2019全国高中数学联赛湖北预赛(高一年级)Word版-全解全析-(1)

1、2019全国高中数学联赛预赛(高一年级)一、填空题(本题满分90分，第小题9分，直接将答案写在横线上。)1、若非空集合 A=x3a+2<x<5a-4, B = x 5 W x W 31,则能使 A= A。B 成立 的所有a的集合是.2、在四边形 ABCD中，CB = 2AC-3AD ,则AADC与AABC的面积之比为 .3、已知f (x译定义在R上的函数， "1)=2,且对任意的xWR都有f (x +5 )之 f (x )+5 , f (x +1 )< f (x )+1,贝U f (2014 ) =.t T T T24、在AABC中，A =30° , 2A

2、B，AC =3BC，则 MBC的最大角的余弦值为 .5、在平面直角坐标内，曲线x-1|+|x + 1 +|y =3围成的图形的面积是 .6、在单调递增数列a中，已知a1=2,a2=4,且a2na2n,a2n中成等差数列，a2n,a2n书，a2n七成等比数列，n = 1,2,3,用.那么，a,。=.7、去掉集合A = n ,n E1000,nw N*中所有的完全平方和和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2019是这个数列的第 项.8、若函数f (x )= log a ax2 - x + 在区间1,2 上递增，则a的取值范围是 .9、若aA且a1A, a+1A,则称a为集合

3、A的孤立元素.那么，集合 M = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的无孤立元素的4元子集有 个.3T10、已知0 W P Wet < 2 ,且tana =3tan P ,则u =支P的最大值为 .二、解答题(本题满分60分，第小题20分。)x11、求函数y = 的值域.x2-3x 212、已知数列an满足：a1=3, an邛 =an + 3n2+3n+ 2(I)求数列an的通项公式;(n)证明:111+ +111 +an13、已知函数f x = sinx+ cosx -sin2x -1.(I)求函数f(x )的最值;(n)如果函数 f (x诈(0,Mn壮:恰有2019个零点，求M的取

4、值范围2019全国高中数学联赛湖北预赛(高一年级)参考答案、填空题(本题满分90分，第小题9分，直接将答案写在横线上。)1、若非空集合 A=x3a+2<x<5a-4, B = x 5 E x W 31,则能使 A= A| B 成立 的所有a的集合是.解：因为A= A|B ,所以A0| B = A, A=B.3a 2 .5a -4因为集合A是非空集合，所以3a+2之5 ，解得3EaM7.5a -4 <312、在四边形ABCD中,CB = 2AC-3AD ,则A ADC与AABC的面积之比为解：因为 CB =2AC -3AD,所以 3AD =2AC 十(AC - AB ),AD

5、= AC -1-f -AB.1设 AE = AB ,则有 AD = EC .3所以四边形AECD为平行四边形,S.ADC _ S，AEC _ 1SABCSabc33、已知f(x )是定义在R上的函数,f (1)=2,且对任意的CxWR 都有 f (x+5)之 f (x) + 5,f(x+1)«f(x)+1,则f 2014 =解：因为 f (x+5)之 f (x )+5 , f (x+1f (x ) + 1所以 f x < f x 5 -5 < f x 4 -4 < f x 3 -3 < f x 2 -2< f x 1 -1.又因为 f (x+1)w f

6、(x )+1,所以 f (x+1 )= f (x )+1.所以 f 2014)= f 2013 17- f 12013=2015.-2 -2-h4、在 MBC中，A =30 , 2AB AC =3BC，则 MBC的最大角的余弦值为解：设角A,B,C的对边分别为a,b,c.2222=3a ,即 b +c =4a .2222因为2AB AC =3BC ,所以 c2,2.a c-b1cos B =2ac2 +b2 a2因为a2 = b2 c2 -，3bc,所以 b =、, 3c ,a =c.所以5、在平面直角坐标内，曲线x -1 + x + 1y =3围成的图形的面积是5.a2n,因为a2n， a2

7、n,a2 n书成等差数列， a2n, a2n由，a2n书成等比数列,所以a2n 1 a2n 1 = 2a2 n_2a2 n .a2 n 2 = a2 n -1因为a2na2n, ；a2n a2n 22，所以向' = “1%一 丁2n攵,数列历是等差数列.易得 a3 =6 , a4 = 9 ,所以 J04 -yfO2 = 1.所以 Ja2n =n +1, a2n = (n +1 f , a =512 = 2601.7、去掉集合A=n ,n M1000,nw N 中所有的完全平方和和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2019是这个数列的第项.解：因为 442 <

8、;2014 <452, 123 <2014 <133 ,且 13 =12 , 43 = 82, 93 = 272,所以有1, 2, 3,，2019中删去了 44+9=53个数.因为2019-53=1961 ,所以2019是这个数列的第 1961项.8、若函数f（X ）=lOga Zx2 X十：在区间1,2 上递增，则a的取值范围是解：（i）当0 a 时，只需0 :二 a ：二 1,2a-2,3 2x+3, <x <-1,2解：依题意得y = 1, -1 < x < 1,结合图象可知，该曲线所围成图形的面积为两个梯形面积之和，等于 6、在单调递增数列&a

9、mp;中，已知a1 =2, a2=4,且a2na2n, a2n中成等差数列, a2n书，a2n书成等比数列，n = 1,2,3,用.那么，而。=解：因为an单调递增，司0,所以2。0.,1 C 4a 0.a >1,， 一， 1(ii)当a >1时，只需<1,解得a >1.2aJ 八a 0.2综上，a的取值范围是 口JU（1,十望8 49、若aA且a1A, a+1正A,则称a为集合A的孤立元素.那么，集合 M = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的无孤立元素的4元子集有 个.解：（i） 4个元素均相邻，由枚举法可得，有 6个符合题意的集合.（ii） 4个元素中2个元素

10、相邻，另 2个元素也相邻，但 4个元素不相邻，由枚举法可得, 有15个符合题意的集合.综上，集合M共有无孤立元素的4元子集21个.10、已知0WpWa<5，且tan c（ =3tan P ,则u =久一 口的最大值为 . 立解：因为 0WPwot< = , tana = 3tan P ,所以。/J, tan"）；tan：=tanB.21 - tan - - tan2tan :1 3tan221 3tan tan :Tt,u的最大值为.二、解答题（本题满分60分，第小题20分。）x11、求函数y =,的值域.x2 - 3x 2解：函数的定义域为-"1 IJ 2,

11、二.（i）当 x =0时，y =0.(ii)当 0<xc1 或 x>2 时,令 t =1,则 y = g (t )= 2,x2t2 -3t 10,2 U1,二此时 g(t =J1.2t2 -3t 1在0,-2,在(1,收产单调递减)g(t产(。，(iii)当 x <0 时，同(ii)得 g(t!.2t2 与 t 1此时g(t冲调递减，g(t产(1,0 ).综上，y = x 的值域为(-1,收x2 -3x 2*t12已知数列ana1 =321an 4 = an +3n +3n +2 -,n n 1求数列an的通项公式;(n)、一 11.1证明：一十 +| | +anaa2解：因

12、为 an 1 = an - 3n2 3n 2所以33/11街”1'1飞一谪)因为33an an=n - n -11In -1n所以an = an -an anan< - IH ' a? 一 4 . a1=n3 n、r 1(n)证明：因为 0an n4 n2 1n2 -n 1 n2 n212 n2 - n 1n2+；+1 F11所以1 ,a1a2n十1)213、已知函数f x = sinx+ cosx -sin2x -1.(i)求函数f (x )的最值;(n)如果函数 f (x济(0,Mn件恰有2019个零点，求M的取值范围.(I)解：f (xsin 2x|sin 2x _1.(i)当 0wsin2xw1 时，f( x)= J1 +sin2x sin2x 1.令 t =，1 +sin2x ,则 f (x)=g(t 户t2 +t , tw 1,V2Lg(t欧472y单调递减，g(t产夜2,01(ii)当一14sin2x<0 时，f( x )= J1 sin 2x sin 2x 1.令 t = J1 -sin2x ,则 f (x)=g(t )=t2 +t 2, tw 1,72.g(t近7,