子主题一 与三角形面积相关的问题(案例)

1、子主题一 与三角形面积相关的问题(案例)学习目标知道如何两等分、三等分、四等分三角形的面积，知道三角形边的比与分割成的图形的面积之间的关系；能借助代数符号将图形的面积关系与边的关系表示出来，能运用方程的知识解决将三角形两边任意等分得到的三角形或四边形的面积问题 经历探究等分三角形面积和探究将三角形两边任意等分后得到的三角形或四边形的面积问题的过程，掌握用方程求面积的基本思想方法，学会分析复杂的图形，提高学生的空间想象能力 在探究分三角形面积的问题中感受数学知识之间的联系，提高对方程、三角形等知识应用意识；获得在探究较复杂的问题时克服困难和获得成功的体验重难点分析 三角形的顶点与边上的等分点相连

2、，把三角形分割成若干部分，通过等分边的比得到这些分割图形的面积关系，是本子主题的重点可以通过问题的变式突出这一重点，让学生学会利用代数的方法分析面积问题 本子主题的难点在于利用代数的方法分析几何关系特别是当三角形中增加的分割线段从两条增加到四条后，图形在视觉上复杂性的增强会带来心理上的障碍这时，可以通过帮助学生建立复杂问题与简单问题的联系、提醒学生耐心地用逐个突破的方式突破难点活动建议方案与三角形面积相关的问题活动建议方案一、活动流程框图与三角形面积相关的问题情境引入课题三角形的等积三角形剖分计算三角形的面积得出结论三角形剖分三个等积、四个等积三角形学生到黑板前画出图形并说明根据在已知条件下，

3、求三角形或四边形的面积由学生说明解题思路和解法三角形等分线分得图形的面积关系二、活动过程2.1活动一：怎样将三角形平分成面积相等的几部分？活动任务给定一个任意三角形,将其剖分成若干个面积相等的三角形，获得三角形等积剖分的基本规律活动内容：第一步：自主画图请学生独立在自己的学案中按如下要求完成画图：将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形, 称为该三角形的等积三角形剖分. (1) 给定一个任意三角形, 将其剖分成三个等积的三角形； (2) 给定一个任意三角形, 将其剖分成四个等积的三角形第二步：展示交流，全班总结请13名同学到黑板上画图，并讲一讲自己的画法及画法产生的过程，老师引导其他同学比较

4、不同的画法，总结规律建议从如下几个方面进行总结： 第一，总结画图方法例如， 将三角形的面积4等分，先将一边4等分得出四分之一面积，再将余下的面积三等分，得出三分之一面积，再将剩下的面积二等分，每一个边都可以分；还可以利用找边的中点，分成两个面积相等的三角形，再找边的中点再一次分成两个面积相等的小三角形. 这样也可与将三角形的面积2等分、4等分、8等分，即2n（n为正整数）等分第二，推广到一般情况给定一个任意三角形,将其剖分成n个等积的三角形,就可以转化为将边n等分,即已知面积比求边的比;为了使得分成的 三角形不知单调，可以采用类似四等分中的变通的方式分割 活动组织方式：以学生独立思考为基础的小

5、组合作，教师引导活动评价方式： 从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价、学生互评、学生自评的方式所需学习资源三角形耳环（1）.jpg三角形耳环（2）.jpg三角形发圈.jpg三角形的建筑.jpg三角形的钟表.jpg将一个三角形分为两个面积相等的三角形（1）.jpg将一个三角形分为两个面积相等的三角形（2）.jpg将一个三角形分为两个面积相等的三角形（3）.jpg将一个三角形分为两个面积相等的三角形.swf将一个三角形分为三个面积相等的三角形（1）.jpg将一个三角形分为三个面积相等的三角形（2）.jpg将一个三角形分为三个面积相等的三角形（3）.jpg将一个三

6、角形分为三个面积相等的三角形（4）.jpg将一个三角形分为三个面积相等的三角形（5）.jpg划分出面积为原三角形三分之一的三角形（1）.swf划分出面积为原三角形三分之一的三角形（2）.swf将一个三角形划分为三个面积相等的三角形（1）.swf将一个三角形划分为三个面积相等的三角形（2）.swf将一个三角形分为四个面积相等的三角形（1）.jpg将一个三角形分为四个面积相等的三角形（2）.jpg将一个三角形分为四个面积相等的三角形（3）.jpg将一个三角形分为四个面积相等的三角形（4）.jpg将一个三角形划分为四个面积相等的三角形（1）.swf将一个三角形划分为四个面积相等的三角形（2）.swf

7、将一个三角形划分为四个面积相等的三角形（3）.swf所需学习时间15分钟2.2 活动二：等分边引出的面积问题活动任务：解决等分边在已知条件中，求小三角形或四边形的面积活动内容：第一步：提出探究任务：教师借助学案或者多媒体资源（见媒体资源）向学生提出如下问题：问题1：如图1，ABC面积为1，D为BC的中点，E为AC的中点，图中四块小三角形或四边形的面积各是多少？问题2：如图2，ABC面积为1，D、E为BC的三等分点，F、G为AC的三等分点图中九块小三角形或四边形的面积各是多少？图1图2第二步：自主合作探究请同学以小组为单位进行研究，教师巡视，根据需要，可以提出如下建议：第一，建议每位同学首先在学

8、案上独立完成问题，然后再与本组其他同学交流；第二，题目中直接看不出给出的几个图形面积间的关系，可以通过添加辅助线建立各个图形面积的关系，思考条件中边上各个点都是等分点的意义；第三，问题1与问题2的联系是什么？这种联系对于解决问题2这个更为复杂的问题有何启示？第三步：集体交流总结请24名同学代表本组到黑板展示自己的思路，老师引导全班总结，可将重点放在问题1的分析和解题方法的总结上建议从如下几个方面总结：第一，关于问题1的解题思路的总结首先，题目让求四个图形的面积的关键在于分析出四个图形的面积间的关系，四个未知量我们需要获得四个等量关系：四个图形的面积和为1；根据D、E均为三角形边的中点的条件，可

9、知有邻边的两个图形的面积和均为；等量代换可知三角形BPD与APE的面积相等；连接PC，将四边形PCDE分成两个三角形，可知其面积等于三角形BPD与APE面积之和；综合上面四个条件，就可以得到四个图形的面积分别为：三角形PBP面积为，三角形BPD和三角形APE面积均为，四边形PCDE面积为；其次，在分析和求解过程中，引入未知数，将各个关系不断通过符号表示，使得我们思维和分析的成果能够得到积累，通过建立方程或者方程组解决，实际上，解决几何中的问题也常常可以用方程、方程组作为工具第二，关于问题2，注意到其中的条件是“三等分点”，可以先考虑一个每条边上一个三等分点的情况，问题1中的“中点”改为“三等分

10、点”，得到如下图所示的四种情况，然后利用问题1的方法，分别得到ABN，BDM，四边形CEFP和AQG的面积分别为：；类似地，可以得到由两部分组成的图形的面积，进而得到所有图形的面积这道题可以看成是问题1的推广，只是由于未知量个数多，图形复杂，所以建立各个未知量的关系式需要更多的细心和耐心，抓住其中一个策略逐个突破，不急着一步到位可以通过多媒体（见媒体资源）向同学介绍具体的解题方法活动组织方式：先让学生自己在学案上独立完成，再请同学展示自己的解题思路和成果，教师点评总结活动评价方式： 从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价、学生互评、学生自评的方式所需学习资源等

11、分边引出的面积问题（1）.swf等分边引出的面积问题（1）.doc等分边引出的面积问题（1）解法1.doc等分边引出的面积问题（1）解法2.doc等分边引出的面积问题（1）.jpg等分边引出的面积问题（1）解法参考图1.jpg等分边引出的面积问题（1）解法参考图2.jpg三角形中线的性质.swf等分边引出的面积问题（2）.swf等分边引出的面积问题（2）.doc等分边引出的面积问题（2）解法.doc等分边引出的面积问题（2）.jpg等分边引出的面积问题（2）解法参考图1.jpg等分边引出的面积问题（2）解法参考图2.jpg等分边引出的面积问题（2）解法参考图3.jpg等分边引出的面积问题（2）

12、解法参考图4.jpg等分边引出的面积问题（2）解法参考图5.jpg所需学习时间25分钟媒体资源学习评价分过程性学习评价和学习效果测试两种“与三角形面积相关的问题”过程性学习评价表学习效果测试姓名_等级_ 1如图，对面积为1的ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到A2B2C2，记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到A5B5C5，则其面积S5=_ 2如图，是某个公园ABCDE的平面图，M是AB的中点, N为CD的中点，P为DE的中点，Q为FA的中点. 其中游览区APEQ与BNDM的面积和是900平方米，中间湖水面积为361平方米，其余的部分是草地，则草地的总面积是_平方米 3如图，在ABC中，AD =AB，BE = EF = FC， CG =CA，若SABC = 1，求四边形DEFG面积4如图，已知长方形的面积是36平方厘米，