2020年中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》(含答案)

1、备战2020中考数学三轮复习专项练习：相似综合1 .如图，在 ABC中，AGL BC,垂足为点 G点E为边AC上一点，BE= CE点D为边BC上一点，GD= GB连接 AD BE于点F.(1)求证：/ ABE= / EAF(2)求证：Ag=EF?EC;(3)若 CG= 2AG AD= 2AF, BC= 5,求 AE的长.2 .在ABC4点D在边BC上，点E在线段AD上.(1)若/ BAC= / BED= 2/ CED=,BE若“ =90。，AB= AC,过C作CFL AD点F,求瞿的值；|Cr若BD= 3CD求坐的值；DE(2) AD为 ABC勺角平分线，AE= ED= 2, AC= 5, t

2、an / BED= 2,直接写出 BE的长度.,求普的值;3 .已知？EFGH勺顶点E、皿另J在？ABCD勺边AD BC±,顶点F、H在？ABCD勺对角线BD上.(1)如图1,求证：BF= DH(2)如图 2,若/ HEF= /A= 90。，票券=4BC EF 2(3 )如图 1 ,当/ HEF= Z A= 120 ° ,空理_二BC EF4 .如图，BM DN分别平分正方形 ABCD勺两个外角，且/ MAN= 45° ,连接 MN(1)猜想以线段BM DN MNK/三边组成的三角形的形状，并证明你的结论;(2)若AMN等腰直角三角形，探究线段 BM DN之间的数

3、量关系;(3)当MIN/ AD时，直接写出 兽的值.DN5 .如图，锐角 ABC, BC= 12, BC边上白高 AD= 8,矩形EFGH勺边GHB BC止，其余两点E、F分别在 AB AC上，且EF交AD于点K(1)求普的值； EF(2)设EH= x,矩形EFGH勺面积为S.求S与x的函数关系式；请直接写出S的最大值为B6.如图1, 4ABC中，BQ CE是 ABC的高.(1)求证： ABDh ACE(2) ADEJ<ABCt目似吗？为什么？(3)如图 2,设 cosZ ABD=, DE= 12, 3DE的中点为F, BC的中点为M,连接FM求FM的长.Mi7 .如图，在 ABC中，A

4、DL BG 垂足为 D, BE!AC 垂足为 E, AD与BE相交于点F,连接ED(1)求证： AEM BDF(2)若 AE= 4, BD- 8, EF+DF= 9,求 DE的长.A8 .如图，在矩形ABCD,AB= 4,BC= 3,点P,Q在对角线BD上，且BQ=宁BR过点 P作PHHLAB于点H,连接HQ以PH HM邻边作平彳T四边形 PHQG设BQ= m(1)若mr 2时，求此时PH的长.(2)若点C, G H在同一直线上时，求此时的 m值.(3)若经过点G的直线将矩形ABCD勺面积平分，同时该直线将平行四边形 PHQGJ面积分成1: 3的两部分，求此时 m的值.9.如图，四边形 ABC

5、O矩形.(1)如图1, E、F分别是ADCD±的点，BF! CE垂足为G,连接AG求证:CEBF "BC若G为CE的中点，求证：sin ZAGB=CEBF(2)如图2,将矩形ABCD& MN叠，点A落在点R处，点BS交MNF点Q是RS的中点.若AB= 2, BC= 3,直接写出B落在CD边的点S处，连接P&PQ的最小值为10.已知：如图，在平行四边形 ABCD,对角线 AC与BD交于点O,点E是DB延长线上的一点，且EA= EC分别延长 AD EC交于点F.(1)求证：四边形 ABCD；菱形；(2)如果/ AEC= 2/BAC 求证：EC?CF= AF?AD

6、11. “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离.聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点 M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点 N处时，刚好看到大树的顶端(点 F, M D N, B在同一条直线上).若测得 F阵1.5米，DN= 1.1米，测量者眼睛到地面的距离 为1.6米，求大树AB的高度.12 .矩形ABCD3, AD= 9, AB= 12,点E在对角线BD上(不与B、D重合)，EF±AE交CD于F点，连接AF交BD于G点.(1)

7、如图1,当G为DE中点时.求证：FD= FE求BE的长.(2)如图2,若E为BD上任意点，求证： AG=BGGE13 .已知 ABC中，Z ABC= 90° ,点D E分别在边BG边AC匕连接 DE DR DE点F、点C在直线DE同侧，连接FC,且组=迈=匕 BC DF(1)点D与点B重合时，如图1, k=1时，AE和FC的数量关系是 ,位置关系是 如图2, k=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；如图4, k=2时，点M N分别为EF和AC的中点，若AB= 10,直接写出(2) B> 2CDM,如图3, k=1时，若 AE= 2, SacdL 6,求FC的长度；MN的最小

8、值.14 .如图1, ABC勺两条中线 BD CE交于点F.(1)DFBFEF=正,求DE的长;(2)如图2,若B=EF?EC且匹=二,DF 2CE(3)如图3,已知BC= 4, / BAC= 60。，当点A在直线BC的上方运动时，直接写出的最大值.15 .教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容.已知：如图，DE/ BC并分别交 AB AC于点H E.求证： AD& AABC请根据教材提示，结合图，运用相似三角形的定义，写出完整的证明过程.证明：过点D作AC的平行线交BCT点F.结论应用：如图， ABC中，AB= 10, AC= 7, AD平分/ BAC AE是BC

9、边上的中线，过 点C作CGh AD AD于F,交AB于G 连接EF,则线段 EF的长为.16 .如图1所示，矩形 ABCDh点E, F分别为边AB AD的中点，将 AEF绕点A逆时针 旋转“(0° v a w 360° ),直线 BE DF相交于点P.(1)若AB= AD将 AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段 BE与DF的位置关系是(2)若AD= nAB(nwl)将 AEF绕点A逆时针旋转，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由.17 .如图1,矩形ABC珅，AB= 8, BC= 6,点E, F分

10、别为AB, ADi上任意一点，现将AEF沿直线EF对折，点A对应点为点 G(1)如图2,当EF/ BD且点G落在对角线BD上时，求DG的长；(2)如图3,连接DG当EF/ BD且 DF型直角三角形时，求 AE的值；(3)当AE= 2AF时，FG的延长线交 BC曲边于点H,是否存在一点 H,使彳导以E, H, G为顶点的三角形与 AE刖似，若存在，请求出 AE的值；若不存在，请说明理由18.如果三角形的两个内角3= 90° ,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.(1)若ABC “准互余三角形"，/ A>90° , Z B= 20° ,求/ C的

11、度数;(2)如图，在RtAABC, /BAG= 90° , AB= 4, BC= 5,点D是BC延长线上一点. 若 ABD “准互余三角形”，求 CD勺长;(3)如图，在四边形 ABC由，AC BD是对角线，AC= 4, CD= 5, Z BAC= 90° , / ACD=2/ABC且 BCD “准互余三角形”，求 BD的长.图图参考答案1. ( 1)证明：.EB= EC .Z EBC= / C,- AGL BQ BG= GD.AB= AD ./ ABD= / ADB. / ABD= / ABE/ EBC / ADB= / DACZ C,/ ABE= / DAC即/ ABE

12、= / EAF(2)证明：/ AE曰 /BEA / EA鼻 Z ABE， AEH BEA,AE=IEF 丽=正.A己 EF?EB.EB=EC .A= EF?EC(3)解：设BE交AG于J,连接DJ, DE AG直平分线段 BD . JB= JD, ./ JBD= / JDG. / JBD= / C, ./ JDB= / C,DJ/ AC .Z AEF= / DJE. AF= DF, / AFE= / DFJ .AF博4DFJ (AAS ,. EF= FJ, AE= DJ,. AF= DF,，四边形AJD比平行四边形，DE/ AG. AGLBCe DDL BC.EB= EC加DBG= DG=上，

13、41an /JDG= tan / 8 爵/墙'“二 . / JGD= 90 ,.DhTWp将平2.解：（1）.一/ BAC= / BED= 2/CED= a , 当a = 90° , AB= AC时，ABCW CEFtB是等腰直角三角形, ./ BAEV FAC= 90 , Z ACF+Z FAC= 90° ,/ BAE= / AFC.A ABE与 CAF中，rZBEA=ZF=90Q4 ZBAE=ZACF ,I AB=CA. .AB降 CAF（AAS ,.AE= CF= EF,BE= AF= 2EF= 2CF,BE如图，过点 C作CF/ BE交AD的延长线于点 F,

14、在AD上取一点G,使得CG= CF, / BAC= / BED= 2ZCED= « ,/ ABE= / CAG Z F=Z BED= a =Z CGF- ./ AEB= / AGC. AB巨 CAG,AE = BE- CG AG . CF/ BE,BEDo CFD.BE BD .- CF - CD - 3,设 CF= x, BE= 3x, AE= y,则 CG= EG= x,x m父,义x+y，解得：f=士匡_, x 2,AE_kM321l丽=(2)如图，过点C作CF/ AD交BA的延长线于F,延长BE交CF与G,则/ BAD= / F, / DAC= / ACF又 AD为 ABCW

15、角平分线，即/ BAD= / DAC:'乙 ACF= / F,，AF= AC= 5,又 AE= EDFG= CG. AGL CF,/ CAG= / FAG. .ADL AG1 . tan / BED= 2,2 .tan ZAEG= 2,3 .AE= ED= 2,2"AE '4 . AG= 2AE= 4,又 AC= 5,. DE/ CG.BE_IED 一函一而'EEaE72V5 =，解得，BE=FG= CG= 3,23，4后3. (1)证明：二.四边形 EFG比平行四边形,EF= HG EF/ HG .Z EFD= / GHB .四边形ABC屋平行四边形， AD

16、/ BC ./ EDF= / GBH rZEFD=ZGHB在 efchghWEDF=/GBH, tEF=HG .EFWGHB(AAS ,. DF= BHDF- HF= BH- HF,(2)解：作EML FH于M如图2所示:设 MH= a,四边形ABCD四边形EFGHTB是平行四边形，/ A= Z FEH= 90。，四边形ABCD四边形EFG解是矩形,. AD= BC.tan ZADB=ABADAB 1=BC 2EH tan / EFH= EF. / FEH= / EMH= 90° ,/MEH/EHM： 90° , E EFH-Z EHF= 90° , ./ MEH

17、= / EFH.tan / MEH= tan / EFH=-=EM FH 2E阵2a, FM= 4a,. tan / EDM=EMDMDM= 4a, FH= 5a,由(1)得：BF= DH .BF= DH= 3a,FH 5a 5 '(3)过点E作EML BDT M如图1所示: 四边形ABCD1平行四边形，. AD= BC.AB=hMBC = EF, 里=畦目匿/EH EF '即 EH 即'EF" ADB ./ EFH= / ADB. EF= EQ .FM= DM设 BF= 3a,.BF 3FH 丁FH= 7a,DF= 10a,，DM= 5a,由(1)得：BF=

18、 DH .DH= 3a,MH= DMH DH= 5a- 3a= 2a,过点E作/ NEH= / EDH交BD于N. / ENH= / DNEENHh DNE一 NH EN，eN= dnphn设 HN= x, .EN= x? (3a+x),EN= d工,NEH= / EDH .Z NEH= / EFH/ EHN= / FHEENHh FEH ./ END- HEF= 120 , ./ ENIM= 60° , ./ NEIM= 30° , .EN= 2MNVx*(3a+x) = 2 (2a-x),解得：x= a,，EN= 2a, MN= a,由勾股定理得：EM= V (2a)2

19、-a2 = Ml a , EH= J1环育=J (殍产+)2=巾aef=但五砂制乜(道3)2 +(5荏)2 = 2/7a，图24.解：（1）以BM DN MM三边围成的三角形为直角三角形.证明如下：如图，过点 A作AF，AN并截取AF AN连接BF、FM/ 1+/ BAN= 90° ,/3+/BAN= 90° ,1 1 = / 3,在 ABW ADN4fAB=ADZ1-Z3,af=an. .AB口 ADN(SAS ,BF= DN / FBA= / ND氏 135 ,. / FAN= 90 , / MAN= 45 ,. / 1+/2=/ FAM= / MAN= 45 ,在 A

20、FMK ANMfr,产AN/FRWHAN,| AM 二 AH AF阵 ANIM( SAS , .FM= NM，/FB日 180° -/FBA= 180° - 135° =45° ,，/FBR/PBM= 45° +45° =90 ,FBM直角三角形， . FB= DN FM= MN 以BM DN MN三边围成的三角形为直角三角形;(2) BM DM别平分正方形的两个外角， ./ CBIW / CDN= 45 , ./ ABM= / ADN= 135° , . / MAN= 45 , / BAM/ NAD= 45 ,在ABW,

21、/ BAM/AMB= Z MBP= 45 , / NAD= / AMB在 AB防口 NDM,附口匕MB'. ABIVb NDA AMN1等腰直角三角形，BM AM 1 V2-二1二:，（3）连接BD并延长交吊延长线于点 G,如图由题意知/ GDN/ GB雌 90 , Z ADN= 135MIN/ ADgN GND 45° , ./ G= 90° -Z GND= 45 ,. DG母口 BGM为等腰直角三角形,. GN= ：DN GMk BM由(i)知，dN+bM= mN,.设 BMh x, DN= V， 则 GMh ："x, GN=.",.MN=V

22、2 (y-X), x2+v2=四(y- x) 2,Xi= (2+/j) y (舍)，x2=(2-73)y,BM二月二（2飞）竽DN y y5.解：（1）二.四边形EFG比矩形,EF/ BC. ADLBC . AK! EF,. EF/ BC . AEW ABC,AK AD 2即BC飞(2) 四边形EFG比矩形, .Z FEH= / EHG= 90° ,. ADLBC / ADB 90° , 四边形EHD唯矩形，EH= DK= x,. AK+DK： ADAK= 8 - x,.旗上即3 '6. S= EH?EF= x?|- (8-x)=-*2+1双.当x=4,时S有最大值

23、24.故答案为：24.(1)证明：如图1中, .BD CE是ABC勺高， ./ ADB= / AEC= 90 , . / A= /A, AB及 ACE(2)相似.理由：. ABD ACEAD AB RnAD AE=,即=,AE AC'福 AC '(4)如图2中，连接DM EMBC= 18,又 EM= DM= 9, MB DE 且 FD= FE= 6,FM= 7e2-EF2=92-62= 3 而7.(1)证明： ADL BC BE!AC, ./ BDF= / AE展 90 ,. / AFE= / BFD . AEN BDF(2)解：. AEH BDFEF 48DF. DF+EF=

24、 9,EF= 3, DF= 6,BF=Jb!)22=J+62=10，AF=E2+EF2 =42+3 = 5， . AD= 5+6= 11,AB= ZbD2+-AD2=a/s2+112=V1S5AFEFAFEFEFDFBFDF,. / AFB= / EFD.AF即 EFDDE DF . AB = BF 'DE 6Vi85-_w,- D心:：一IDlL58.解：(1)在矩形 ABCEfr, AB= 4, BC= 3,BD"=5,BQ= 2, %|bP， kJBF 3,. PH/ ADBPHh BDA.iADRF 9-PH= BD 亏;(2)如图，设HG与PQ交于点QAH 5设 B

25、Q= 2x,贝U BA 3x, PQ= x,PO= QO= v,Bd -x,. PH/ BCPHO BCO,PH PO 十。丁. PH=区空2G OB 一丁. PH/ ADBPHh BDA,PH BP"AD -BD,2 B(Q=m=2x=T-口(3)连接AC交BD于O, .经过点G的直线将矩形 ABCD勺面积平分, ，这条直线经过矩形 ABCD勺对角线的交点O.如图，当直线 OGg过PH的中点R时，直线OG各平行四边形 PHQG1面积分成1:两部分,DPH/ GQm=15S如图，当直线 OGg过HQ勺中点N时，直线OG各平行四边形 PHQGJ面积分成1：. PG/ HQ也=到=1PG

26、 PO 2351一 m=15 一'综上所述，满足条件的15m的值为华或学.879. (1)证明：如图1中, .四边形ABC/矩形, CD号 / BCM 90 ,BF± CE / BGC 90° , / BCG/ FBC= / BCG/ECD= 90° , ./ FBC= / ECDFB6 ECD,CE = CD''BF = BC '证明：如图1中，连接BE GDBF± CE EG= CG BF垂直平分线段ECBE= CB / EBG= / CBGDG= CG / CDS / GCD /ADG/CD8 90° ,

27、/BCG/ECD= 90° ,/ ADG= / BCG. AD= BC. .AD窿BCG(SAS ,/ DAG= / CBG/ DAG= / EBG.Z AEB= / AGB.sin Z AGB= sin Z AEB=AB AB CD CEBE BC BC BF(2)如图2中，取AB的中点T,连接PT, CP 四边形 MNS的四边形 MNB生于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点， .PT= PQ MNB直平分线段 BS. BP= PS, . / BCS= 90 ,. PC=PS= PRPQPS= PT+PC当T, P, C共线时，PQPS的值最小，最小值= VeC2+BT2 =7s

28、2 + 12 =/10，pqps的最/、值为via，10故答案为Vio.解：(1) .四边形 ABC比平行四边形，.OA= OC又 EA= EG EOL AC，四边形ABC火菱形；(2) /AEB= / CEB=/AEC 平行四边形 ABC西菱形, / AEB= / CEB= / BAC= / BCA= / DAC= / DCA/ CDR / DAG/ DCA= / AERFC及 FAE.FC _ CD.屈一记. CD= AD AE= CEffr ah.需=器，即 EC?CF= AF?AD11 .解：设 NB的长为 x 米，贝U MB= x+1.1+2.8 -1.5= ( x+2.4 )米.由

29、题意，得/ CND= / ANB / CD吐 / ABN= 90 , . CND ANB,CD DN同理， EM产AAMB|.1二一二。, EF= CDBN EM' x k+2. 4 ,解得x= 6.6 ,.CD _DN.1 -一解得 AB= 9.6 .答：大树AB的高度为9.6米.12 . ( 1)证明：如图1,取AF的中点0,连接OD OE . / ADF= / FEA= 90° ,.0E= 0D= AF, 点G是DE的中点，OGL DE. .AF± DE 点G是DE的中点，FD= FE;解：由知，AF，DE. Z AGD 90 ,. / AD(G A ADB.

30、 AD。 BDA,DG AD AD BD'在 RtABD中,AD= 9, AB= 12,根据勾股定理得，BD= 15,. DG-A -'E4 . DE= 2DG= ,1.21. BE= BD- DE=等;(2)如图2,过点E作MM BC分别交AB CD于M N, .BCL CD .MNL CD且 MN_ AB, .Z DNE= / AME= 90 ,FEA= 90° , ./ NEF= / MAE.NEm MAE.里迪 前年. AM= DNKN _EF一丽标 . / FEA= / END= 90° ,FEM END ./ FAE= / EDN. / EDN=

31、 / ABG/ FAE= / ABG. / AGE= / BGA. AG咨 BGA,AG GE丽而，aG= bgge图2图113.解：（1）如图1中，结论：AE= CF, AELCF理由：由题意：BA= BC BE= BE /ABC= / EBF= 90 ./ABE= / CBF /A= /ACB= 45 , .ABE CBF(SAS ,.AE= CF, / A= / BCF= 45 , ./ ACF= / ACBZ BCF= 90° ,.-.AE± CF,故答案为 AE= CF AE! CF如图2中，结论：AE= 2CF, AE!CF.BCD)FA理由：图2 .AB_DE

32、 bc-dF2, / ABE= / CBFAE = AB而一而2, / A= / BCF. DT/ AR .AE= 2CE / A+Z ACB= 90° , bCf BCF+Z ACB= 90 .AE! CF.(2)如图3中，过点D作DHL AC于H,DT/ AB交 AC于 T.由题意 AB= BC Z ABC= 90 , ./ ACB= 45° ,. DT/ AB / CDF / CBA= 90 , ./ DTG= / DCT= 45 ,DT= DCDHL CT .HT= HCDH= HT= HC 设 DH= HT= HC= E CT CD 1TA BD 2' .

33、A4m. AE= 2, .ET4m- 2,. DE= DF, DT DC / EDF Z TDG= 90 / EDF / FDC .EDE FDC(SAS ,Saed产 Safdc= 6, ET= FC? (4m- 2) ?m= 6,个解得m= 2或-丁(舍弃)，. CF= ET= 4m- 2=82 = 6.如图4中，连接DM CM根点M作MKL BC于K,交AC于J.同法可证：AE! CF,. /EDF= Z ECF= 90 , EMh MFDMh MC=方 EF, 点M在长度CD勺垂直平分线 MKh,当NML NK时，MN勺值最小,由题意:5CK= DK=6在 RtABC中，AC=7aB2

34、+BC2=5/5,. AN= CNCN= AC=. JK/ ARCK=HCB CA6NJ=CNk CJ=- -. NMLMKM, NM际(：!.mn=KL"cF- cj，倡陛6E.MN=W，：M丽最小值为-.14.解：(1)如图1中，Ei. AE=BE AD= DCDE/ BQ DEDFA CBF?,D=DE=1, bF=BC = 21，故答案为：方.(2)如图2中,. DE/ BC 且 DE= BQ，盟=处=理，.CF BF BC 2ef=V,CH近,EC=3促, . B= EF?EQ BE= 3 7 DF= BE= 2 巳 BF= 4.7BEECEFBE,/ BEF= / CEB

35、BEM CEB,BE = BF , ce=|cb1, ,372 = W2 .,昭一CEB= 4 11, .DE= BC= 2、区.(3)如图3中，如图，作 ABC勺外接圆。Q连接OA OB OC取OB勺中点F,连接EF,过点O作OHL BC于H,过点F作FT± BC于T.A DF/ AC图3BOC 2 / BAG= 120° ,OB= OC OK BCBH= CH=BC= 2, Z BOH= / COH 60 ,*VIL竿，但力用学，. AE= EB BF= OF. EF=-=OA=,23.点E的运动轨迹是以 F为圆心FE为半径的。F,CE的最大值=EF+CF,FT

36、7; BC OHL BC. FT/ OHBF= OF .BT= TH= 1 , FT= 一OH=,23在 RtFCT中，CF= JfT%t2CE的最大值为三/红.15.教材呈现：证明：过点 D作AC的平行线交BC于点F,. DE/ BC.四边形DECF1平行四边形, .DE= CF,. DE/ BCADABAEAC,/ AE氏 / G / ADE= / B,.CF AC改 AB'星=四=班/a= ZA.AB AC EC'' . ADP ABC结论应用：: A叶分/ BAC/ GAa / CAF.CGL AD,/ AFG= / AFCrZGAF=ZCAf在 AGFF口 A

37、C叶， AF=AFtZAFG=ZAFC. .AGm ACF(ASA ,. AG= AC= 7, GF= CF贝U BG= AB- AG= 10-7 = 3.又. BE= CE£尸是4 BCG勺中位线, .EF= ；BG= 1.5 .故答案是：1.5.图16.解：（1）如图 2 中，结论：BE= DF, BE!DF.理由：.四边形 ABC虚矩形，AB= AD，四边形ABC匿正方形，AE= - AB AF= AD，AE= AF,DAB= / EAF= 90° ,/ BAE= / DAF .ABE ADF(SAS ,BE= DF, / ABE= / ADF . Z AB&

38、Z AHB= 90 , / AHB= / DHP ./ ADF+Z PHD= 90 , ./ DPH= 90° ,. BE! DF.故答案为 BE= DF BE! DFDF=nBEBE! DF,(2)如图3中，结论不成立.结论: . AE=AR AF= -AD AD= nAB .AF= nAE .AF： AE= AD AR .AF： AE= AD AB . / DAB= / EAF= 90° ,/ BAE= / DAFBA回 DAFDF： BE= AF： AE= n, / ABE= Z ADF .DF= nBE /ABEf/AHB= 90 , / AHB= / DHP .Z

39、 ADF+Z PHD= 90 ./ DPH= 90° ,. BE! DF.(3)如图4 - 1中，当点P在BE的延长线上时,在 RtAEB中，. / AEB= 90° , AB= 6, AE= 3,BE= "£-2= 3/3， AB殍 ADF,AB = BE"AD-AD5旦驹,百一声，DF 4 ,二，.四边形AEPFM矩形，.AE= PF= 3,. PD= DF- PF= 473- 3;PF= AE= 3,如图4-2中，当点P在线段BE上时，同法可得 DF= 43 ,- PD= DF+PF= 4/+3,综上所述，满足条件的 PD的值为4-73-

40、3或4/5+3.17.解：(1)连接AG如图2所示,图2由折叠得：AGL EF,. EF/ BD. AGLBD在矩形 ABCD, AB= 8, BC= 6,.Z DAB= 90° , AD= BC= 6,db= Jab2 苗d Hg，+6 J io,AD 6 3.cosZADB=BD= 1Q = 5，DG= AD?cosZADB= 6*三=理(2)当/ DGF= 90。时，此时点D, G, E三点共线,DF= 6- 3t,设 AF= 3t ,则 FG= 3t , AE= 4t ,(3t) 2= 36 - 36t ,在 RtDFG中,DG+FG=DF,即 DG= (63t) 2. ta

41、n / FDG=FGDGAEAD3t 4tV36-36t解得t= + 167-AE=-.4EH当/ GDa 90。时，点 G在DC上，过点E作EFU CDT H,则四边形 ADH比矩形,/ FDG= / FGE= / EHG= 90° ,DF= 6- 3t, /DG+/DFG= 90 , /DG+/EGH= 90° , ./ DFG= / EGH . GDZ EHGDF = DG = FG GH = EH = EH '.&-3k DG 3GH9 .DG=, GH=8-4k, DGGH= AE.k =251625 .AE='47 25 综上所述：ae=

42、n或丁.(3)当 AEWAGHE寸，如图4-1,过点H作HPL AB于P,尸图4-1 / AE展 / FEO / EHG / EHG/ HEG= 90° , . FEG/ HEG 90° ,. A= / FEH= 90° ,， AEH EHFEF： HE= AF： AE= 1 ： 2,A= / HPE= 90° ,.Z AEF+Z HEP= 90 , Z HEF+Z EHP= 90 , ./ AEF= / EHP . AEW HPEEA HP= EF： EH= 1 ： 2,. HP= 6, .AE= 3.当AEQAGHE寸，如图4-2,过点H作HP!AB于P,图4 7同法可得 EF： HE= 1 ： 2, EA HP= 1 ： 2,DFA设 AF= t,则 AE= 2t, EP= 2t, HP= 4t , . BP= 8-4t,. BHm BDA.4