第2章第3节函数的单调性

1、1.21 11A B C0 D022ykxbkkbb 若函数在 上是增函数,则.RA 22. A (0) B (1) C (1)(0) D1,0f xf mfmm 设函数是 上的单调递减函数,且，则实数 的取值范围为，RD210.mmm 解析：解得依题意得, 2133.log2 111A () B () C (0) D ()442f xxxf x 已知函数，则的单调递增区间为，D 21 2041()2xxxf x 由且，得的单解析：为，调递增区间24.54 .yxx 函数的单调递增区间是52， 222545,154 522 5142,5yxxg xxyxxx的定义域是又在区间，上是解析：所以的

2、单调递增区间增函数，在区间上是减函数，是， 25.21,21 .af xxaxg xxa若函数- 与在区间上都是减函数，则 的取值范围是(0,1 222 2()1,211,20.10,1af xxaxx aaaag xax=-+=-+在区间上是减函数，解析：综合得则；=在上是减函数，则 01afxxax讨论函数 例 ：的单调性函数单调性的判断与证明 12212121122112121221121221(0)(0)100-()01(0). f xxxxxxaaf xf xxxx xaxxx xxxax xaf xf xf xaxxx xaf xf xf xa方法 ：定义函数的定义域为 ，当时，设

3、，则 于是当时，则所以在 ，上是减函数；当时，则所以在，上是法解析：增函数： 12212121122112121221121221200.1()00)( ),0),(0,(,)(xxxxxaf xf xxxx xaxxx xaxxx xaf xf xf xaxxax xaf xf xf xaf xaaaa当时，设则 于是当时，则所以在，上是减函数；当时，则所以在 ，上是增函数综上，函数在上是减函数，在 ，上是增函数0)x 由于函数是奇函数，其实只需讨论的情况即可 2201.0.)(0 0) (0,)20(0)axfxxfxaxxaf xaf xxf xaf xaaaaa导数法：当时，令，得，则

4、于是在，上是增函数；同理可得在 ，上是减函数当时，由奇函数的性质知函数综上，函数在，上是减函数，在 ，在 ，上是增函数，在， ，上方法上是减函数：是增函数2112122()“”“”f xf xx xaxxxa研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法定义法是基础，掌握定义法的关键是作差，运算的结果可以判断正、负本题判断正、负的依据是代数式，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础把反思小结：、 看成自变量，则转化为判断的符号，于是转化为判000 xaxa断的符号，自然过渡到 是函数单调区间的分界点第二种方法是导数法导数是研究函数图象上某点的切线斜率的变化大小的，当某点的导

5、数为 时，斜率为 ，所以导数为 是函数单调区间的分界点，用导数法可以克服推理运算中的难点掌握导数法在函数单调性研究中的运用，能收到事半功倍的效果 012(0)xxeaaf xaeaf xR设，是 上的偶函数拓展练习1求 的值；证明：在 ，上：是增函数 21111e()(e)0.101.01.xxxxxxxf xfxeaaaaeaeaeaaaaa依题意，对一切，有，即，整理得因此，有解析：所以，即又，R 12122112121212211212121122120111ee(1)1ee1.001110,0()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xf xeeeeeexexxxxee 方法证明

6、:设，则由于： 定义，所以法， 1212220(0)1(0)0100(0)2 ()xxxxxxxxf xf xf xf xf xf xeefxeeeexeefxf x 所以，即，所以在 ，上是此时，所方法 ： 导数增函数由以在 ，得当，时上是，法，增函数 1 ( )32xy判断函数的例 ：单调性复合函数的单调区间 1101( )331( )3txtxyy 令，则该函数在 上是减函数又因为，所以在解析：上是减函数所以在 上是增函数RRR ()()3xy 这是一个复合函数，而复合函数的单调性或单调区间，仍是从基本初等函数的单调性 或单调区间 分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化当反然这个函数

7、可化为，从而可判断出其思小结：单调性 22log4 A 0,4 B 0,2 C2,4 D (2(2010)f xxx函数的单调递减区间是拓展练习2：珠海北大实验学，校 222224004.4242,4 log42,4xfxxuxxxuxxx由，得又由知，函数 在上是减函数根据解析：函数的单调递减区复合函间是数的单调性知，C 3211111,432(36)f xxaxaxa若函数在区间上为减函数，在区间 ，上为增函例 ：数，试求实数 的取值范围利用导数探讨函数的单调性 21.011.1 12(1)f xfxxaxafxxxaaaf x 函数的导数令，解得或当，即时，函数在 ，上为增函数，不解析：

8、合题意； 112(1)(11)(1)1,40(6)0.416575,.7aaf xaaxfaxxfxaa 当，即时，函数在，上为增函数，在 ，上为减函数，在，上为增函数依题意应有，所以实数 的当时，；当，时，所取值范围是以，解得 本题关键之处在于一定要就两极值点的大小进行分类讨论当然也可以利用一元二次方程根的分布来解题，这样可以避反思小结：免讨论 2(1)3 A 2) B 2) C (2 D (32kkh xxxk 若函数在 ，上是增函数，则实数 的取值范围是 ，拓展练习 ：， 2222(1)320(1)2(1)2(1)2)2)kkh xxxkh xxxkxxuxxk 若函数在 ，上是增函数，

9、则对于，恒成立，即对于，恒成立而函数，的最大值为，解析：故实数 的取值范围是， 221.2)()4143_(20 0_1_)_f xxxxfm f xf xf mmm设函数对任意，恒成立，则实数 的取值范围是例4：天津卷函数的值域与最值 2222222221 4131141)2132341)2xmxmxmxmxmxx 依据题意，得在，解时恒成立，即在，时析：恒成立222223325123154(31)(43)033333()2.222xyxxmmmmmm 当时，函数取得最小值，所以，即，解得或答案：， 本题是较为典型的恒成立问题解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属反思小结

10、：于难题 1(2010).1)0 .f xxxxf mxmf xm天津卷 设函数对任意，恒成立，则实数 的取值范围是拓展练习4： 22221.0.00.011012(1)1121f xmmf mxmf xmf mxmf xmmxmxxxmxxmmmm 直接推理易知为增函数且若，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意,故由，得,于是，故,所所以,解以析：(1) ， (0)(0)()2110.123325f xf x yf xfyfxf xf xf xf xf x已知函数的定义域为，且满足条件：,当时，求证：函数为偶函数；讨论函数的单调性；求不等式例 ：的解集 1111110.1111

11、10.1112111( )( )(0)xyffffxyffffyfxf xff xf xyxff xfff xxxf x 证明：在中令，得令，得再令，得，所以为偶函数在中令，得先解析讨论在 ，上：的单调性： 122122121122211101()()1()0(0)(0)xxxxxf xf xf xffxxxxff xf xxxf xyf x任取 ， ，设，则因为，由知，所以，所以在 ，上是增函数因为偶函数的图象关于 轴对称，所以在，上是减函数 3332.21 122441)30(0)34300334141034fx xf xf xffffx xf xfx xfx xxxx xxxx 由得若，

12、因为在 ，上为增函数，故由，或得或； 2)30(0)34300303. | 10|3403 |34x xf xfx xfx xxxxxxxxxxxx 若，因为在，上为减函数，故由，得所以原不等式的解集为R ( )xff xf yy本例是对数函数类型，其等反思小结：价变形还有 200011012034421yf xfxf xabf abf af bfxf xf xf xfxxx定义在 上的函数，满足，当时，且对任意的 、，有求证：；求证：对任意的，恒有；求证：是 上的增函数；若，求 的取值范围拓展练习 ：RRRR 210000001.200.1010000100.abffffxxff xfxfx

13、f xf xxxf xxf x 证明：令，则又，所以证明：当时，因为，所以，从而又当时，所以，当时，恒有解析：R 12212211211212112112122123001.0421300300.13xxxxf xf xxxf xxf xxxf xxf xf xxf xf xf xfxxffxxf xf xf xffxxxx证明：设，则，所以，所以是 上的增函数又是 上的所以因为，所以又，所以增函数，所以，所由以，得RR.f xf xyf y 本例是指数函数类型，其等价变形还有 12122121211221212111()()0()0)200Df xxxDxxf xf xf xf xf xDf

14、 xf xxxDf xf xxxxxf xDf xDfxxDfxf xD判断函数的单调性定义法：给定区间 上的函数，若对 ，且，都有或，则函数在 上是增函数 或减函数 与定义等价的判断，如对 ，若或，则函数在 上是增函数；导数法：设定义在区间 上，求，对，若，则函数在 上是增 ()00fxfx函数 减函数 注意若已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围时，应令或，否则极可能漏解 21 (0) (0)(0)(0)“”f xx.函数的单调区间函数的单调区间可能是连续的，也可能是离散的,离散的单调区间中间分别用 ，分开，如 ，有两段离散的减区间 - ，,+，不能表示成 - ，,+单调函数的单调性是

15、一个局部概念,定义域整体上可能并不具有单调性，所以，单调性只是函数在某一区间上的 整体 性质的表现 00003f xDmxDf xMxDf xMMf xxDf xMf xM.函数的最值函数的最值问题与函数的值域问题既相近，也有区别一个函数可能有最值，也可能没有最值，但函数的值域是一定存在的设函数的定义域为 ，若存在实数 ，满足对任意的，有，且存在使得，则是函数的最大值如果没有，使得，则函数无最大值，此时，称为函数值域的上界如严格单调函数在开区间上是没有最值的. 4“”“” “”“”yf u xu xyf uyf u xyf u x复合函数的单调性函数 称为复合函数，其中称为 内层函数 ，称为

16、外层函数 内、外层函数 的单调性相同时,函数 是增函数，相反时，函数 是减函数简称为 同增异减 在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值域是外层函数的定义域在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有直()接关系，因此要注意两点：一是确保单调区间上函数有意义；二是根据单调性，转化为不等式 组 问题求解. 1.0)121( )()31 21 21 21 2A () B ) C () D )3 33 32 32(2009)3f xfxfx已知偶函数在区间 ，上单调增加，则满足的 的取值范围是 ， ， ， ，辽宁卷112 21.33A3xx由解析： 题意，可，解得答案：知121212.log (1)|1|;2.0,1()A BC (201 D0)xyxyxyxy给定函数： ； ； 其中在区间上单调递减的函数的序号是 北京卷 12log110,B1yxyx易知是减函数由的