第七章线性变换

1、MATLAB软件应用 第七章 线性变换例1：求矩阵的特征值与特征向量 ，并将其对角化. 解1：建立m文件v1.m如下：clcA= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1;E=eye(3);syms xf=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值%所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.%（1）当x1=5时，求解（x1*EA）X=0，得基础解系syms yy=5;B=y*E-A;b1=sym(null(B) %b1为（x1*EA）X=0基础解系%（2）当x2=-1时，求解（x2*EA）X=0，得基础解系y=-1;B=y*E-A;b2=s

2、ym(null(B) %b2为（x2*EA）X=0基础解系T=b1,b2 %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵D=T-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D 运行结果如下：f = x3-3*x2-9*x-5 ans = 5 -1 -1 b1 = sqrt(1/3) sqrt(1/3) sqrt(1/3) b2 = sqrt(2/3), 0 -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) -sqrt(1/6), sqrt(1/2) T = sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0 sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) sqrt(1/3), -sqrt(1/

3、6), sqrt(1/2)D = 5, 0, 0 0, -1, 0 0, 0, -1解2：建立m文件v2.m如下：clcA= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1;d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量V,D=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D运行结果如下：d = -1 -1 5 V = 247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D = -1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans = -1 *

4、* * -1 * * * 5 例2：求矩阵的特征值与特征向量 ，并判别A 是否可以对角化. 解：建立m文件v3.m如下：clca=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;V,D=eig(a)det(V)运行结果如下：V = 0 881/2158 881/2158 0 881/1079 881/1079 1 -881/2158 -881/2158 D = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 ans = 0 所以矩阵A 不能对角化。例3：求例1中矩阵A的迹，并验证. 解：建立m文件v4.m如下：clcA= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1;fprintf(矩阵A的迹=%dn,trace(A)

5、%求矩阵A的迹d=eig(A) %求矩阵A的特征值b=sum(d,1); %矩阵d元素求和fprintf(矩阵A特征根的和=%d,b) fprintf(n矩阵A的行列式=%d,det(A) f=prod(d,1); %矩阵d元素求积，即特征值求积fprintf(n矩阵A特征根的积=%d,f) 运行结果如下：矩阵A的迹=3d = -1 -1 5 矩阵A特征根的和=3矩阵A的行列式=5矩阵A特征根的积=5例4：对矩阵，求矩阵，使得解：建立m文件v5.m如下：clcA=2 1;-2 -1;V,D=eig(A)B=V*sqrt(D)*inv(V)B2运行结果如下：V = 985/1393 -1292/2889 -985/1393 2584/2889 D = 1 0 0 0 B = 2 1 -2 -1 ans = 2 1 -2 -1 例5：对实对称矩阵，求正交矩阵，使得为对角矩阵 解：建立m文件v6.m如下：clcA=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; %实对称矩阵AP,D=eig(A) %矩阵A的对角化P*A*P运行结果如下：P = -963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3 D = 1 0 0 0 1 0 0