一元二次方程竞赛讲义1

1、元二次方程竞赛讲义1:一元二次方程根与系数的关系姓名 班级一、根与系数的关系(韦达定理)知识要点1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0中，两根为x1, x2。一b 八c 、，、，V则 XiX2, Xi ?X2一,;补充公式Xi X2-paala22、以X1 , X2为两根的万程为 XX1 X2 X X1 ?X2 02.2 b c3、用韦达定理分解因式 aX bX c a x - x a x X1 x x2 a a二、应用练习：21、万程 2x 3x 1 0 的两根为 x1, x2 ,那么 x1+x2=, x1x2 =.22、如果一兀二次方程 x mx n 0的两根互为相反数，那么 m

2、=；如果两根互为 倒数，那么n =.23、万程x mx (n 1) 0的两个根是2和一4,那么m=, n =.4、以J3 1, J3 1为根的一元二次方程是 .5、若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 .2226、已知万程2x 3x 4 0的两根为x1, x2 ,那么X1X2 =.7、若方程x2 6x m 0的一个根是3 J2,则另一根是 , m的值是. 、一 2 一 .8、分别以方程x 2x 1=0两根的平方为根的方程是 一 .一. .29、分解因式：4x X 1 2210、已知关于X的方程X (5k 1)x k 2 0,是否存在负数k,使方程的两个实数根 的倒数和等于4?若存在，求出

3、满足条件的 k的值；若不存在，说明理由。应用例题（一）直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a+ b和a b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理.例 1 已知 a+a2 1 = 0, b+b21 = 0, awb,求 ab+ a+b 的值.例2已知x2 3x 8 0, y2 3y 8 0,求丫个的值x y（二）先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a+ b、a,b形式的式子，则可考虑应用韦达定理.例 3 若实数 x、v、z 满足 x = 6y, z2 = xy9.求证：x=y.9（三）已知一元二次方程两根的关系（或系数关系）求系数关系（或求两根的

4、关系） ，可考虑用韦达定理例4已知方程x2+px + q= 0的二根之比为1 ： 2,方程的判别式的值为 1.求p与q之值，解此方程例5设方程x2+px+q= 0的两根之差等于方程 x2+qx+p= 0的两根之差，求证：p=q或 p + q= 4.（四）关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例6 m为问值时，方程 x2+mx3=0与方程x24x （m1）= 0有一个公共根？并求出这个公共根（五）关于方程根的取值范围可考虑韦达定理例 7 已知一元二次方程x2 10x 21 a 0。 （1） 当 a 为何值时， 方程有一正、 一负两个根？（2 ）此方程会有两个负根吗？为什么？根与系数

5、关系式练习姓名一、填空题：1、一元二次方程x2 3x 1 0与x2 x 3 0的所有实数根的和等于.2、若a、3为实数且| a + 3 3 | +(2 )2=0,则以a、3为根的一兀二次方程为。(其中二次项系数为1)3、已知 a2 1 a, b2 1 b,且 a b,则(a 1)(b 1) .4、已知关于x的方程x2 4x k 1 0的两根之差等于6,那么k 5、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2 8x 7 0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是6、如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的 2倍，那么p, q应满足的关系是7、在解方程x2 px q 0时，小张看错

6、了 p,解得方程的根为1与 3;小王看错了 q, 解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是 。8、a,b 是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：(1+2006a+a 2) (1+2005b+b 2)=二、解答题：9、在 ABC中，C 90，斜边AB=10,直角边AC,BC的长是关于x的方程x2 mx 3m 6 0 的两个实数根，求m的值。10、已知方程x2 mx 12 0的两实根是x/Dx2，方程x2 mx n 0的两实根是x1 7和x2 7 ,求m和n的值。11. 已知： m, n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0 的两根差与方程y2+ny+m=0差相等 .求： m+n 的值 .12、已知关于x 的方程 x2 (a 1)x b 1