勒让德函数（课堂PPT）

1、.1 2022-3-1.2.32022-3-1.4在球坐标系下0002sin cos(,)sin sincosxrryrzr Laplace方程的表达式为 22222221110sinsinsinuuurrrrrr 2022-3-1.5令 , ,u rR r 代入上式得22222220sinsinsinddRRddRdrrdrdrrddrd 用2rR 遍乘各项并移项整理，即得2222111sinsinsinddRdddrR drdrddd 10.1 10.1 2022-3-1.6引入参数1n n分解整理得222210d RdRrrn nRdrdr2221110sinsinsindddn ndd

2、 欧拉型方程球函数方程欧拉方程通解112()( )nnR rArA r12,A A为任意常数。10.1 10.1 2022-3-1.7求函数方程两端同时乘以2sin 并移项得 22211sinsinsindddn nddd 0 210sinsinsinddn ndd 引入参数 分解可得两个常微分方程10.1 10.1 2022-3-1.810.1 10.1 第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成本征值问题 02 解之可确定本征值20 1, ,mm 和相应的本征函数 cossinAmBm 2022-3-1.910.1 10.1 222210cotsinddmn ndd 第二个方程为连带的勒让德

3、方程令cosx ，并记( )(cos )P x 2222212101d PdPmxxn nPdxdxx 2022-3-1.10勒让德方程 2221210d PdPxxn nPdxdx m=0时6.1 6.1 .112022-3-1.1210. 2 10. 2 勒让德方程的求解勒让德方程的求解 2221210d ydyxxn nydxdx 考虑勒让德方程 2012( )ckky xxaa xa xa x 将其代入勒让德方程，得0201110()()()()()k ckkk ckkkc kcn na xkc kca x 令2022-3-1.132101201121110()()()()()()()

4、cckkk ckc ca xc ca xkckcakc kcn nax 012101021110()()()()()()()kkc cac cakckcakc kcn na 0101cc 或或或或比较可得21112()()()()()kkkc kcn naakckc 2022-3-1.14c =0时时20(1)2!l laa420(2)(3)(2)()(1)(3)4 34!l lll llaaa20(22)(24)()(1)(21)(2 )!kklkll llkaak10. 2 10. 2 依此可得2121()()() ()kkkn knaakk 递推公式2022-3-1.1531(1)(2)

5、3!l laa 531(3)(4)(3)(1)(2)(4)5 45!l lll llaaa211(21)(23)(1)(2)(2 )(21)!kklkll llkaak 10. 2 10. 2 2022-3-1.161122( )( )( )y xa y xa yx其中241235221(1)(2)(1)(3)12!4!(22)(24)()(1)(21)(2 )!(1)(2)(1)(3)(2)(4)3!5!(21)(23)(1)(2)(2 )(21)! kkn nn nnnyxxknknn nnkxknnnnnnyxxxknknn nnkxk10.10. 2 2 .172022-3-1.181

6、0.10. 3 2(2) (1)()(1) kkkkaank kn可以将其它系数一一推算出来，即2(1)2(21)nnn naan42(2)(3)(1)(2)(3)4(23)2 4(21)(23)nnnnnn nnnaaannn 将10.2中的递推公式写成.19为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式, 并且使所得的多项式在x=1处取的值等于1, 取an为2(2 )!1 3 5(21)(1,2,).2 ( !)!nnnnannn有2(22)!2 (1)!(2)!nnnann2022-3-1.201010. 3 4(24)!2!2 (2)!(4)!nnnann一般地当20nk时，有2(22 )!(

7、 1)!2 ()!(2 )! knknnkaknknk当n为正偶数时，将这些系数代入到1( )y x中得到212220(2 )!(22)!( )2 ( !)2 (1)!(2)!(22 )!( 1)2!()!(2 )!nnnnnknknknny xxxnnnnkxk nknk2022-3-1.2110.10. 3 n为正奇数时，将这些系数代入到2( )yx中得到12220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!nknknknkyxxk nknk这两个多项式可以统一写成 220(22 )!( )( 1),0,1,2,2!()!(2 )! nknknnknkP xxnk nknkn 阶勒让德多

8、项式 2022-3-1.22llllkllklxdxdlxklklkklxP)1(!21)!2()!( !2)!22()1()(22)92cos204cos35() 33035()()cos33cos5()35()() 12cos3() 13()(cos)(1)(6412481481321341221210 xxxPxxxPxxPxxPxP2022-3-1.23图象2022-3-1.242022-3-1.25勒让德多项式的微分表达式21( )(1) ,0,1,2,2!nnnnndP xxnn dx多项式的Rodrigues表达式 10.10. 3 当为整数时,取12( ),( )y xyx中总

9、有一个是勒让德多项式，在 1，1 上有界，2(2 )!2 ( !)nnnan时,这时另一个函数仍是无穷级数，记作( )lQ x2022-3-1.26此时Legendre方程的通解为12( )( )( )lly xC P xC Q x| |1lim|( )|lxQ x ( )lQ x称为第二类Legendre函数，它在 -1，1 上仍是无界的.10.10. 3 故必须取常数20c 从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式：第一类勒让德函数即勒让德多项式： 2022-3-1.27 注：法国数学家勒让德（注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 17251833）最早专）最早专

10、门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类类特殊函数由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为函数为勒让德函数勒让德函数.综合可得如下结论：综合可得如下结论：（1）当）当 l不是整数时，勒让德方程在区间不是整数时，勒让德方程在区间1 , 1上无有界的解上无有界的解 2022-3-1.28（2）当）当 ln为整数时，勒让德方程的通解为为整数时，勒让德方程的通解为 12( )P ( )Q ( )nny xcxcx，其中，其中 P ( )nx称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），称为

11、第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， Q ( )nx称为第二类勒让德函数称为第二类勒让德函数. ln为整数，且要求在自然边界条件下为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在即要求在 有界解的情况下有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解求解，则勒让德方程的解只有第一只有第一 类勒让德函数即勒让德多项式类勒让德函数即勒让德多项式P ( )nx因为第二类因为第二类勒让德函数勒让德函数 Q ( )nx在闭区间在闭区间 1 , 1上是无界的上是无界的2022-3-1.29则称则称u(x,r)为勒让德多项式的生成函数（母函数）为勒让德多项式的生成函数（母函数） 0210P ( ) (1)1 (11) 112

12、P ( ) (1)nnnnnnrxrxrxrxrr 211 2rxr叫作勒让德多项式的叫作勒让德多项式的生成函生成函数（或数（或母函数母函数） 10.5 勒让德多项式的生成函数（母函数）勒让德多项式的生成函数（母函数） 0( , )( )llu x rP x r2022-3-1.30如图如图10.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为04的正电荷，则在球内任一点的正电荷，则在球内任一点M（其球坐标记作（其球坐标记作, r）的静电势为）的静电势为 2cos2111rrd（10.5.1） 静电势静电势1d遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，遵从

13、拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴， 因此，因此，1d应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解的形式，应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解的形式，2022-3-1.31 x y z 04 d M r 图 19.1 2022-3-1.32即即1011P (cos)nnnnnnC rDdr （10.5.2） 首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心)0( r，电势应该是有限的，故必须取，电势应该是有限的，故必须取0lD 201P (cos ) (1)1 2 cosnnnlC rrrr （10.5.3） 为确定系数为确定系数nC，在上式中令，在上式中令0，并注意

14、到，并注意到(1)1nP则得到则得到 001P (1) (1)1nnnnnnnC rC rrr（10.5.4） 2022-3-1.33将上式左边在将上式左边在0r的邻领域上展为泰勒级数的邻领域上展为泰勒级数2311 (1)1lrrrrrr （10.5.5） 比较（比较（10.5.4）和（）和（10.5.5）即知）即知1nC (0,1,2,)n 于是（于是（10.5.3）成为）成为201P (cos ) (1)12 cosnnnrrrr (10.5.6)若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有0210P (cos ) (1)1 112 cosP (cos )

15、(1)nnnnnnrrrrrr（10.5.7） 2022-3-1.34 于（于（19.3.6）中代入）中代入 cosx，即为，即为 0210P ( ) (1)1 (11) 112P ( ) (1)nnnnnnrxrxrxrxrr （10.5.8） 因此因此2112 cosrr或或211 2rxr叫作勒让德多项式的叫作勒让德多项式的生成函生成函数（或数（或母函数母函数） .352022-3-1.361 勒让德多项式的正交性110,( )( )2,21mnmnP x P x dxmnn1212( )21nNPx dxn称为勒让德多项式的模值。0( )nnPx是一个正交的函数系. 2022-3-1.

16、37展开定理展开定理 设f ( x )为-1,1上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数，且f ( 1)1, f ( 1 )1， 则f ( x )可展开成 0( )( )nnnf xC P x1121( )( ),0,1,2,2nnnCf x P x dxn上式称为f ( x )的傅立叶勒让德级数，简称FL级数。其中2022-3-1.38例例1 1 将函数f ( x )|x|在区间（1，1）内展成勒让德多项式的级数。解解 因f ( x )在区间（1，1）内是偶函数，而21( )nPx是x的奇函数，故210,(0,1,2,)nCn10101101111( )2222Cf x dxxdxxdx下面计

17、算20,(0,1,2,)nCn2022-3-1.391221012210220122222222101241( )( )241( )( )24111(1)(1)22 (2 )!2 (2 )!(41)(22)!( 1)2 (1)!(1)!nnnnnnnnnnnnnnnCf x Px dxnxPx dxxPx dxnddxxdxxxdxndxndxnnnn 从而12211( 1)(41)(22)!|( )22 (1)!(1)!nnnnnnxPxnn2022-3-1.40 例 2 求证勒让德多项式的递推公式11(1)(21)nnnnPnxPnP01,P P已知时，反复利用上式可以推出任意阶当勒让德多

18、项式的表达式。2022-3-1.41轴对称拉普拉斯方程的求解0) 1(22RllrRRr有界)(),0(0sin)1()(sinll有界)1(0)1()1(2llxcosx1llllrBrAR0)(cos)(lllPrRu0)(cos)()(lllPaRf)(|fuar0u0) 1() (2RllRr勒让德多项式的应用勒让德多项式的应用2022-3-1.42例例3 3 球形域内的电位分布在半径为1的球内求调和函数u ，使其在球面上 满足 21|cosru解：在球面坐标系2222222111sinsinsinuuuurrrrrr 由于边界条件不依赖于，所以u也不依赖于所提问题可化为下列边值问题2222111sin0, 01,0sin|cosruurrrrrru2022-3-1.43代入方程得2( 2)( cot)0r RrRR 化简并引入参数2 2 ctgr RrRR 分解得到两个常微分方程2 20r RrRR cot0 用分离变量法求解，令( , )( ) ( )u rR r2022-3-1.44在第二个方程中，令(1),cos ,(arccos )( )n nxxP x则有2221210d PdPxxn nPdxdx 勒让德方程 为保证函数 u 的有界性 n 只能取为整数，此时( )( )nnP xC P x是方程在自然边界条件下的特征函