21　空间的角的计算

1、.课时分层作业二十一空间的角的计算建议用时：40分钟根底达标练一、填空题1A0,1,1，B2，1,0，C3,5,7，D1,2,4，那么直线AB与直线CD所成角的余弦值为_解析2，2，1，2，3，3，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.答案2在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值是_. 【导学号：71392207】解析依题意，建立如下图的空间直角坐标系，那么A1,0,0，M，C0,1,0，N.，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案3点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1

2、的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，那么平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_解析如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n10,0,1，平面AEF的法向量为n2x，y，z所以A1,0,0，E，F，所以，那么即取x1，那么y1，z3，故n21，1,3，所以cosn1，n2，所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .答案4正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB，那么CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，那么D0,0,0，

3、C0,1,0，B1,1,0，C10,1,2，那么0,1,0，1,1,0，0,1,2设平面BDC1的法向量为nx，y，z，那么n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n2，2,1设CD与平面BDC1所成的角为，那么sin |cosn，|.答案5E，F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，那么截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是_. 【导学号：71392208】解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，那么A1,0,0，E，F，D10,0,1所以1,0,1，.设平面AEFD1的法向量为n

4、x，y，z，那么取y1，那么n2,1,2，而平面ABCD的一个法向量为u0,0,1，cosn，u.答案6在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，那么sinC，_.解析建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C2，2,1，2,2，1，cosC，sinC，.答案7. 如图3­2­29，在四面体A­BCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，那么二面角A­BC­D的大小为_图3­2­29解析二面角A­BC­D的大小等于AB与CD所成角的大小.，而22

5、222|·|·cos ，即121492×2cos，cos，AB与CD所成角为，即二面角A­BC­D的大小为.答案8在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，那么cos，的值为_解析····|·|cos |·|·cos |0.cos，0.答案0二、解答题9如图3­2­30，在四棱锥P­ABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F.图3­2­301

6、求证：AD平面CFG；2求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值解1证明：在ABD中，因为E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.2以点A为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系，那么A0,0,0，B1,0,0，C，D0，0，P，故，.设平面BCP的一个法向量n11，y1，z1，那么解得即n1.设平面DCP的一个法向量n21，y2，z2，那么解得即n2.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为co

7、s .10如图3­2­31，在几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中点，EADAAB2CB.图3­2­311求证：DMEB；2求异面直线AB与CE所成角的余弦值；3求二面角M­BD­A的余弦值. 【导学号：71392209】解以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，设CBa，那么A0,0,0，E2a,0,0，B0,2a,0，C0,2a，a，D0,0,2a，所以M，1证明：，2a,2a,0，·a·2aa·2a00，即DMEB.20,2a

8、,0，2a，2a，a，设异面直线AB与CE所成的角为，那么cos ，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.3DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB.EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，EAAB.EA平面DAB.2a,0,0是平面DAB的一个法向量设平面MBD的一个法向量为nx，y，z，0，2a,2a，那么即令za，那么n，设二面角M­BD­A的平面角为，那么cos .即二面角M­BD­A的余弦值为.才能提升练1如图3­2­32，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，

9、y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，那么异面直线AC与VD所成角的余弦值是_图3­2­32解析由于ACBC2，D是AB的中点，所以C0,0,0，A2,0,0，B0,2,0，D1,1,0当时，在RtVCD中，CD，故V0,0，所以2,0,0，1,1，所以cos，所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.答案2如图3­2­33，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CACC12CB，那么直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_图3­2­33解析不妨令CB1，那么CACC12.可得O0,0,0，B0

10、,0,1，C10,2,0，A2,0,0，B10,2,1，0,2，1，2,2,1，cos，>0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案3在三棱锥O­ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，那么OM与平面ABC所成角的正切值是_解析如下图，建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，那么A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，M，故1，1,0，1,0,1，.设平面ABC的法向量为nx，y，z，那么由得令x1，得n1,1,1故cosn，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.答案4如图3­

11、;2­34，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，求二面角A­PB­C的余弦值. 【导学号：71392210】图3­2­34解法一：建立如下图的空间直角坐标系C­xyz，取PB的中点D，连接DC，那么DCPB，作AEPB于E.那么向量与的夹角的大小为二面角A­PB­C的大小A1,0,0，B0，0，C0,0,0，P1,0,1，又D为PB的中点，D.在RtPAB中，E，·.又|，|1，cos·，即二面角A­PB­C的余弦值为.法二：以C为坐标原点，直线CA，CB分别为x轴、y轴建立如下图的空间直角坐标系，那么A1,0,0，B0，0，C0,0,0，P1,0,1，0,0，1，1，1，1,