求证全等三角形的几种方法

1、求证全等三角形的几种方法课程解读全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的根底。判断三角形全等的公理有 SAS ASA AAS SSS和HL如果所给条件充足，那么可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造适宜的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。典型例题全等三角形辅助线找全等三角形的方法：1可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段或两个角分别在 哪两个可能全等的三角形中；2可以从条件出发，看条件可以确定哪两个三角形全等；3可从条件和结论综合考虑，看

2、它们能确定哪两个三角形全等；4假设上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： 延长中线构造全等三角形； 利用翻折，构造全等三角形； 引平行线构造全等三角形； 作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折。例1:如图，4ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE解答过程：证明：延长 BA，CE交于点F，在 BEF和 BEC中，/ 仁/2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90，

3、 BEF A BEC, EF=EC，从而 CF=2CE。又/ 1 + Z F= / 3+Z F=90°，故/ 1= / 3。在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 仁/3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。2假设遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转。例2：如图， ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证: ABC是等腰三角形。解答过程:E证明：延长 AD至U E，使 DE=AD，连接BE。又因为 AD是BC边上的中线，

4、 BD=DC又/ BDE= / CDA BEM CAD,故 EB=AC，/ E= / 2，/ AD是/ BAC的平分线/ 1 = / 2，/ 1 = / E， AB=EB从而AB=AC即卩 ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。3遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3:，如图，AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求证：/ B+Z ADC=180。证明：作CEL AB于E, CF丄AD于F。 AC

5、平分/ BAD CE=CF在 Rt CBE和 Rt CDF中,vCE=CF CB=CD Rt CB專 Rt CDF/ B=Z CDFvZ CDFV ADC=180 ,/ B+Z ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线;见中点即联想到中位线。4过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠例4:如图， ABC中, AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连 EF 交BC于D,假设EB=CF求证：DE=DF解答过程:证明：过E作EG/AC交BC于G,那么/ EGBM ACB又 AB=ACZ B=Z ACB/ B=Z

6、EGB / EGDM DCF EB=EG=CFvZ EDBM CDF DGA DCF DE=DF解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:例 5： ABC中 , Z BAC=60 , Z C=40° , AP平分Z BAC交 BC于 P , BC平分Z ABC交 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ解答过程:0 pC图1证明：如图1，过O作OD/ BC交AB于D,/ ADON ABC=180 60° 40° =80°,又/ AQOMC+/ QBC=80 ,/ ADON AQO又/ DAON QAO OA=AO ADOA AQO-OD=OQ AD

7、=AQ又 OD/ BP,N PBON DOB又/ PBON DBO N DBON DOBBD=OD 又/ BPAN C+N PAC=70 ,N BOPN OBAN BAO=70 , N BOPN BPO BP=OB AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：1此题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形,即“截长法。2此题利用“平行法的解法也较多，举例如下：如图2，过O作OD/ BC交AC于。，那么厶ADOA ABC从而得以解决如图5，过P作PD/ BQ交AC于。，那么厶ABPA ADP从而得以解决图小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的

8、在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会 构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不管是作平 行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换 构造了全等三角形。5截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加 以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6:如图甲，AD/ BC点E在线段AB上，/ AD匡/CDE / DC=Z ECB求证：CE=AE+BG如图3八过OtoEWB咬AB于D,交加汙匸测ADCJ经直Q

9、O AABOAAE 0从而得型解决.如图 ，过P作PDWEQ交AB的延长线于D,那么丛APD经虫APC臥而 得以解決.解答过程：证明：在CD上截取CF=BC,如图乙在厶尺起与百GE中，CF = CSCE= CE:. FCEA BCE SAS ,/ 2=Z 1。 又 AD/ BC,/ AD(+Z BCD=180°,:丄 DC&Z CD=90°,/ 2+Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°,/Z 3=/ 4。在厶 FDE* ADE中,'"DE = LADEDR = DEZ3-Z4 FDEA ADEASA , DF=DA Ct=

10、DF+CF,/. Ct=AC+BC。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下局部等于 另一条；补短：将一条短线段延长，延长局部等于另一条短线段，然后证明新线段 等于长线段。1对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想方法将其放在一个三角形中证明。2在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线

11、。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接那么成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。同步练习答题时间：90分钟这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、，如图1,在四边形ABCD中，BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC求证：/ BAB/BC=180°o2、，如图2,/仁/2, P为BN上一点，且PDLBC于点D, ABfBC=2BC0求证：/

12、BAP/BCP=180°o图23、，如图 3,在厶 ABC中,/ C= 2/ B,/ 1 = / 2。求证：ABAOCD5、如图5的中绻求证=图5氛 如图©所示，AD是A ABC的中线1 EEACTE,交AI汙F且AE=EF 求证：AC=BFn.儉热矍生命吗*?圉眩别浪费时I间.园宵时间是爼兢生«命的材料富兰克林试题答案1、分析：因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长法或补短法来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,如图

13、1-2.DE=D在用担卫D童与甩厶,DE = DFAD=CD Rt AD匡Rt CDfHL),/ DAE：/ DCF又/ BADV DAE=180°,/./ BAD/DCF=180°,即/ BAD/ BCD=180°2、分析：与1相类似，证两个角的和是180°,可把它们移到一起，让它们 成为邻补角，即证明/ BC：/EAP因而此题适用“补短进行全等三角形的构 造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2E圏1-2且卩刀丄BQ/.FS=FD.在FibBF啦沁 EFD中，PS = PD/.圧虫刃咤丹丛珈弐血?.BS=Ea剧B十母O历D,:.AB+

14、BIADC=B1AE,*' Ab+D O号囲卩b=A E.在总/PE与用 07边中'PE = FDw £PEA= "DCAS=DC Rt AP匡 Rt CPDSAS),/ PAE：/ PCD又/ BAF+Z PAE=180°。/ BAF+Z BCP=180°AC3、分析：从结论分析，“截长或“补短都可实现问题的转化，即延长至E使CE=CD或在AB上截取AFAC。证明：方法一补短法延长AC到E,使DC=CE那么Z CDEZ CED如图3-2:.Z= 6在厶ABDAED中出1 = Z2* £E=厶总AD = AD.'.ASD

15、ASD A45：,AE=AEb5L4E70+ UE=AC*DC,:.AB-ACDC,方法二SK法在行上截取如图主图3-3在厶ADACD中，AF = ACZ1 = Z2AD=AD:. AFDAACDSAS , DF=DCZ AFD=Z ACD。又/ AC* 2/ B,/ FDB=Z B, FD=FB AB=AF+FB=AC+FDAB=AC+C>D4、证明：方法一将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在AMNfr, AM+AN>MD+DE+NE 在 BDM中, MB+MD>BD在 CEN中, CN+NE>CE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+

16、NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC方法二：图4-2延长BD交AC于 F,延长CE交BF于6在厶ABF GFCfA GDE中有:AB+AF>BD+DG+GF GF+FC>GE+CE DG+GE>DE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE- AB+AC>BD+DE+>EC5、分析：要证 AB+AC>2AD由图想到：AB+BD>AJDAC+CD>AD所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一

17、个三角形中去证胡=S-KAD至巳 ®DE=AD, ii&BE, CEYAD为A ABC的中线/BD=CD 中线定50在AACD和AEBD中BD = CD 已证P1 = Z2C对顶角相寻AD二ED辅助线作法% ACDA EBD SAS BE=C全等三角形对应边相等在 ABE中有：AB+BE>AE三角形两边之和大于第三边 AB+AC>2A。6、分析：欲证AC=BF只需证AC BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两 条线段转移到同

18、一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为根底三角形，转移线段 AC,使AC BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H,使得DH=AD连结BH证明 ADCP HDB全等，得AC=BH通过证明/ H=Z BFH，得到BF=B。匹明；延长ADHH-便得DH=AD连接BH/ D为BC中点BD-DC在&ADC和HDB中'AD = DH< £ADC£BDHBD 二 CD ADCA HDB(SAS) AC=BH / H=Z HAC EA=EF / HAE2 AFE又 / BFH" AFE BH=BF BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明 ADCffiAHDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线可以得到两个全等三角形。 而过一点作直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三