实验误差分析实务

1、實驗誤差分析實務一、前言任何觀察及度量恆具某種程度之誤差，此種誤差大致可分成三類，即為持久性誤差(Persistent Errors)、偶然誤差(Accidental Errors)、及錯誤(Mistakes)。持久性誤差對任何觀察及度量均產生同一影響。如使用儀器，由於不適當之調整或裝置，及其本身之精密程度所產生之儀器誤差。觀察人員對變動中觀察值之讀數，因反應性之不同恆有不及或過餘之紀錄，而產生個人誤差等等均屬之，此類誤差均屬可定且可藉適當之校正而補救者。錯誤常由於觀察人員誤讀或誤記，儀器突然工作不正常，環境發生短時期之突變等等而產生不合情理之誤差，此類誤差雖無規律可循，但可藉細心謹慎而予以防

2、止。偶然誤差為觀察及度量時另一種誤差，其產生之原由無從探悉，且無從確定，但恆為微小之誤差且可藉數學中機率予以分析者。以下所述即根據機率之方法所導出有關觀察及度量中，偶然誤差之分析及精密度之決定等等。二、偶然誤差常態機率曲線之意義對於偶然誤差之性質，可藉由下列實驗來說明，而得進一步之瞭解。觀察人員利用觀察或度量以確定一未知量，其性質與射手打靶時瞄準紅心之情形類似，茲利用11呎之靶標，分成11格，並用某種型別之槍，瞄準其紅心發射1000發子彈，紀錄其中靶次數如圖1。圖1(右3)79193204190212894101216該槍若瞄準紅心只發射一發子彈，吾人實不能預斷其落於靶標上之位置，但根據上述實

3、驗之結果，可稱其打中紅心格內之機率為212/1000=0.212。打中右3格內之機率為193/1000=0.193等等。利用此項機率之觀念，可將上述實驗之結果繪成如下圖，其中x座標代表每格中心線離紅心之橫向距離，其中y座標正比於所紀錄之中靶次數。而得離散點，且繪出長方形如圖2所示。令i格所中發數為Ni，而圖中對應之長方形面積為Ai，則必有只射一發而落在i格內之機率Pi，亦正比於實驗時所中之發數Ni，而有故得因此，一發中靶之機率為-5.5-4.5-3.5-2.5-1.5-0.55.54.53.52.51.50.5XOY圖2現假想每一格之寬度縮至極微，靶標之寬度增至無窮，而實驗時試射發數亦增至無窮

4、，則圖2長方形面積之總和即由一曲線下之面積所取代，而得上式中之積分式必為一有限數，蓋一發中靶已成為必然，其機率成為1，故得既知該曲線之面積為有限數，故可取適當之比例尺而使其面積為1，而得，依據上述原則而繪成之曲線如下圖，在任何指定間隔內中靶之機率，即為該曲線下所包括之面積，如圖3中所示者為。(x,y)rxYXO圖3所得之曲線稱為常態機率曲線(Normal Probability Curve)。而本節所討論之觀察及度量之誤差中，其偶然誤差與上述一發中靶之機率性質，復極相似，故一般均引用上述機率之觀念以衡量偶然誤差。現設偶然誤差之分布正如常態機率曲線且已知時，則憑此曲線可決定：1. 一次度量之產生

5、偶然誤差，數值介於及者，其機率為2. 一次度量之產生偶然誤差，數值介於及者，其機率為3. 一次度量之產生偶然誤差，數值介於及之間者，其機率為三、常態機率曲線函數之推導在導出常態機率曲線之公式前，吾人首先注意下列各項事實：1. 同等程度之正誤差與負誤差，出現之機會相同。因常態機率曲線與y軸成對稱，即為偶函數；2. 產生小誤差之機會與產生大誤差之機會，以前者為高。可知誤差出現之機率，視誤差之大小而定；3. 極大誤差產生之機會甚微。根據上列事實，可先令常態機率曲線函數，在利用前述打靶實驗，以紅心為原點，對靶標上任一點處加以研究。參考圖4。dzQZXdxOXZ圖4一發而中寬度為之長條，其機率寫成；一發

6、而中寬度為之長條，其機率寫成(此係假定打靶所用之槍，上下左右各方向之性質均相同而言)。因此，一發而中Q點處一小方格之機率為，現若在靶標上通過紅心而繪出另一軸線組，則一發而中Q點處一小點方格之機率為。若該小方格為極微，則不再區分得出及。又認中靶之機率與所取之座標軸線無關，故得現若令通過Q點，則，而得其中A為某一常數。上式為一未定函數之方程式，可由微分後再積分之方法求得其函數形式如下：上二式之右邊相等，故得即(常數)即積分而成而即又因之值增加時，之值減少，故可令而得常態機率曲線之形式為上式中常數，可藉由該曲線下之面積為1之定義求得，為上式中積分式，常稱為Laplace積分式，可藉座標轉換而得，結果

7、如下：令得改用極座標，故，因此而求得，。最後得常態機率曲線，又稱高斯機率曲線(Gauss)，又稱誤差正規分布曲線為(1)此式中常數，有時稱為精密指標(Index of Precision)，因為精密指數越高(越大)之觀察或度量，其誤差之正規分布函數中間部分凸起越高，而兩邊落降程度越速，亦即代表度量產生小誤差之機率為高之意。某類觀察或度量，若其精密指標已求出(之求法，後面討論)則就一次度量而言：1. 誤差介於及之間，其機率為2. 誤差介於及之間，其機率為3. 誤差介於及之間，其機率為接者討論一次度量誤差介於及之機率(2)可寫成(3)此積分式常稱為機率積分式(Probability Integra

8、l)或誤差函數(Erroe Function)。【例1】 已知度量某一角時之精密指標：求(a) 讀數偶然誤差在至左右之機率為何？(b) 偶然誤差不致大於時之機率為何？【解】(a)，所以可能性不高(b)所以可能性很高【例2】 一槍在4000碼距離打靶時，其水平及垂直方向之精密指標，已知為及：求(a) 靶寬10碼高6碼時，一發中靶之機率？(b) 若共打30發，求預期中靶之次數？(c) 若共打30發，求中靶之機率？【解】(a)此為一發中靶之機率(b) 由(a)之結果可知，平均而論若試射之次數較多時，每15發可中一發：，所以打30發，預計中靶之次數約為次。(c) 發射一發不中之機率為，因此連續30發均

9、不中靶之機率為，故中靶之機率為。說明研究一般性之機率時，吾人常定義隨機變數(Random Variable)在區間內之機率為且其中函數稱為機率密度函數(Probability Density Function)，又定義函數稱為分布函數(請注意，此分布函數不一定為吾人前述正規分布函數)，亦即此為統計學中所常使用已研究隨機變數之機率，吾人此處所作之討論，只是其中之一而已。四、函數之誤差律為使後面章節能使用恰當的定理，先討論一些基本數學定理。回顧流體力學中所提及管流流場特性之判別方法，時，流場為所謂的層流；，流場為過渡流；，流場為紊流。而參數，定義為，此意味者，吾人不可能直接量得，必須先測知、之後方

10、能計算出，如此一來個別參數的誤差當然會影響的精確度，本節先介紹其分析理論，後面再將實務分析方法整理出來。設有函數(4)則(5)(5)式說明自變數之誤差與應變數(或函數)應有之關係，不論因任何原由而發生之微小誤差，恆適合上列關係。現若自變數之誤差為偶然誤差，並且為正規分布，且其個別精密指標分別為，則可證得該函數之偶然誤差亦為正規分布函數(6)其中為該函數之整體精密指標，其與各變數之精密指標之關係是表示成(7)五、最小二乘方定理與權值如吾人以量具量測中之特徵長度，可之實驗室中常見量具可能有直尺、捲尺、游標卡尺等工具，若吾人分別以不同的量具量測，那如何分析其總和誤差呢？為說明此狀況，吾人先將問題簡化

11、。吾人對剛剛提及的數量，先用同一精密指標之儀器量測，作次之度量而得，以期獲得接近正確之值。現令個別度量之偶然誤差分別為，則個別量測之誤差機率分別為，而此組誤差同時發生之機率為(8)當此組誤差同時發生之機率為最大時，即誤差為最小，由此吾人即可獲得最具代表性，或最佳量出之數值，稱為最可信值(Most Probable Value)。(8)式中因，均為完全任意之微量，故該式最大時，表示其指數必為最小，而有(9)由此而得有關誤差之最小二乘方定理如下：一組精密指標相同之觀察或度量之最可信值，可用其個別誤差平方之和最小為條件而求出。若一組觀察或度量，其精密指標不同時，廣義最小二乘方定理為：(10)並定義(

12、11)稱為第次量度之權值，代表該次度量之重要性。精密指標越高之一次度量，其中重要性越高；精密指標越低之一次度量，其中重要性越低。而其中之常數，為單位權值之精密指標，所以(10)改寫成(12)得廣義最小二乘方定理如下：一組精密指標不同之觀察或度量之最可信值，可用其個別誤差平方，乘以個別權值係數以後，相加而得其和最小為條件而求出。六、一組實驗數據誤差分析方法：概述本節開始吾人開始討論實驗誤差分析實務，由簡入繁先探討某量直接量測之實驗誤差分析方法，再討論組合量之誤差分析方法。某量經直接度量而決定其近真值(後面說明)，其精密度之衡量方式，常用的表示法有三種，即1. 均方誤差(Mean Square E

13、rror)，又稱為標準偏差(Standard Deviation)，用符號2. 可信誤差(Probable Error)，用符號表示，或寫成P.E.，常由美、英國家所採用。3. 平均誤差(Average Error)，用符號表示，或寫成A.E.，常由美國採用。說明各分析法之前，先說明一些基本概念。若吾人以量具直接量測某數量，其誤差可寫成：誤差=正確值度量值或(13)但實際上所度量之量，與度量所用之方法與儀器，具不可通性(Incommensurable)，因此(13)式中之正確值實無從亦無法決定。而吾人實際上只能盡最大之努力由一組度量值，以求出近真值，但究竟不是正確值，故2數間之差數便不能稱為誤

14、差，而稱為殘數(Residual)，定義為殘數=近真值度量值或(14)由方程式(12)得(15)以此方程式求得之近真值稱為加權平均值(Weighted Average Value)。若以同一量具量測時，其權值皆相同，所以近真值為(16)為常見之算術平均數(Arithmetic Mean Value)。如此一組直接量測量之殘數即被成功的描述成(17)( )(18)需特別注意的是，因為實際計算時，捨位的關係所以方程式(17)不一定為零。觀察方程式(13)，若一組量測值，又當權值相同時，套用方程式(16)得(19)將方程式(19)引入方程式(14)得(20)方程式(20)說明了，對任一個殘值而言，均

15、為之函數，即。第四節中，曾提及若【，現若自變數之誤差為偶然誤差，並且為正規分布，且其個別精密指標分別為，則可證得該函數之偶然誤差亦為正規分布函數(6)其中為該函數之整體精密指標，其與各變數之精密指標之關係是表示成(7)】如此套用方程式(7)，得 (21)因為此組數據皆以同一量具測得，因此權值相同，精密指標也應相同，所以方程式(21)之關係式與無關，改寫成(22)再次提醒，方程式(22)僅適用於權值相同的情況。現在開始說明本節剛開始提及的各種誤差：1.一組精密指標相同之度量，同時產生誤差之機率為(23)觀察上式可知，吾人需要定義出精密指標的意義，才能比較各量具間的差異，或說是精密程度，當然從儀器

16、解析度上可以輕易看出差異，但是那不夠嚴謹。如此吾人定，代表精密指標之值，便具數學上之一般性，如此得又為均方根誤差，如此均方根誤差與精密指標之關係為(25)故一組數據量測誤差在不超過均方根誤差之機率為(26)上式所得之數值0.6827稱為信心程度(Confidence Level)，而則稱為信心程度極限(Confidence Limit)，代表量測到之值落在如圖3之常態分布曲線中，距離Y軸以內的機率為68.27%。2. 可信誤差，P.E.，可信誤差之定義，係指量測之值落在信心程度極限為以內之機率為50%，即(27)(28)將方程式(24、25)帶入方程式(28)中得(29)3. 平均誤差，A.E

17、.，平均誤差係以全部可能誤差數值之算術平均值為定義。一次度量，其誤差範圍在者，其機率為次度量，在同一範圍者之誤差，其機率為上式之倍，乘以誤差值即為此誤差之總值，故為因之包含全部誤差範圍者之總誤差值為故得平均度量之平均誤差()為(30)所以(31)因此誤差在平均誤差內()之機率成為(32)將上述之誤差整理如下圖表Confidence Level(M.S.E.) 1.00001.48261.25330.7071(P.E.) 0.67451.0000.84530.4769(A.E.) 0.79791.18291.00000.5642曲線之反曲點位置線曲線下面積之質心位置線曲線下面積之平分線YXO圖5

18、三者之關係已建立如上，故實際應用時僅需取其一作為精密度之衡量即可，因此接下來吾人選取可信誤差(P.E.、)為基礎，繼續討論。七、一組實驗數據誤差分析方法：可信誤差與權值之關係由前述知及推得下列關係式(33)故知第次度量其可信誤差之平方與該次度量之權值成反比。若用某次度量之權值為1，得(34)如次直接度量皆採同一權值之儀器時，則其算術平均值(可信值)之權值為，故該平均值之可信誤差，寫成，成為(35)如次直接度量採不同權值之儀器時，因每次權值不同，所以算術平均值(可信值)之權值為故該平均值之可信誤差，成為(36)由方程式(35)可知，平均值之可信誤差隨度量次數之增加而減少，如圖6所示，可見度量次數

19、愈大，可信誤差則越小，但通常度量次數亦無須超過10次。2015105On圖6八、一組實驗數據誤差分析方法：利用殘值計算可信誤差以上所討論有關度量誤差之計算，均用實際誤差值為依據，實際上吾人是無從確定真實值，故此處需利用殘值以作精密之衡量依據，因殘值之機率亦具常態分布之特性，可寫成(37)其中即為殘值之精密指標，若每次度量之權值相同時，則同時產生殘值之機率為(38)定義其精密指標為得由方程式(22)知及方程式(25)知得故(39)(40)此即由同一精密之儀器量度次，利用所求出之殘值，以決定直接度量之近真誤差。將所有相關方程式，列於下1. 相同精度之度量：直接度量之可信誤差(41)算術平均數之可信誤差(42)2. 不同精度之度量：權值為1，直接度量之可信誤差(43)權值為，直接度量之可信誤差(44)加權平均數之可信誤差(45)計算時，若發覺某次度量之殘數，已超過直接度量之可信誤差5倍時，則剔除該筆記錄，蓋可能有觀察或度量之錯誤。方程式(41)(45)成立的條件為，度量次數大於等於30次；若不足則不成立，需再深入研究統計學才可。【例3】 某一長度，用同一方法及儀器，作10次度量而得如下：求(a) 該長度之可信值？(b) 可信誤差？【解】(a)可信值為且(b) 直接量測可信誤差為近真值之可信誤差為故將所量之長度寫成其實際涵義正確的說應為：正確長度落在區間455.287,