北京四中---高中数学高考综合复习 专题十七 算术平

1、高中数学高考综合复习 专题十七 算术平均数与几何平均数一、知识网络 二、高考考点1、运用重要不等式a2+b22ab（a、bR）或 （a、bR+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。1、 关于不等式的“基本性质”（1）对称性：a>b b<a（2）传递性：a>b,b>c a>c（3）“数加“法则

2、：a>b a+c>b+c推论：a+b>c a>c-b（移项法则）（4）“数乘”法则：a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac<bc2、关于不等式“两边运算”的性质（1）同向不等式两边“相加”：a>b,c>d a+c>b+d;（2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0 ac>bd；（3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0 an>bn>0(n N*);（4） 正数不等式两边“开方” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等

3、式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）（二）基本定理及其推论定理1：如果a,b R，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时等号成立）推论（平方和不等式）： （当且仅当a=b时等号成立）定理2：如果a,b R+，那么 （当且仅当a=b时等号成立）推论1（和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）24ab（当且仅当a=b时等号成立）推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值 （当且仅当x=y时取得）；（2）当和x+y为定值S时，积有最大值 （当且仅当x=y时取得）；四、经典

4、例题例1（1）若x,y R+且 的最大值.（2）若x,yR且xy>0，x2y2，求uxyx2的最小值.分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等（1）欲求积 的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2： （2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。解：（1）注意到这里x>0，u>0， = （当且仅当 ） 时等号成立）。 （2）由已知得 =3(当且仅当 时成立)u

5、min=3（当且仅当x=1且y=2时取得）点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。例2 （1）若x,y,a,b R+，ab，且 ，求ux+y的最小值；（2）若0<x<1，a，b为常数，且ab>0，求 的最小值.分析：对于（1）如何利用 ,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”；对于（2），注意到这里0<x<1，并且两个分母之和为1：x+(1-x)=1,在 (1)的基础上易于寻出解题思路。解：（1）解法一（利用“1的替换

6、”）：x,y,a,b R+ 解法二（运用“三角替换”）：注意到 令 则有x=asec2，y=bcsc2 u= asec2+bcsc2=(atan2+bcot2)+(a+b) (当且仅当atan2bcot2 时等号成立) (2)注意到这里0<x<1，且x+(1-x)=1，令x=cos2,则1-x=sin2( ) (当且仅当 时等号成立）ymin=(a+b)2(当且仅当 时取得)点评:对于(1), 是明显的;对于(2),x+(1-x)=1是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。例3（1）设a,b,c是RtABC的三边，c为斜边之长，且a

7、+b+c=4,试求C的取值范围；（2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二：(i)由已知条件与重要不等式导出关于 的不等式，而后由这一不等式解出 的取值范围；（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导 的取值范围。解：（1）由已知得c2=a2+b2 (利用三角形的特殊性) 4-c=a+b （以c为主元整理或变形） 注意到a,b R+且满足 2（a2+b2）(a+b)2 将，代入得 2c2(4-c)2 再注意到这里a+b>c(利用三角形的普通性质) a+b+c>

8、;2c又a+b+c=4 c<2 于是由、得 所求C的取值范围为 （2）由已知得 b2=ac 1-b=a+c (以b为主元整理或变形)为利用重要不等式而讨论：由题设知a、c同号（i）当a,c同为正数时， (当且仅当a=c时等号成立)由得a+c2|b|再由得1-b2|b| 2|b|+b1 若b>0，则由得 ；若b<0， 则由得-1b<0由解得-1b<0或 (ii)当a,c 同为负数时， 由、得 1-b-2|b| 2|b|-b-1无解于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为-1，0）（0， 点评：（1）、（2）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平

9、均数大小的不等式导出有关变量的取值范围，这也展示了这一类问题的基本解法。例4（1）已知a>b>c，不等式 恒成立，求k的最大值（2）已知x,y R+,且不等式 恒成立，求a的最小值分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。解：（1）a>b>c原不等式恒成立 恒成立 令 则 ku的最小值 又 (分子主动与分母沟通联系) 4（当且仅当 时等号成立）umin=4(当且仅当a+c=2b时取得) 于是由、得 k4，即k的最大值为4（2）不等式 恒成立 恒成立 恒成立(为便于利用重要不等式而变形) 恒成立(化生为熟转化成功) 令

10、 则 au的最大值 x，yR+ (当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时取得) 于是由、得 ，即a的最小值为 例5已知a,b R+，且a+b=1，求证：（1） （2） （3）（4） （5） （6） 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面（i）直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入；（ii） 换元转化：令a=cos2 , （iii）借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。联想1：由已知等式本身联想重要不等式：a,b R+，且 （1）由左边a+b联想

11、重要不等式 （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立）（2） （当且仅当a=b时等号成立）联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式 （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立） 这与联想1中推出的结果殊途同归.对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。证明：（1）证法一(分析转化、化生为熟)：原不等式 又 不等式（*）成立，原不等式成立。证法二：（化整为零，化隐为明）；注意到 当且仅当 时等号成立同理 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)(2)利用前面的推论，左边 (3)略(4)利用前面的结论,左边 (

12、当且仅当 时等号成立)(5)利用前面的推论得 为了构造同向不等式,对左边配方:左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)(6)解法一:(为了构造“同向不等式”)硬性提取 后再作变形):左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)左边 (当且仅当 时等号成立)解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习点评（1)的证明告诉我们,对于感觉生疏的不等式的证明,要注意通过等价变形来认知它的本来面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作

13、用。例6、（1）已知x,y R+，且x+y=1，试求 (i) 的最小值；（ii） 的最小值。（2）已知a,b R+，且a3+b3=2，求证： （i）ab1; (ii)a+b2分析：对于（1）本质上是例5 （5）（6）的改作题；对于（2），仍可仿照例5中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路解：（1）从略(2)证明：注意到已知条件a3+b3=2 (a+b)(a2+b2-ab)=2 (i)由式左边联想重要不等式 a2+b22ab 由得 a2+b2-abab>0 由得 (当且仅当a=b=1时等号成立) 由、得 （当且仅当a=b=1时等号成立）（ii）由式左边联想重要不等式 由、得 (当且仅当a=b=

14、1时等号成立) （a+b）38 a+b2(当且仅当a=b时等号成立)命题得证点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（2），也可以根据已知条件a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果不一定理想，事实上，设 则 ；（i）得证；而a+b2则难以证明,同学们不妨一试.五、高考真题1、（2004辽宁卷）对于0<a<1,给出下列四个不等式： （1） （2） （3） （4） 其中成立的是（ ） A.1与（3） B.（1）与（4） C.（2）与（3） D.（2）与（4）分析：从0<a<1入手去比较1+a与 的大小0<a<1 又当0<a<

15、;1时，y=logax为减函数 当0<a<1时，y=ax为减函数， 于是由（*）、（*）知本题应选D2、（2004全国卷II）：已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为（ ）A. 分析：为建立“已知”与“目标”的联系，考察已知三式的和： 将与已知各式联立，解得 即 注意到欲求ab+bc+ca的最小值，只需a、b同号且c与它们反号ab+bc+ac的最小值为 应选B3、（2005湖南卷）集合 B=x| |x-b|<a，若“a=1”是“AB ”的充分条件，则b的取值范围可以是（ ）A.-2b<0 B.0<b2 C.-3<b<-1 D.-1b<2分析：从认知与化简集合A、B切入A=（-1，1）， B=（b-a, b+a）当a=1时，B=（b-1,b+1）此时，令b=0 则B=（-1，1），显然 AB ，符合要求，由此否定A，B；令b=-1，则B=（-2，0）此时，AB=（-1，1）（-2，0）=（-1，0） ，符合要求，否定C.于是可知应选D.4、（2005，天津卷）给出下列三个命题（1）若ab>-1,则 （2）若正整数m和n满足mn，则 （3）设P(x1,y1)为圆01；x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2