第1章概率论的基本概念

1、第一章 概率论的基本概念教学内容：1. 随机试验2. 样本空间、随机事件3. 频率与概率4. 等可能概率（古典概率）5. 条件概率6. 独立性教学目标：1. 了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算；2. 了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算；3. 理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵；4. 理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概率计算.教学重点： 事件之间的关系与运算、古典概率、几何概

2、率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。教学手段：多媒体+板书。课时安排： 10课时。教学过程：§1.1 随机实验 一、概率论的诞生及应用 1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢局便算赢家,若在一赌徒胜局(), 另一赌徒胜局()时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问 题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望. 概率论是数学的一个分支，它研究随

3、机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 二、随机现象 1.确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。 2.统计规律性 在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。 3.随机现象 这种在个别试验中其结果呈现出不确

4、定性，在大量重复试验中其结果有具有统计规律性的现象称为随机现象。 简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等 注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用函数加以描述； 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性 ,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 3.随机现象是通过随机试验来研究的. 三、随机试验 定义：在概率论中, 把

5、具有以下三个特征的试验称为随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行;2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 如;“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”,分析：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行; (2)试验的所有可能结果:字面、花面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验. §1.2 样本空间、随机事件 一、样本空间 样本点 定义 随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间, 记为S .样本空间的元素, 即试验E 的每一个结果,称为样本点. 如：（1）抛掷一

6、枚骰子, 观察出现的点数. （2）从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况. 则 说明：（1）试验不同,对应的样本空间也不同. （2）同一试验,若试验目的不同,则对应的样本 （3）在具体问题的研究中, 描述随机现象的第一步就是建立样本空间. 二、随机事件的概念 1. 基本概念 一般地，随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件,简称事件。 每次实验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生. 特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次实验中它总是发生的,S称为必然事件. 空集不包含任何点，它也作为样

7、本空间的子集,它在每次实验中都不发生，称为不可能事件。 注：必然事件的对立面是不可能事件，不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件. 实例：抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 骰子“出现1点”, “出现2点”, , “出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. “出现1点”, “出现2点”, , “出现6点”等都是基本事件. “点数不大于6” 就是必然事件. “点数大于6” 就是不可能事件. 2. 几点说明 （1）随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A,B,C,来表示事件. 例如：抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数

8、”等等. (2)随机试验、样本空间与随机事件的关系：每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件. 三、随机事件间的关系及运算 设试验的样本空间为,而是的子集，1.若,则称事件包含事件，则称事件发生必然导致事件发生。 例：“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格” 若,且，则称事件与事件相等。 2.事件称为事件与事件的和事件。当且仅当，中至少一个发生时，事件发生。 推广 称的和事件， 3.事件称为事件与事件积和事件。当且仅当，同时发生时，事件发生。也记作。 类似地, 件， 4.事件称为事件与事件积差事件。当且仅当发生，不发生时，事件发生。5.若

9、称为事件与事件是互不相容或互斥的，注：基本事件是两两互不相容的. 6.若称为事件与事件互为逆事件，又称事件与事件互为对立事件，这指的是对每次试验而言，事件， 中必有一个发生，且仅有一个发生。事件间的运算规律 ： 则有：(1)交换律: , (2)结合律 : , (3)分配律 (4)德.摩根律 .例1 ,例2 如图所示的电路, 将电器接点I,闭合, 又可得 §1.3 频率与概率一、频率的定义与性质1.频率的定义 定义 在相同条件下，进行了次试验，在这次试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数. 比值称为事件发生的频率，记作 。 2.频率的性质 设是随机试验的任一事件,则 （1）（2）（3

10、）若是两两互不相容的事件，则注：事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度. 频率大, 事件发生就越频繁, 这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大. 反之亦然. 例1 考虑“抛硬币”这个试验, 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次, 各做10遍,得到数据如下:（表见教材第6也表1-1）。 从上述数据可得: (1)频率有随机波动性, 即对于同样的, 所得的不一定相同; (2) 抛硬币次数较小时，随机波动,其幅度较大,但随着增大，频率呈现出稳定性，即当逐渐增大时，总在0.5附近摆动，而逐渐稳定与0.5.大量试验证实,当重复试验的次数逐渐增大时, 频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数. 这种“频率稳定

11、性”即通常所说的统计规律性，让试验重复大量次数, 计算频率以它来表征事件发生的大小是合适的。 为了理论研究需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发, 给出如下表征事件发生大小的概率的定义. 二、概率的定义与性质 1.概率的定义 定义 设是随机试验，是它的样本空间，对于的每一事件赋予一个实数，记为 ，称为事件的概率，如果集合满足条件， ；有2.概率的性质 是两两互不相容事件,则有 设是两个事件，若，则有 对于任意事件， 对于任意事件，对于任意两个事件，此性质可以推广到多个事件的情况. 设为任意三个事件，则有 例3 ，求在下列三种情况下的值。(1)(2)(3).§1.4 等可能概型(

12、古典概型) 一、古典概型的定义 定义 设是随机试验，若满足下列条件：（1）试验的样本空间只包含有限个元素; （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称为等可能概型。等可能概型的试验大量存在,它在概率论发展初期是主要研究对象,所以也称为古典概型。 二、古典概型的计算公式 定理 则有该式称为等可能概型中事件概率的计算公式. 三、典型例题 例1 将一枚硬币抛掷三次. （1），；（2）注：当样本空间中的元素较多时, 一般不再将元素一一列出, 只需分别列出和中元素的个数，在用计算公式即可求得相应的概率. 例2 一只口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球. 从袋中取球两次,每次随机地取一只, 考虑两

13、种取球方式:（a）第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回抽样. （b）第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球,这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求 (1) 取到的两只球都是白球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率. 例3 将只球随机的放入个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）。 注：许多问题和本例有相同数学模型，如生日问题。试求64 个人的班级里，生日各不相同的概率为多少？ 例4 设有件产品，其中有件次品，今从中任取件，问其中恰有件次品的概率是多少？ 解

14、 在件产品中任取件，所有可能的取法共有种，在件次品中任取件，所以可能的取法有，由乘法原理知 在件产品中任取件，问其中恰有件次品的取法共有所求概率为 上式称为超几何分布的概率公式。例5 袋中有只白球，只红球，个人依次在袋中取一只球，(1) 作放回抽样; (2) 作不放回抽样, 。例6 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少? 例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去, 这15名新生中有3名是优秀生.问(1) 每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3名优秀生分配在同一班级的概率是多少? 例8 某接待站在某一周曾接待过12次来访

15、, 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的, 问是否可以推断接待时间是有规定的? 人们在长期实践中总结得到“概率很小的事在一次试验中实际上几乎是不发生的”, 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了, 因此有理由怀疑假设的正确性, 从而推断接待站不是每天都接待来访者, 即认为其接待时间是有规定的. §1.5 条件概率一、条件概率例1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况. 分析 ，次掷出同一面” ，则。将事件已经发生的条件下事件发生的概率记为则。1. 定义 称为事件发生的条件下事件发生的条件概率。同理可得为事件发生的条件下事件发生的条件概率. 2. 性质 （1）非负性: 对

16、于每一事件，有 （2）规范性: 对于必然事件，有 （3）可列可加性:设是两两互不相容事件，则有.例2 一个盒子装有4只产品,其中有3只一等品, 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样.设事件为“第一次取到的是一等品”， 试求条件概率 二、乘法定理 乘法定理 则有 推广 且,则有 一般, （）个事件，且则有例3 设袋中装有只红球，只白球，每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回,并再放入 只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率. 解 以表示事件“第次取到红球”，则表示第三、第四次取到白球，所求概率为 注：此模型被

17、波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打打破的概率. 三、全概率公式与贝叶斯公式 1. 样本空间的划分 定义 设为试验的样本空间，为的一组事件，若 则称为样本空间的一个划分。 2.全概率公式 定理 设试验的样本空间为，为的事件，为样本空间的一个划分，且，则上式称为全概率公式. 注：全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结

18、果. 例5 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 3. 贝叶斯公式 定理 设试验的样本空间为，为的事件，为样本空间的一个划分，且,，则 ()此式称为贝叶斯公式. 例6 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的, 且无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率; (2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂, 需求

19、出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率. 例7 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率是多少? 注：先验概率与后验概率 上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率. 例8 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下效果: 若以表示“试验反应为良性”，以表示“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 也就是 ，试求 . §1.5 独立性一、事件的相互独立性 1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取一个，又放回地取两次，记=“第一次抽取，取到绿球”，=“第二次抽取，取到绿球”，则有它表示的发生并不影响发生的可能性的大小，而等价于。2.定义 设是两事件，如果满足等式,则称事件相互独立，简称独立。注：（1）事件与事件相互独立,是指事件的发生与事件发生的概率无关.（2）容易知道, 若，则相互独立与互不相容不能同时成立。 定理1 设，是两事件，