2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷(含答案解析)

1、2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷姓名：得分：日期:一、选择题（本大题共8小题，共40分）_历 _一 .一一.?、？一 ？卜_ -?1、（5分）如果ab0, a+b-2的解集为 11、（5 分）因式分解：x3-6x2+11x-6=12、（5分）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为 内相交”.如果。0 1、。02半径分别3和1,且两圆 内相交”，那么两圆的圆心距d的 取值范围是-13、（5分）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图 二）.已知/MPN=90, PM=3 , PN=4,那么矩形纸片ABCD的

2、面积为-11 .14、（5分）如图，抛物线y= -x2-x-6父x轴于A、C两点，父y轴于点B;将抛物线y=-x2-x-6 33向上平移三个单位长度、再向左平移 m （m0）个单位长度，得到新抛物线；若新抛物线的顶点P在4ABC内，则m的取值范围是 三、解答题（本大题共3小题，共40分）15、（12分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点.当 n=1时，如图 （1）, 一条直线将一个平面分成两个部分；当 n=2时，如图（2）,两条直线将一个平面分成四个部分；则：当n=3时，三条直线将一个平面分成部分；当n=4时，四条直线将一个平面分成部分；若n条直线将一个平面分成an个部分，

3、n+1条直线将一个平面分成an+11 , 一 、一，16、(14分)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=4x2+bx+c与x轴父于点A、B (点A在点B右侧)，与y轴交于点C (0,-3)，且OA=2OC.(1)求这条抛物线的表达式及顶点 M的坐标；(2)求 tan/MAC的值；(3)如果点D在这条抛物线的对称轴上，且/CAD=45,求点D的坐标.17、(14 分)如图，ABCt, AC=16, / BAC=60； AB=l0 , OP 分别与边 AB、AC 相切于 D、E (切点D、E不在边AB、AC的端点)，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.(1)求BC边的长和 ABC的面积

4、；(2)设AE=x, DF=y,写出y与x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；(3)探索4ADC与4DBF能否相似？若能相似，请求出 x的值，同时判断此时OP与边BC的位 置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由.2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷【第1题】【解析】a+b 0, .,.a0, b0 工3， ? -?r? a/?fb用?？W-b，正确，故选：C.直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键.【第2题】【答案】C【解析】解：结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C,

5、D,再根据三角形的位置，即可得出答案，故选：C.通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发, 然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形.此题主要考查了展开图与折叠成几何体的性质，从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能 否折叠成给定的立体图形是解题关键.【第3题】【答案】C【解析】解：根据题意得：7x+9y&40, 40-9?WJ x0且y是正整数，.y的值可以是：1或2或3或4.当y=1时，x31-,则x=4 ,此时，所剩的废料是：40-1 X 9-4 x 7=3cmi;当y=2时，x22-,则x=3 ,此时，所剩的废料是：40-2 X

6、 9-3 X7=1cm；.13当y=3时，xy,贝U x=1 ,此时，所剩的废料是：40-3 x 9-7=6cm ;当y=4时，x7,则x=0 （舍去）.则最小的是：x=3 , y=2 .故选：C.根据金属棒的长度是40cm,则可以得到7x+9y 解得m=3 .故选：A.由于方程有两个不相等的实数根可得 0,由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关 i i系和?+?=-1 ,可以求出m的值，取后求出符合题息的 m值.1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力.一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 0?方程有两个不相等的实数根；(2) A=0?方程有两个相等的

7、实数根；(3) 0?方程没有实数根.?_?2、一兀一次方程ax2+bx+c=0 (awO)的根与系数的关系为：X1+X2=-j? x1?x2=?.【第8题】【答案】D【解析】解：如图连接 AC, AD,分别交OB于G、P,作B。OA于K.四边形OABC是菱形，_AC OBGC=AG, OG=BG=2v5, A、 C 关于直线 OB 对称, PC+PD=PA+PD=DA,此时 PC+PD 最短,在 RTAOG中，AG=? ?笆2- （2防）2二防，AC=2/5, iv OA?BK=?AC?OBBK=4 AK= V? ?=3 ,点B坐标（8, 4）,.直线OB解析式为y=；x,直线AD解析式为y=

8、-1x+1 , 25?= 1?= ?由12解得7，?= !?+ 1?= 5 , , _57.,105.点P坐标（了，,）.故选：D.如图连接AC, AD,分别交OB于G、P,作BKLOA于K.首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA,列方程组即可解决问题.本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型.【第9题】【答案】49【解析】解：.在这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：线段、菱形、正六边形、圆共4个， 一,.一一， 一一，.一一，一 、一49张卡片上的图形既

9、是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是-；故答案为：9先判断出既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可. 本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件A的概率P （A） =?.【第10题】【答案】2Vx0,-13 -则该直线方程为y=- 3x+ 3,.不等式；？?kx+b -2 变为；?-1x+5-2, 2233解得 2Vx11 ,故答案为：2Vx11.利用待定系数法求得一次函数解析式，进而得到不等式，再解不等式即可.k、b的此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次

10、函数与不等式，关键是计算出 化【第11题】【答案】(x-3) (x-2) (x-1)【解析】解：x3-6x2+11x-6=x 3-6x2+9x+2x-6=x (x2-6x+9 ) +2 (x-3)=x (x-3) 2+2 (x-3)=(x-3) x (x-3) +2=(x-3) (x2-3x+2)=(x-3) (x-2) (x-1).故答案为：(x-3) (x-2) (x-1).首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案.此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键.【第12题】【答案】2Vd3【解析】解：。01、002半径分别3和1 ,.当两圆相交时，2Vd

11、4,.其中一个圆的圆心在另一圆的圆内， .2 d3,故答案为：2Vd3.读懂内相交”的定义，然后结合两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径的大小关系求解. 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是弄懂内相交的定义，难度不大.【第13题】【答案】144可【解析】解：由勾股定理得，MN=5 ,设RtzXPMN的斜边上的高为h,由矩形的宽AB也为h,根据直角三角形的面积公式得，h=PM?P NMN= 12， 5由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12 ,.矩形的面积=AB?BC=?. 5利用折叠的性质和勾股定理可知.本题利用了：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后

12、图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解.【第14题】【答案】0m4【解析】解：y=1x2-x-6=1 (x-|) 2-真3I 24由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=； (x-|+m ) 29+3=:(x-|+m)2j ,I 24432I它的顶点坐标P: (-m, -1)；r1 一由 y二|X2-x-6 可得：A (-3, 0) , C (6, 0) , B (0,-6).设直线AB的解析式为y=kx-6 (kO),把x=-3 , y=0代入，得-3k-6=0 , b=-2 ,. . y=2x-6 .同理直线BC: y=x-6 ;当点P在

13、直线AB上时，-2(3-m) -6=-1 ,解得：m=4 ;当点P在直线BC上时，(2-m) -6=-1 ,解得：m=-2；.当点 P 在AB6J时，-|m4;,符合条件的m的取值范围：0m4.故答案是：0 m 0,点A在点B右侧，抛物线与y轴父点C (0,-3).A (6, 0). i0=4 X36+6b-3 ,b=1 .y=x2-x-3, 1， i y=4-(x-2) 2-4,.M (2, -4).答：抛物线的解析式为y= 4-x2-x-3 , M的坐标为(2, -4);一(2)如图1,过点M作MKx轴，垂足为点H,交AC于点N,过点N作NHAM于点E,垂 足为点E.丁 / AHM之 NE

14、M=90在RtzXAHM中，HM=AH=4 ,由勾股定理，得AM=4 伉丁 / AMH之 HAM=45设直线AC的解析式为y=kx+b ,由题意，得0 = 6?+ ?-3 = ?解得：?= 2, ?= -3.直线AC的表达式为y= 1x-3 .当 x=2 时，y=-2 , .N (2, -2).MN=2 . / NEM=9Q / NME=45,丁. / MNE=Z NME=45 . NE=ME .在 RtMNE中，NE+ME2=NM2,ME=NE=v2.AE=AMME=3v2在 RtAEN 中，tan/MAC=?=二=1. ?33答：tan/MAC=1; 3(3)如图2,当D点在AC上方时，/

15、 CAD/ D 1AH+/ HAC=45 ,且 / HAM之 HAC+/ CAM=45, /1AH=/ CAM, ， 一 1 .tan /AH=tan / MAC=j.点Di在抛物线的对称轴直线x=2上，.-.DiH AHAH=4.在 RtAAHD 中，_一14Di H=AH?tan ZDiAH=4X-=-.3 3一 4、Di (2, 3);当D点在AC下方时，. /2AC=/ D2AM+Z MAC=45 ,且 / AMH之 D2AM+Z AD2M=45 , / MAC之 AD.1 tan / 2HD=tan / MAC=.在 RtzXD2AH 中，D2H=?= 4-1= 12. ? &?；?

16、3.E2 (2, -12).综上所述：Di (2, ；) ; D2 (2, -12). 3【解析】(1)根据与y轴的交点C的坐标(0,-3)就可以求出OC的值及c的值，进而求出OA的值及 A的坐标，由待定系数法就可以求出 b的值而求出解析式及定点坐标；(2)如图1,过点M作MHLx轴，垂足为点H,交AC于点N,过点N作NEL AM于点E,垂 足为点E.在RtAHM中，HM=AH=4 ,就可以求出AM的值，再由待定系数法求出直线 AC的 解析式，就可以求出点 N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出 ME及NE的值, 从而求出AE的值就可以得出结论；(3)如图2,分类讨论，当D点在AC上

17、方时，根据角之间的关系就可以求出 /DiAHW CAM, 当D点在AC下方时，/MAC =AD2M就可以求出点D的坐标.本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点 式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键， 灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点.【第17题】【答案】 解：(1)如图1 ,过点B作BGL AC,交AC于点G.在 RtzABG中，/ BAC=60 ,AG=5 BG=5v3AB=l0 , . CG=A0G=16-5=11 ,在 RtzXBGC,由可得 BC=14,S AB=2AC?BG=；X 16

18、 X每40司；A EC(2)如图2,过E作EH/ A皎BC于H,图2.OP分别与边AB、AC相切于D、E,AE=DEDB=10-x , CE=16-x ,又/BAC=60,可设 AE=AD=DE=x ,在 ABC中，EH/ AB?日？16-?=即=,? 1016 5得 EH=- (16-x),8在4FEH中，EH/ DB? ? =.? ? _10-?+?= 8(16-?) 5整理得 y=-8X+ 80 (0x10)(3)假如4ADC与4DBF相似, / DBF/ DCA 又 / DAC=/ BDF=60 只能 / DBFW / ADC / BFDf / AC此对应角, .? ：=.?即_?L=0 io-?解得 xi=10 (舍去)，X2=6 ,当x=6时，OP与边BC相切.证明：当x=6时，求得CDP的半径r=2西，过P作PQL BC,垂足为Q,连接PA、PB、PC,EC图3有 $ AB(=S APAB+S APAC+S APBC11-1_即 40资=2X10 X2v3+ 2 X16 X2v3+ 2 X14 x?解得，PQ-2芯=OP与边BC相切.【解析】(1)过B作BG