第六章 线性空间与线性变换_第1页
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文档简介

1、第六章线性空间与线性变换1验证:(1)2阶矩阵的全体;(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体;(3)2阶对称矩阵的全体.对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基解（1）设分别为二阶矩阵，则显然，从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间是的一个基.(2)设， ， .是一个基(3)设，则，从而,故，所以对于加法和乘数运算构成线性空间.是的一个基.2验证：与向量不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间解 设，设,，则但即不是线性空间.3设是线性空间的一个子空间，试证：若与的维数相等，则.证明设为的一组基，它可扩充为整个空间的一个基，由于从而也

2、为的一个基，则：对于可以表示为显然，故，而由已知知，有4设是维线性空间的一个子空间，是的一个基试证： 中存在元素，使,成为的一个基证明 设,则在中必存在一向量，它不能被线性表示，将添加进来，则是线性无关的若，则命题得证，否则存在则线性无关，依此类推，可找到个线性无关的向量，它们是的一个基5在中求向量在基,，下的坐标解 坐标变换公式：故所求为所求坐标为6在取两个基,试求坐标变换公式解 设，其中，坐标变换公式，现求所以坐标变换公式为7在中取两个基 (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;(2)求向量在后一个基下的坐标;(3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 (1)由题意知从而由前一个基到后一个基的

3、过渡矩阵为(2)设向量在后一个基下的坐标为则有即 ，故 (3)由(2)知，解方程组得 (为常数)8说明平面上变换的几何意义，其中(1); (2) ;(3); (4).解 (1) 即与原向量关于轴对称(2) 即将原向量投影到轴上(3) 即与原向量关于直线对称(4) 即将原向量顺时针旋转9阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间.给出阶矩阵，以表示中的任一元素，变换 称为合同变换.试证合同变换是中的线性变换证明 设，则=从而，合同变换是中的线性变换10函数集合对于函数的线性运算构成3维线性空间，在中取一个基，求微分运算在这个基下的矩阵.解 设易知：线性无关，故为一个基.由知故.即在基下的矩阵为.112阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运

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