二重积分的计算

1、第二节 二重积分的计算这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的 一、矩形上的二重积分的计算为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.定理 12. 4 若函数f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的可积函数. 若对每一个xa,b积分 存在, 则h(x) 在a,b上可积, 并有等式,它也记为. 这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.证明 在a,b中插入若干个分点 , 并记 xi= xi- xi-1 , (i=1,2,.,n), 当令x =maxxi | i=1,2,.,n ,要证: .再在c,d中插入若干个分点 ,yj= yj - yj

2、-1 , (j=1,2,.,m), 那么, 直线y= yj (j=0,1,2,.,m), x= xi (i =0,1,2,.,n) 将D分成m n个小矩形Dij= xi-1 , xi ×yj-1 , yj (i =1,2,.,n, j=1,2,.,m). 当记, ,因此, 注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形上以此分划的Darboux小和及大和.再令令y =maxyi | i=1,2,.m , =x +y , 由可积性知,.又有两边夹易得, 即有, 那么 h(x) 在a,b上可积, 并有等式 .同样我们可得定理 12. 5 若函数f(x,y)是矩形=a,b×c,d上

3、的可积函数. 若对每一个yc,d积分 存在, 则g(y) 在c,d上可积, 并有等式, 这时它也记为(也是二次积分或累次积分). 引理 若函数f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的连续函数, 那么 和 分别是c,d和a,b上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数. 证明 只证g(y) 是c,d上的连续函数. 由条件知, f(x,y)在a,b×c,d上一致连续, 所以,任意>0, 存在 >0, 对任意(x1, y1), (x2, y2)a,b×c,d,只要, 有 , 所以任意y1, y2c,d, 当 |y1 - y2|<, .故g(y) 在c,d

4、上的一致连续.由此可得定理 12.6 若函数f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的连续函数. 则. 即可交换顺序 . 这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的可积函数, 对每一个yc,d积分存在, 对每一个xa,b积分 y也存在,.这时定理 12.6 结论仍然成立, 即.二、一般区域上的二重积分计算y首先我们来讨论是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形设其中是区间上的连续函数，这样的区域D ，我们称之为型区域(当然可求面积)如图12-2-1所示dx=v(y)x=u(y)cxO图 12-2-2图 12-2-1当是区间上的连续函数， （如图12

5、-2-2）称为y型区域 . 定理 12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域上的可积函数，U= a,b×c,d包含D. 那么当令 , 那么是U上的可积函数. 并且 .事实上在D上可积,在U-D上也可积 . 由性质知在U上的可积.定理 12.8 设为型区域, f(x,y)是上的连续函数，那么 证明 令 U= a,b×c,d包含D. 由定理12.7 注意到,当固定x时, 若, =0,;若,. 所以,显然 . 例1 计算二重积分，其中是由直线及所围成的闭区域解 区域如图12-2-3所示，可以将它看成一个-型区域，图 12-2-3即 所以 也可以将看成是型区域，于是有上面的例子可以看

6、到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数定理 12.9 设为型区域, f(x,y)是上的连续函数，那么 如果既不是-型区域也不是y-型区域,如图12-2-4 我们可以将分划成若干个x-型区域和y-型区域的并.图 12-2-4例计算二重积分，其中是有抛物线及所围成的有界闭区域解：如图12-2-4，区域可以看成是型区域，它表示为，所以D2D1 我们也可以将看成是两个型区域的并集如图1-2-5，其中图 12-2-5所以积分可以写为两个二次积分的和即最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是型的，又是型的，

7、但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来比如下面的例子 例计算二次积分分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管的原函数是存在的，但是还是无法求出其表达式我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算解 ，其中是如图1-2-6所示的区域，将它看成是-型区域，有，所以图 12-2-6上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果设，如果f(x) 和g(y)分别在a,b和c,d上可积, 则f(x)g(y)在D上可积,并有读者可以自己验证上面的结论例计算，其中解：由上面的讨论，

8、有例求由曲面与所围的体积解：此立体如图1-2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积圆柱体的体积是曲顶柱体的顶是，底为区域所以其体积为图 12-2-7所以此立体体积为在这里积分的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分 本节最后将给出前面积分运算的几何解释.当是有界闭区域上的连续函数且时，二重积分表示的是以为底，以为顶的曲顶柱体的体积如图1-2-8所示它的体积可以通过计算这个二重积分得到图 12-2-9图 12-2-8我们下面通过另外的一种途径来求其体积 我们采用的方法是定积分的微元法以为积分变量，其变化区间为；

9、求在的一个小的子区间上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，将它近似为一个截面已知的立体的体积接下来就是计算这个截面面积将对于任意的，用平面去截曲顶柱体得到截面，即它在平面上的投影是一个如图2-所示的曲边梯形其面积为一般地，当变动时，有截面面积于是区间所对应的小曲顶柱体体积为，所以曲顶柱体的体积为这样的积分实际上是积分两次，即先对积分，再对积分，即二次积分也记为习题 12-21.求下列函数的二重积分, ,这里D=0,1×0,1.1) ;2) ;3) ;2. 设f(x)是a,b上的连续函数,证明. 3.求下列二重积分 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , 是由原点为中心2为半径的圆周所围的有界区域; 6) , 是由(0,0),(1,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域; 7)，其中D是矩形区域：|x|1， |y|1；8)，其中D是轴、轴与直线所围成闭区域， 9)，其中D是矩形闭区域：0x1，0y1；10) ， 其中D是顶点分别为（0，0），（,0）和(,)的三角形闭区域4.交换下列的积分顺序 1) ; 2) ; 3