容器设计问题的数学模型

1、精选优质文档-倾情为你奉上容器设计问题的数学模型【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。一个容器的设计也是一门学问。对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。关键在于：怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件matlab7.0进行处理求解。1

2、、问题重述（1） 要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r<R，高为h。求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R、h/R的精确值（用整数的有限四则及根式运算的最简形式表示）及他们精确到20位有效数字的近似值。（2） 要设计一个上无盖的容器，由一个半径为R高为H的圆柱放在一个圆锥台上组成的。圆锥台的上半径为R，下半径为r<R，高为h。求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小的三个比值r/R、h/R、H/R的精确值（意义同题（1）及他们精确到20位有效数字的近似值。（3） 要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为

3、R<L的圆锥台放在高为h，上半径为R，下半径为r<R的圆锥台上组成的。求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值r/L、h/L、H/L、R/L的精确值及它们精确到20位有效数字的近似值。2、基本假设：（1）容器设计不考虑美观等诸多因素，即只从省原料的角度进行设计。（2）容器没有厚度。（3）只考虑简单的立体图形及其拼接组合容器的情况。3、符号说明：R-第一第二问中圆台的上半径，第三问中下面圆台的上半径、第三问中上面圆台的下半径 r-第一第二问中圆台的下半径、第三问中下面圆台的下半径h-第一第二问中圆台的高度、第三问中下面圆台的高度H-第二问中圆柱的高度、第三问中上

4、面圆台的高度L-第三问中上面圆台的上半径v-容器体积s-容器表面积y-所构造函数k-所构造函数中的常系数pi-圆周率d-求偏导数-次方sqrt-根号4.模型建立及求解与检验建立：可以转化为在有约束条件下求解目标函数极值的问题。（1） 在第一小题中，由几何知识容易得出：容器的表面积,即目标函数为：容器的容积：由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数： （2）同理，第二、三小题也可通过构造拉格朗日函数求的目标函数的极值。第二题的表面积，即目标函数为： 约束条件（容器容积）:v= 由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：第三题的表面积，即目标函数为：约束条件（容器容积）：由约束条件及目标函数构造拉格朗日函

5、数（3）y就是第一、二、三小题的数学模型。 求解与检验：约束条件与偏微分方程联立求解（1）在第一小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：y分别对R, r, h, 求偏导数dR dr dh,令dR=0, dr=0, dh=0，得出三条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求R= -2/7*7(3/4)/kr=-2/kh=-1/7*7(3/4)*(1+7(1/2)/k解得：r/R=1.h/R=1.（2）同理，在第二小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：y分别对R, r, h, H求偏导数dR

6、 dr dh dH,令dR=0, dr=0, dh=0,dH=0，得出四条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h、H）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求R=-2*(-7/3+1/3*(116+12*93(1/2)(1/3)+4/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3)2)/kr= -2/kh=4*(-5/3+1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+(-1/

7、6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3)2)/kH=2*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3)/k解得r/R=2.h/R=1.H/R=1.（3）同理，在第三小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数： 用y分别对R, r, h, H，L求偏导数dR dr dh dH dL,令dR=0, dr=0, dh=0, dH=0, dL=0, 得出五条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程，未能利用matlab得出答案。（见附录）5、模型应用从对本题三小问的建模

8、过程可知，当一个容器的外观和容积确定以后，其表面积（无盖）存在最小值。正如上文所推到和验证的，我们可以通过构造拉格朗日函数求出其表面积（无盖）取最小值时，容器的上底半径，下底半径，高等长度要素应满足的比例关系。进而确定容器的精确形状。正如本文摘要所叙述的，该模型可作为饮料厂商对其饮料瓶设计的参考。从而使在饮料瓶容积一定时其表面积尽可能小（我们知道，饮料特别是碳酸饮料，其容器的成本在总成本在占有很大的比重。因此厂商可以参考本文所建立的数学模型设计容器，从而减低生产的总成本，实现利益最大化。6、模型评价优点：(1)用统一的方法解答各个小问。(2)总体思路简单明了，所涉及知识较少，可阅读性较强缺点：

9、(1)未能求解出第三问的具体答案。(2)模型中只考虑节省原料而设计容器，忽略了其它因素。 7、附录Matlab源代码（1） 第一问>> syms R r h k v>>y1=pi*(R2+(R+r)*sqrt(R-r)2+h2)+k*(pi*r2+pi*R2+pi*r*R)/3*h-v);>> dr=diff(y1,r) dr = pi*(R2-2*R*r+r2+h2)(1/2)+1/2*(R+r)/(R2-2*R*r+r2+h2)(1/2)*(-2*R+2*r)+k*(2/3*pi*r+1/3*pi*R)*h >> dy2=diff(y1,R)

10、 dR = pi*(2*R+(R2-2*R*r+r2+h2)(1/2)+1/2*(R+r)/(R2-2*R*r+r2+h2)(1/2)*(2*R-2*r)+k*(2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h >> dy3=diff(y1,h) dh = pi*(R+r)/(R2-2*R*r+r2+h2)(1/2)*h+k*(1/3*pi*r2+1/3*pi*R2+1/3*pi*r*R) >> R,r,h=solve(dr,dR,dh,'R','r','h')R = 0 -2/7*i*7(3/4)/k 2/7*7(3/4)/k

11、2/7*i*7(3/4)/k -2/7*7(3/4)/k 0 0 0 -2*2(1/2)/k 2*2(1/2)/kr = -2*3(1/2)/k -2/k -2/k -2/k -2/k -2*3(1/2)/k 2*3(1/2)/k 2*3(1/2)/k -8/k -8/kh = -6(1/2)/k-1/7*i*7(3/4)*(1-7(1/2)/k 1/7*7(3/4)*(1+7(1/2)/k 1/7*i*7(3/4)*(1-7(1/2)/k -1/7*7(3/4)*(1+7(1/2)/k 6(1/2)/k -6(1/2)/k 6(1/2)/k 0 0（2） 第二问>>syms R

12、r h H k v>>y2=pi*(r2+(R+r)*(R-r)2+h2)(1/2)+2*pi*R*H+k*(pi*r2+pi*R2+pi*r*R)/3*h+pi*R2*H-v );>> dR=diff(y2,R) dR = pi*(R-r)2+h2)(1/2)+1/2*(R+r)/(R-r)2+h2)(1/2)*(2*R-2*r)+2*pi*H+k*(2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h+2*pi*R*H) >> dr=diff(y2,r) dr = pi*(2*r+(R-r)2+h2)(1/2)+1/2*(R+r)/(R-r)2+h2)(1/2)*(

13、-2*R+2*r)+k*(2/3*pi*r+1/3*pi*R)*h >> dh=diff(y2,h) dh = pi*(R+r)/(R-r)2+h2)(1/2)*h+k*(1/3*pi*r2+1/3*pi*R2+1/3*pi*r*R) >> dH=diff(y2,H) dH = 2*pi*R+k*pi*R2 >> R,r,h,H=solve(dR,dr,dh,dH,'R','r','h','H')R = 0 0 -2/k-2*(-7/3-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/

14、(116+12*93(1/2)(1/3)+i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2*(1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)+1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3-1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)2)/k -2/k -2*(-7/3+1/3*(116+12*93(1/2)(1/3)+4/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3

15、)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3)2)/k -2*(-7/3-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)-i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2*(1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)+1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3+1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)2)/k 2/5*5(1/2)/k -2/5

16、*5(1/2)/k 2/k r = 0 0 -2/k - 2/k -2/k -2/k -2/k -2/k -2/k -2/kh = -8/k -8/k 0 4*(-5/3-1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)-1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+(1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)+1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3-1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/

17、3/(116+12*93(1/2)(1/3)2)/k 0 4*(-5/3+1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3)2)/k 4*(-5/3-1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)-1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)-1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+(1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)+1

18、/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3+1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)2)/k 4/5*5(1/2)/k -4/5*5(1/2)/k -4/k H = -2*2(1/2)/k 2*2(1/2)/k -(-1+i*3(1/2)/k 2*(1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)+1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3-1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)/k (1+

19、i*3(1/2)/k 2*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)-2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3)/k 2*(1/12*(116+12*93(1/2)(1/3)+1/3/(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3+1/2*i*3(1/2)*(-1/6*(116+12*93(1/2)(1/3)+2/3/(116+12*93(1/2)(1/3)/k 0 0 -2/k（3） 第三问（没解出来）>> syms R r h H L k v>> y3=pi*(r2+(R+r)*(R-r)2+h2)(1/2)+pi*(L+R)*(L-R)2+H2)(1/2)+k*(1/3*(pi*r2+pi*R2+pi*r*R)*h+1/3*(pi*R2+pi*L2+pi*R*L)*H-v);>> dR=diff(y3,R) dR = pi*(R-r)2+h2)(1/2)+1/2*(R+r)/(R-r)2+h2)(1/2)*(2*R-2*r)+pi*(L-R)2+H2)(1/2)+1/2*pi*(L+R)/(L-R)2+H2)(1/2)*(-2*L+2*R)+k*(2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h+