高中数学必修4三角函数常考题型：弧 度 制

1、弧 度 制【知识梳理】1角度制与弧度制(1)角度制定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的作为一个单位(2)弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角2任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.4弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360°2 rad2 rad360°180° rad rad180°1° rad0.017 45 rad1 rad°

2、;57.30°5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度06扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llR扇形的面积SSlRR2【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)300°；(3)2；(4).解(1)72°72×；(2)300°300×；(3)22×°

3、;°；(4)°40°.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180°是关键，由它可以得到：度数×弧度数，弧度数×度数【对点训练】已知1570°，2750°，1，2.(1)将1，2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将1，2用角度表示出来，并在720°0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角解：(1)1570°，2750°.12×2，22×2，1是第二象限角，2是第一象限角(2)1×180°1

4、08°，设k·360°108°(kZ)，则由720°<0°，得720°k·360°108°<0°(kZ)，解得k2或k1，在720°0°范围内，与1有相同终边的角是612°和252°；2×180°60°，设k·360°60°(kZ)，则由720°k·360°60°<0°(kZ)，得k1或k0，在720°0

5、76;范围内，与2有相同终边的角是60°和420°.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为_(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？(1)解析设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l2r，从而扇形的周长为l2r4r8，解得r2，则l4.故扇形的面积Srl×2×44 cm2.答案4 cm 2(2)解设扇形的弧长为l，由题意得2R2Rl，所以l2(1)R，所以扇形的圆心角是2(1)，扇形的面积是Rl(

6、1)R2.【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度【对点训练】已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为(0<<2)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l2r30，故l302r，从而Slr(302r)rr215r2

7、，所以，当r cm时，2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.题型三、用弧度制表示角的集合【例3】用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合解(1)如图，330°角的终边与30°角的终边相同，将30°化为弧度，即，而75°75×，终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)如图，30°，210°，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为k，kZ，又终边在y轴上的角为k，kZ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.【类题通法】用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域

8、角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算注意单位要统一(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如，02)内的角，再加上2k，kZ.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为x|xk，kZ；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为.在进行区间的合并时，一定要做到准确无误【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线yx上的角的集合解：在0到2范围内，终边落在直线yx上的角有两个，即和，所有与终边相同的角构成的集合为S1，所有与终边相同的角构成的集合为S2，终边落在直线yx上的角的集合为SS1S2n，nZ.【练习反馈】1下列命题中，错误的是()A“度”与“弧度”

9、是度量角的两种不同的度量单位B1°的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1°的角要大D用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D根据角度制和弧度制的定义可以知道，A、B是正确的；1 rad的角是°57.30°，故C也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D错误2角的终边落在区间内，则角所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C3的终边在x轴的非正半轴上，的终边在y轴的非正半轴上，故角为第三象限角3135°化为弧度为_，化为角度为_解析：135°135×；×180°660°.答案：660°4把角690°化为2k(0<2，kZ)的形式为_解析：法一：690°.4