泊松过程及维纳过程

1、整理课件一、独立增量过程一、独立增量过程二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型泊松过程及维纳过程整理课件.,(0, )()(, 0),(上的增量上的增量为随机过程在区间为随机过程在区间称随机变量称随机变量给定二阶矩过程给定二阶矩过程tstssXtXttX .0),(,)()(,),()(),()( ,011201210为为则称则称相互独立相互独立个增量个增量和任意选定的和任意选定的正整数正整数如果对任意选定的如果对任意选定的 ttXtXtXtXtXtXtXnttttnnnn独立增量过程独立增量过程特征特征: 在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上

2、, ,状态的增量是相互状态的增量是相互独立的独立的. .一、独立增量过程整理课件.)0()()(,0)0(布布确确定定的的分分分分布布函函数数族族可可以以由由增增量量独独立立增增量量过过程程的的有有限限维维的的条条件件下下在在tssXtXX 当增量具有平稳性时当增量具有平稳性时, ,称相应的独立增量过程称相应的独立增量过程是是齐次的齐次的或或时齐的时齐的.则称则称增量具有平稳性增量具有平稳性.,)()()()(,0具有相同的分布具有相同的分布和和和和如果对任意的实数如果对任意的实数sXtXhsXhtXhthsh .,)()(,本本身身和和而而不不依依赖赖于于布布函函数数只只依依赖赖于于时时间间

3、差差的的分分那那么么增增量量如如果果增增量量具具有有平平稳稳性性ststsXtX 整理课件独立增量过程的协方差函数独立增量过程的协方差函数 CX (s, t ).)(,0)0(已已知知方方差差函函数数设设tDXX . )()()(ttXtYX 记记;)(,)(也也具具有有独独立立增增量量具具有有独独立立增增量量时时当当tYtX).()()(, 0)(, 0)0(2tDtYEtDtYEYXY 有有时时当当因因此此,0,ts )()(),(tYsYEtsCX )()()()(0()(sYsYtYYsYE 整理课件)()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()0()(2sYEsYtYE

4、YsYE ).(sDX 表示为表示为数数协方差函数可用方差函协方差函数可用方差函对任意对任意因此因此,0, ts).,(min(),(tsDtsCXX 整理课件1. 问题的提出问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现下列事件随时间的推移迟早会重复出现. .(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极; ;(2) 意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生; ;(3) 要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站. .二、泊松过程的数学模型整理课件2. 问题的分析与求解问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点将电子、顾客等看作时间轴上的质点, ,电子

5、到电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现点出现. .因此研究的对象可以认为是因此研究的对象可以认为是随时间推移随时间推移,陆陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流质点流., 0(0, )(出出现现的的质质点点数数时时间间轴轴上上内内表表示示在在时时间间间间隔隔用用tttN .,0),(称称为为续续的的随随机机过过程程、时时间间连连是是一一个个状状态态取取非非负负整整数数 ttN计计数数过过程程整理课件计数过程的一个典型样本函数计数过程的一个典型样本函数整理课件.,(,0, )()()

6、,(0000内出现的质点数内出现的质点数间隔间隔表示在时间表示在时间记记tttttNtNttN 的的概概率率为为随随机机事事件件),(0kttN ., 2, 1 , 0,),(),(00 kkttNPttPk的假设的假设对对)(tN(1) 在不相重叠的区间上的增量具有独立性在不相重叠的区间上的增量具有独立性. .,)2(t 对于充分小的对于充分小的),(1),(),(1tottttNPtttP .)(0的的强强度度称称为为过过程程常常数数tN 整理课件,)3(t 对对于于充充分分小小的的)(),(),(22tojtttNPtttPjjj . 0)0()4( N. 0),(4)(1)(2)(3)

7、(作作称称的的计计数数过过程程满满足足条条件件 ttN的泊松过程的泊松过程强度为强度为 . ,21称作称作点出现的随机时刻点出现的随机时刻相应的质点流或质相应的质点流或质tt的的泊泊松松流流强强度度为为 整理课件 210),(),(1),(kktttPtttPtttP增量的分布律增量的分布律所所以以根根据据假假设设有有由由于于,1),(00 kkttP. )(1tot 概率的计算概率的计算. ),(,000ttPt先先计计算算时时当当 0),(),(000 tttNPtttP0),(),(0 tttNttNP,0),(, 0),(0 tttNttNP整理课件0),(, 0),(),(000 t

8、ttNttNPtttP0),(0),(0 tttNPttNP),(1),(00totttP ),(),(),(),(000000totttPttPtttP ,)(),(),(),(000000ttottPtttPtttP 取取极极限限得得微微分分方方程程令令,0 t).,(d),(d0000ttPtttP 整理课件, 0),(00 ttN因为因为利用初值条件求解微分方程可得利用初值条件求解微分方程可得. ,e),(0)(000ttttPtt . 1),(0 kttPk再再计计算算),(),(),(00ktttNttNPktttNP kjjkttNPjtttNP00),(),(. 1),(000

9、 ttP所所以以 kjjkjttPtttP00),(),(整理课件),(),(),(),(220totttPttPtttPjjkjjkj ,2时时因因为为当当 k kjjkjkttPtttPtttP000),(),(),(所以所以).1( ),(),()( ),()(1010 ktottPtotttPtotkk 将此式进行整理后可得将此式进行整理后可得整理课件),(1),(),( ),(),(),(),(01001000tottPttPtttPtttPttPtttPkkkkkk 差差分分方方程程取取极极限限得得微微分分令令两两边边除除以以 , 0,tt. ),(),(d),(d00100ttt

10、tPttPtttPkkk . 1 , 0),(, 0),(0000 kttPttNk所所以以因因为为的的表表达达式式可可得得利利用用初初值值条条件件和和令令),(, 100ttPk . ,e )(),(0)(0010ttttttPtt 整理课件可可得得利利用用初初始始条条件件和和令令),(),(, 20100ttPttPk . ,e2)(),(0)(20020ttttttPtt 如此重复如此重复, ,一般地可得到一般地可得到., 1 , 0, ,e!)( ),(),(0)(0000 kttkttkttNPttPttkk 结论结论.;,)()()(),(0000立增量过程立增量过程的泊松过程是齐

11、次的独的泊松过程是齐次的独度为度为强强有关有关且只与时间差且只与时间差的泊松分布的泊松分布为为的概率分布是参数的概率分布是参数增量增量 tttttNtNttN 整理课件泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征. 0 ),()()(000 tttttNtN ).()()(Var)()(000tttNtNtNtNE 可可得得根根据据假假设设令令0)0(,00 Nt,)(ttNE ,)(Var)(ttNtDN 均值函数均值函数方差函数方差函数.)(ttNE 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值质点数目的期望值. .整理课件. 0, ),min(

12、),( tststsCN 协方差函数协方差函数. 0,),min()()(),(2 tstssttNsNEtsRN 相关函数相关函数.,0, )(程程是是非非齐齐次次的的则则称称泊泊松松过过的的函函数数是是时时间间若若 ttt 对非齐次泊松过程对非齐次泊松过程, ,用类似的方法可以求出增用类似的方法可以求出增量的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征量的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征. .整理课件3. 与泊松过程有关的随机变量与泊松过程有关的随机变量(1)等待时间等待时间设质点设质点( (或事件或事件) )依次重复出现的时刻依次重复出现的时刻,21nttt.0),( ,为为相相应应泊泊

13、松松过过程程的的泊泊松松流流是是强强度度为为 ttN ,2,1,00 ntWWnn记记.)(,现现的的出出次次或或事事件件第第个个质质点点表表示示第第是是随随机机变变量量则则nnWn等待时间等待时间1T2TkTO1W1 kWkW2W整理课件)(tWPtFWnWnn 的分布函数的分布函数,)(ntNtWn 因因为为1)(tWPtWPtFnnWn 所所以以)()(1ntNPntNP , 0 ,!)(e tktnkkt . 0 , 0)( ttFnW的的概概率率密密度度函函数数为为可可得得求求导导对对时时间间nWt,整理课件 . , 0, 0 ,e)!1()(d)(d)(1其其他他tntttFtft

14、nWWnn .)(分布分布服从服从的等待时间的等待时间泊松过程泊松过程泊松流泊松流 nW:)(, 11服服从从指指数数分分布布首首次次出出现现的的等等待待时时间间或或事事件件得得质质点点取取Wn . , 0, 0 ,e)(1其他其他ttftW 整理课件(2) 点间间距点间间距,2,1 ,1 iWWTiii记记.1,个个质质点点的的和和第第个个质质点点称称为为相相继继出出现现的的第第也也是是随随机机变变量量则则iiTi 点间间距点间间距1T2TkTO1W1 kWkW2W服服从从指指数数分分布布所所以以因因为为111,TWT . , 0, 0 ,e)()(11其其他他ttftftWT 整理课件的条

15、件分布函数的条件分布函数件下件下的条的条个质点出现在时刻个质点出现在时刻第第时时当当iiTtii,1,21 )(1111 iiiitTtt tTPt tFii1)(1)()(111 itNtNttNPiii1)()(11 iitNttNP0)()(111 iitNttNP, 0 ,e10)(1 ttNPt . 0 , 0)(11 tt tFitTii求导可得条件概率密度函数为求导可得条件概率密度函数为整理课件 . 0 , 0, 0 ,e)(11ttt tftitTii 的的联联合合概概率率密密度度函函数数为为随随机机变变量量1, iitT . , 0, 0 , 0 ),(e),(1111其其他

16、他iittitttfttfi 的的概概率率密密度度为为得得积积分分对对上上式式关关于于), 3, 2(,1 iTtii 011011d)(ed)(e)(11iittiittTttfttftfiii , 0 ,e tt . 0 , 0)( ttfiT整理课件., 3, 20. , 0, 0 ,e)( itttftTi 结论结论定理一定理一.,)(且且服服从从同同一一个个指指数数分分布布互互独独立立的的随随机机变变量量的的点点间间间间距距是是相相泊泊松松过过程程的的泊泊松松流流强强度度为为 ., 3, 20. , 0, 0 ,e)( itttftTi .服服从从相相同同的的指指数数分分布布点点间间

17、间间距距序序列列iT.,21是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量理理论论上上iTTT整理课件定理二定理二.的的泊泊松松过过程程为为则则质质点点流流构构成成了了一一强强度度 且且服服从从同同一一个个指指数数分分布布相相互互独独立立的的是是的的两两个个质质点点的的点点间间间间距距如如果果任任意意相相继继出出现现, 3, 20. , 0, 0 ,e)( itttftTi 定理的意义定理的意义定理刻画出了泊松过程的特征定理刻画出了泊松过程的特征. .要确定一个计要确定一个计数过程是否是泊松过程数过程是否是泊松过程, ,只需要用统计方法检验点只需要用统计方法检验点间间距是否独立间间距是否独立, ,并

18、且服从同一个指数分布并且服从同一个指数分布. .整理课件1. 布朗运动简介布朗运动简介英国植物学家布朗英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下在显微镜下, ,观察观察漂浮在平静的液面上的微小粒子漂浮在平静的液面上的微小粒子, ,发现它们不断地发现它们不断地进行着杂乱无章的运动进行着杂乱无章的运动, ,这种现象称为布朗运动这种现象称为布朗运动. .爱因斯坦爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论年提出一种理论, ,认为微认为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互独立的粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果分子碰撞的结果.三、维纳过程的数学模型整理课件布朗运动计算机模拟结果布朗运动计算机模拟结果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=50000整理课件.0)0(,00)( WtttW且且的位移的横坐标的位移的横坐标到时刻到时刻刻刻表示运动中一微粒从时表示运动中一微粒从时以以.,(小小位位移移的的代代数数和和多多微微上上的的位位移移可可以以看看成成是是许许粒粒子子在在时时段段ts假设假设根据中心极限定理根据中心极限定理,.)()(服服从从正正态态分分布布位位移移sWtW 整理课件由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞而引起的碰撞而引起的, , 因此因此, , 在不相重叠的时