x 时,2ay随 x 的增大而增大；向下当 x 时,2ay随 x 的增大而减小图利用配方法将二次函数y ax2bxc 化为顶点式 y a（x h）2k，确定其开口方向、对称轴及顶点像坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：画顶点、与y轴的交点

3、 0, c、以及 0, c 关于对称轴对称的点2h, c、法与 x 轴的交点x1, 0 ，X2, 0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口万向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y轴的交点.解1. 一般式：y ax2bx c 2.2顶点式：y a(x h) k 3.两根式：y a(x xj(x X2)析式2.平移将抛物线解析式转化成顶点式y a x hk，确定其顶点坐标h , k ；在原有函数的基的 表础上“h值正右移，负左移；1k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减， 上加下减”示 及y ax2bx c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，2y

4、ax bxc变成图 像2y ax bx c m(或yax2bx c m)平移y ax2bx c沿轴平移： 向左（右）平移m个单位，y ax2bx c变成2y a(x m) b(x m) c(或ya(x m)2b(x m) c)二次函数 y = ax2及其图象一、填空题1 形如_的函数叫做二次函数，其中 _是目变量，a,b,c是_ 且_ 工 0.2函数y=x2的图象叫做 _ ，对称轴是 _ ，顶点是 _ .3._ 抛物线y=ax2的顶点是 _ ，对称轴是 _ .当a 0 时，抛物线的开口向 _ ;当av0 时，抛物线的开口向_ .4 .当a0 时，在抛物线y=ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而

5、_ ，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_ ;函数y当x=_时的值最_ .5.当av0 时，在抛物线y=ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_ ;函数y当x=_时的值最_ .6 .写出下歹可二次函数的a,b,c.(1) y.3x x2a=,b= ,c= .(2)y=2xa=,b=,c=.(3)y-x25x10a=,b=,c=2y126-xa=,b= ,c= .7 .抛物线32 ,y=ax, |a|越大则抛物线的开口就,|a|越小则抛物线的开口就8.二次函数y=ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.(1)y= 2x2如图()；(2)y丄x2如

6、图()；2(3)y= x2如图()；(4)y1x2如图();12(5)y一x 如图();9(6)y一x2如图()99.已知函数 y-x2,不画图象，回答下列各题.2(1) 开口方向 _;(2) 对称轴_;(3) 顶点坐标_;(4) 当x 0 时，y随x的增大而_;(5) 当 x_ 时，y= 0;(6) 当 x_时，函数y的最_ 值是_10.画出y= 2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值._ 2.一.211 .在下列函数中y= 2x;y= 2x+ 1;y=x；y=x,回答：(1) _ 的图象是直线， _ 的图象是抛物线.(2) 函数_y随着x的增大而增大.函数_y随着x的

7、增大而减小.(3) 函数_ 的图象关于y轴对称.函数_ 的图象关于原点对称.(4) 函数_ 有最大值为 _ .函数_ 有最小值为_.12. 已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数).(1) 若它是二次函数，则系数应满足条件 _ .(2) 若它是一次函数，则系数应满足条件 _ .(3) 若它是正比例函数，则系数应满足条件 _ .213._ 已知函数y= (mi 3m)xm 2m1的图象是抛物线，则函数的解析式为 _,抛物线的顶点坐标为_ ，对称轴方程为 _，开口 _.214 .已知函数y=mxm 2m 2+ ( m- 2)x.(1)若它是二次函数，则n=,函数的解析式是，其图象是-条，位

8、于第象限.(2)若它是一次函数，则m=,函数的解析式是，其图象是-条，位于第象限.215 .已知函数y=mxmm，则当m=时它的图象是抛物线：当m=时，抛物线的开口向上；当m=_时抛物线的开口向下.、选择题16.下列函数中属于一次函数的是()，属于反比例函数的是()，属于二次函数的是()A.y=x(x+ 1)B.xy= 1C. y= 2x2 2(x+ 1)2D .y , 3x212224217 .在二次函数y= 3X；y x ;y X中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表33示应该为()A.B.C.D.沁18 .对于抛物线y=ax2，下列说法中正确的是()A .a越大，抛物线开口越大B.

9、 a越小，抛物线开口越大C . | a 丨越大，抛物线开口越大D. | a 丨越小，抛物线开口越大19 .下列说法中错误的是()A.在函数y=x2中，当x= 0 时y有最大值 0B.在函数y= 2x2中，当x 0 时y随x的增大而增大C.抛物线y= 2x2,y= x2, y丄 x2中，抛物线y= 2x2的开口最小，抛物线y=x2的开口最2大D .不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点三、解答题220.函数y= (m- 3) xm 3m 2为二次函数.(1) 若其图象开口向上，求函数关系式；(2) 若当x0 时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象.221 .抛

10、物线y=ax与直线y= 2x 3 交于点A(1 ,b).(1) 求a，b的值；(2) 求抛物线y=ax2与直线y= 2 的两个交点B, C的坐标(B点在C点右侧);(3) 求厶OBC勺面积.22 .已知抛物线y=ax2经过点A(2 , 1).(1) 求这个函数的解析式;(2) 写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3) 求OAB勺面积；(4) 抛物线上是否存在点C,使厶ABC的面积等于厶OAB面积的一半，若存在，求出 若不存在，请说明理由.C点的坐标; C 点的坐标为(、6,|),( 6|),(2-),( 2,2).10.略.11.(1)、；、.(2)；.(3)、；.(4)，0;，0.1

11、2.(1)a0, (2)a= 0 且 0, (3)a=c= 0 且b 0.13.y= 4x； (0 , 0) ；x= 0;向上.14.(1)2 ；y= 2x;抛物线；一、二，(2)0 ；y=- 2x;直线；二、四.15. 2 或 1 ； 1 ； - 2.16.C、B A.17 . C.18 . D.19 . C.2 220. (1) m= 4,y=x； (2) m=- 1,y=- 4x.21. (1)a=- 1,b=- 1 ； (2)BC.2,2).C( . 2,2);(3)& OBC=2 2.6.(1)1, .3,0.,0, 0,11,5,10,1,0, 6.237.越小，越大.& (1)D

12、 , (2)C , (3)A,(4)B ,(5)F , (6)E9.(1)向下，(2)y轴.3(0 ,0).减小1.y=ax2+bx+c(a0) ,x，常数，a.3. (0 , 0),y轴，上，下.5.增大，减小，x= 0，大.(5) = 0(6) = 0，大，0.、2 .抛物线，y轴，(0 , 0).4.减小，增大，x= 0，小. C 点的坐标为(、6,|),( 6|),(2-),( 2,2).1222.(1)y -x；(2)B( -2, 1) ； (3)SAOA吐 2；41 11 1设C点的坐标为(m,-m2),则一4 |-m211 -2.则得 m4242.6 或 m , 2.二次函数 y

13、 = a(x h)2+ k 及其图象一、 填空题1.已知 0,(1) 抛物线y=ax2的顶点坐标为 _ ，对称轴为 _.(2) 抛物线y=ax2+c的顶点坐标为 _ ，对称轴为 _.(3) 抛物线y=a(xm)2的顶点坐标为 _ ，对称轴为 _ .122若函数y (m )x2m m 1是二次函数，则m=.223._ 抛物线y= 2x的顶点，坐标为_，对称轴是_.当x_时，y随x增大而减小；当x_时，y随x增大而增大；当x=_ 时，y有最_ 值是_ .4._抛物线y= 2x2的开口方向是 _ ,它的形状与y= 2x2的形状_ ,它的顶点坐标是 _,对称轴是_ .5 .抛物线y= 2x2+ 3 的

14、顶点坐标为 _ ，对称轴为 _.当x_时，y随x的增大而减小；当x=_时，y有最_值是_,它可以由抛物线y= 2x2向_ 平移_个单位得到.6 .抛物线y= 3(x 2)2的开口方向是 _，顶点坐标为 _，对称轴是 _ .当 x_时，y随x的增大而增大；当x=_ 时，y有最_值是_，它可以由抛物线y= 3x2向_平移_ 个单位得到.二、 选择题117 .要得到抛物线y (x 4)2，可将抛物线 y 丄 x2()33A 向上平移 4 个单位B. 向下平移 4 个单位C. 向右平移 4 个单位D. 向左平移 4 个单位&下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是()Ay= 2x2与y= 3x2

15、B . y x22 与 y 2x2122C. y= 2x2与y=x2+ 2D. y=x2与y=x2 2数 y 丄 x2的图象的关系.29.顶点为(一 5, 0)，且开口方向、形状与函数A y 如 5)2B.12C. y -(x 5)2D.3三、解答题110 .在同一坐标系中画出函数y1x23 y22，y1x2的图象相同的抛物线是()312y x 5312y (x 5)31X23 和 y31x2的图象，并说明y1,y2的图象与函2 211 .在同一坐标系中，画出函数yi= 2x2 3,y2= 2(x 2)2与y3= 2(x+ 2)2的图象，并说明y2,y3的图象与yi= 2x2的图象的关系.T

16、+填空题12._二次函数y=a(xh)2+k(a0)的顶点坐标是 _，对称轴是 _ ，当x=_ 时，y有最值_ ;当a 0 时，若x_时，y随x增大而减小.13. 填表.解析式开口方向顶点坐标对称轴y= (x 2)2 32y= (x+ 3) + 22_ ;当x_时，y随x增大而增大.1215._ 将抛物线 y -x 向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 _ .3选择题16.一抛物线和抛物线y= 2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(一 1, 3)，则该抛物线的解y4(x 5)252152y -(x -)1322y= 3(x 2)2y= 3x+ 24214.

17、抛物线 y_ -(x 3)21 有最_ 点，其坐标是 _ 当x=_时，y的最值是析式为()22A.y= 2(x 1) + 3B.y= 2(x+ 1) + 322C.y= (2x+ 1) + 3D.y= (2x 1) + 32 217.要得到y= 2(x+ 2) 3的图象，需将抛物线y= 2x作如下平移()A.向右平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向左平移解答题18.将下列函数配成y=a(xh)2+k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值.2y= 2x 5x+ 72 个单位,2 个单位,2 个单位,2 个单位,再向上平移再向下平移再向上平移再向下平移3 个单位3 个单位3 个单位3 个单位2y=

18、x+ 6x+ 10只2小y= 3x+ 2xy= 3x2+ 6x 22y= 100 5xy= (x2)(2x+ 1)19.把二次函数y=a(xh)2+k的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数12y (x 1)21 的图象.2(1) 试确定a,h,k的值；(2) 指出二次函数y=a(xh)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)(0 , 0) ,y轴； (0 ,c),y轴；(3)(m0)，直线x=mm=- 1(0 , 0),y轴，xw0,x0, 0，小,0.向下，相同，(0 , 0),y轴.(0 , 3),y轴，x2, 2,小，0,右，2.C.8 . D.9 . C.

19、图略，y1,y2的图象是 y lx2的图象分别向上和向下平移3 个单位.2.图略，y2,y3的图象是把y1的图象分别向右和向左平移2 个单位.(h,k)，直线x=h;h,k,xwh.开口方向顶点坐标对称轴2y= (x-2) -3向上(2 , - 3)直线x= 2y=- (x+ 3)2+ 2向下(-3, 2)直线x=- 3y(x 5)252向下(5, 5)直线x=- 5152y3(x21向上诗,1)5直线x=-2y= 3(x-2)2向上(2 , 0)直线x= 2c 2y=- 3x+ 2向下(0 , 2)直线x= 0高.(3，1)，3，大，-1,w-3y1212 _-(x 3) 2 - x 2x3

20、35.B.17 . D.(1)y= (x+ 3)2+ 1，顶点(3, 1)，直线x=- 3，最小值为 1.y 2(x )2-,顶点(,-),直线 x ,最大值为切484 848111111y 3(x)2,顶点(，),直线 x,最小值为333333y=- 3(x- 1) + 1，顶点(1 , 1)，直线x= 1,最大值为 1 .y= 5X2+100,顶点(0 , 100)，直线x= 0，最大值为 100 .y 2(x3)2哲,顶点(3,2),直线 x最小值为空4848481(1)a ,h 1,k5;2开口向上，直线 x = 1,顶点坐标(1 , - 5).1.2.3.4.5.6.7.101112

21、131415161819二次函数 y= ax2+ bx + c 及其图象一、填空题1.把二次函数y=ax2+bx+c(a* 0)配方成y=a(xh)2+k形式为_,顶点坐标是 _ ,对称轴是直线 _ .当x=_时，y最值=_;当av0 时，x_时，y随x增大而减小；x_时，y随x增大而增大.2 .抛物线y= 2x2 3x 5 的顶点坐标为 _ .当x=_时，y有最_ 值是_，与x轴的交点是 _ ，与y轴的交点是 _ ，当x_时，y随x增大而减小，当x_时，y随x增大而增大.23 .抛物线y= 3 2xx的顶点坐标是 _，它与x轴的交点坐标是 _，与y轴的交点坐标是4 .把二次函数y=x2 4x

22、+ 5 配方成y=a(xh)2+k的形式，得 _，这个函数的图象有最 _点，这个点的坐标为_.5._已知二次函数y=x2+ 4x 3,当x=_时，函数y有最值_，当x_时，函数y随x的增大而增大，当x=_时，y= 0.6. 抛物线y=ax2+bx+c与y= 3 2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a=_ .7 .抛物线y= 2x2先向_ 平移_ 个单位就得到抛物线y= 2(x 3)2，再向_ 平移_个单位就得到抛物线y= 2(x 3)2+ 4.、选择题2d8 .下列函数中y= 3x+ 1;y= 4x 3x;y 二x三、解答题_ _ 212.已知二次函数y= 2x+ 4x 6.(1) 将其化成

23、y=a(xh)2+k的形式；(2) 写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3) 求图象与两坐标轴的交点坐标；(4) 画出函数图象；(5) 说明其图象与抛物线y=x2的关系；(6) 当x取何值时，y随x增大而减小；(7) 当x取何值时，y 0,y= 0,yv0；x2;y= 5 2x2，是二次函数的有()A.B.C.D.9. 抛物线y=2()3x 4 的开口万向和顶点坐标分别是A.向下，(0 , 4)B.向下， (0,C.向上，(0 , 4)D.向上，(0,10 .抛物线y12x2x的顶点坐标是(2)A- (1, 2)B. (1,2)C.1G1)11.二次函数2y=ax+x+1 的图象必过点()A

24、. (0 ,a)B.(1,a)C.(1,a)D.(0，-a)D. (1 , 0)4)4)(8) 当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？(9) 当y取何值时，一 4vxv0；(10) 求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.填空题_ 213 .已知抛物线y=ax+bx+c(a 0).若抛物线的顶点是原点，贝U _;(2) 若抛物线经过原点，则 _ ;(3) 若抛物线的顶点在y轴上，则 _(4) 若抛物线的顶点在x轴上，则 _14._抛物线y=ax2+bx必过点.15._ 若二次函数y=mx 3x+ 2m- m的图象经过原点，贝U m=_，这个函数的解析式是216. 若抛物线y=x 4x+

25、c的顶点在x轴上，则c的值是_ .17._若二次函数y=ax2+ 4x+a的最大值是 3,贝U a =_.18. 函数y=x2 4x+ 3 的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为 方单位.19._抛物线y=ax2+bx(a 0,b 0)的图象经过第_象限.选择题_ 220 .函数y=x+mx-2(mx0)的图象是()抛物线y=ax2+bx+c(a*0)的图象如下图所示，那么()A.ax0,b0,c0B.ax0,bx0,c0C.ax0,b0,cx0D.a0,c0,b24acx0B.a0,cx0,b24ac0C.ax0,c0,b24acx0D.ax0,cx0,b24ac02 .

26、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如下图所示，则23.()A.b0,c0,= 0B.bv0,c0,=0C.bv0,cv0,=0D.b0,c0, 024.二次函数y=mX+ 2mx-(3 n)的图象如下图所示，那么m的取值范围是()11I11-0AA. m0/ i B.m 3C.nv0D. 0 vnv 3_ 225.在同一坐标系内，函数y=kx和y=kx 2（k丰0）的图象大致如图（）解答题_ 227.已知抛物线y=x 3kx+ 2k+ 4.（1）k为何值时，抛物线关于y轴对称;（2）k为何值时，抛物线经过原点.28 画出1232x x2 的图象，并求:26.函数y1ax2b, y2辿（abv

27、0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是(1) 顶点坐标与对称轴方程；(2)x取何值时，y随x增大而减小？x取何值时，y随x增大而增大？(3) 当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少x取何值时，y0,yv0,y= 0?(5)当y取何值时，一 2y2:yi=y2；yivy2.30.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分；图象过点A( 3, 0)，对称轴为x= I，给出四个结论：b24ac;2a+b= 0:ab+c=0;5avb.其中正确的是 _.(填序号)2 24ac b(b 4ac b)4a, (2a，4a)b2a,xb 4ac b2Vb2a,xb2a, 4a ,2a49

28、53,(；,0)、( 1,0),(0, 5),x -,x824(-1, 4) , ( 3, 0)、(1 , 0) , (0 , 3).y= (x-2)2+ 1,低，(2 , 1).2, 7,X一 2, x 2.7. 2. 7 .右，3, 上, 4.D.9 . B. 10 . B. 11 . C.(1)y= 2(x+ 1)2 8；(2) 开口向上，直线x= 1，顶点(一 1 , 8);与x轴交点(一 3, 0)(1 , 0)，与y轴交点(0， 6)；图略；(5)将抛物线y=x2向左平移 1 个单位，向下平移 8 个单位；得到y= 2x2+ 4xx 1 时，y 0;当x= 3 或x= 1 时，y=

29、 0; 当一 3vxv1 时，yv0 ；(8)x= 1 时，y最小值=8;(9)81,xv1;x=1,y最大=2;4一 1vxv3 时，y0；xv 1 或x3 时yv0；x= 1 或x= 3 时，y= 0;55y 2.22(1)y1= x+ 2x+ 3,y2= 3x+ 1.(2) 当一 2vxv1 时,y1y2.2当x= 2 或x= 1 时，y1=y2.y a(x 2l)22a6 的图象;3当xv 2 或x 1 时yy y2.1.2.3.4.5.6.&12.13.14.17.20.27.28.29.30.A. y=3(x 1)2 2 B2y=3(x 1)+ 22C. y=3(x 1) 2 D2

30、y= 3(x 1) 2二次函数的图像和性质习题精选C.两条抛物线各自关于y轴对称 D .两条抛物线没有公共点6._ 抛物线 y= bx2+ 3 的对称轴是，顶点是。127._ 抛物线 y= (x 2) 4 的开口向，顶点坐标_ ，对称轴_ , x时，y 随 x 的增大而增大，x_ 时，y 随 x 的增大而减小。&抛物线y 2(x 1)23的顶点坐标是()A. (1, 3) B . (1, 3) C . (1 ,3)(1 ,2),且通过(1 , 10),则这条抛物线的表达式为小。1二次函数y ax2的图像开口向图像有最.占.八、5,对称轴是.时，y 随 x 的增大而增大，x， 顶点坐标是.时，y

31、 随 x 的增大而减2.12关于y3x，x2,y 3x2的图像，下列说法中不正确的是(A. 顶点相同.对称轴相同C .图像形状相同D .最低点相同3.两条抛物线x2与yx2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是(A. 顶点相同.对称轴相同C .开口方向相反D .都有最小值4. 在抛物线y2X上，当yV0 时，x 的取值范围应为(A.x 0对于抛物线yx2与y2x下列命题中错误的是(A.两条抛物线关于 x 轴对称B.两条抛物线关于原点对称D . (1,3)9.已知抛物线的顶点为210 二次函数y ax2的图像向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得新函数表达 式为()22A.y=a(x 2)+ 3B y=a(x2)- 322c.y=a(x 2)+ 3D. y=a(x2)- 311. 抛物线y x24x 4的顶点坐标是()A.