留数定理在广义积分中的应用

1、收稿日期:2006-07-15作者简介:林金火(1963-,男,福建莆田人,湄洲湾职业技术学院基础部数学教师。留数定理在广义积分中的应用林金火(湄洲湾职业技术学院,福建莆田 351254摘 要:在实际问题中,往往需要计算广义积分,有些广义积分的计算如果用数学分析中计算广义积分的方法往往是十分麻烦的,但如果应用留数定理来计算就显得比较简洁。关键词:留数定理;广义积分中图分类号:O172 2 文献标识码:A 文章编号:1009-9522(200701-0084-02在平时,经常会碰到广义积分的计算问题,如果用数学分析中计算广义积分的方法,有时显得很麻烦,经常要验证广义积分的一致收敛问题,还有一些需

2、要引进参变量、利用积分号下求导的方法进行求解等等。然而用这些方法计算过程比较复杂。因此本文介绍的应用复变函数中留数定理的方法计算一些类型的广义积分,显得比较简单。为此,先给出留数及留数定理。定义:设函数f (z 在点z 0的去心邻域D:0<|z -z 0|< 内解析,z 0是f (z 的孤立奇点。函数在孤立奇点z 0的留数定义为12 icf (z dz ,记作K esf (z ,z 0。其中C 包含在D 内且围绕z 0的任何一条正向简单闭曲线。留数定理:设C 是一条正向的简单闭曲线,若函数f (z 在C 上及C 的内部D 除去有限个孤立奇点z 1,z 2, ,z n 外处处解析,那

3、么cf (z dz =2 i nk =1K es f (z ,z k 。应用留数基本定理计算某些类型实函数的积分,其大致思想是:为了求实函数f (x 在实数轴上或实数轴上的某一段L 上的积分,我们在L 上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C,其内部为D,选取适当函数f (z (通常是将f (x 的自变量x 扩充到复平面上,然后在 D 上对f (z 应用留数定理,这样就把实轴上f (x 的积分转化为计算f (z 在D 内奇点的留数与那部分附加曲线上的积分,将问题大大简化了。下面通过举例阐述怎样利用留数定理求某些类型的广义积分值。1、计算+!-!f (x dx 型积分当被积函数f (x 是x 的

4、有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且f (x 在实轴上没有奇点,积分是存在的。若设f (z 在上半平面Im Z >0的极点为a 1,a 2, ,a p ,则+!-!f (x dx =2 i pk =1K es f (z ,a k 。例1、计算积分+!-!dx(x 2+2x +2n解:函数f (z =1(z 2+2z +2n = 1(z +1-i(z +1+i在上半平面内只有z =-1+i 一个n 级极点。令 (z =1Z +1+iKesf (z ,-1+i= n -1(-1+i(n -1!=2n -32n -2#2n -52n -4# 12#12i =(2n -3!(2n

5、-2!#12i于是+!-!dx(x 2+2x +2n =2 iKesf (z ,-1+i =(2n -3!(2n -2!例2、计算积分+!x 21+x 4dx解:函数f (z =x 21+x 4在上半平面内有z =22+22i 及z =-22+22i 一级极点。而K es f (z ,22+22i=(z -22-22i f (z z =22+22i =1-i42Kes f (z ,-22+22i =(z +22-22if (z z =-22+22i =-1-i42842007 1九江职业技术学院学报Journal of Jiujiang Vocational &Technical Co

6、llege+!0x 21+x 4dx =12+!-!x 21+x 4dx (被积函数是偶函数=12#2 i(1-i 42+-1-i 42=222、计算+!-!f (x e imx dx (m >0型积分。当被积函数f (x 是x 的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且f (x 在实轴上没有奇点时,积分是存在的。若设f (x 在上半平面I mz >0内的极点为a 1,a 2, ,a p ,则+!-!f (x e imx dx =2 i pk =1K es f (z e imz ,a k 。特别地,将上式分开实虚部,就可以得到形如+!-!f (x cos mx dx 及

7、+!-!f (x sin mx dx 的积分。例3、计算积分+!-!cos p x(x 2+a 22dx (p >0,a >0解:令f (x =1(x 2+a 22,这样被积分函数就可以写成f (x cos px 的形式,显然它是偶函数。f (z =1(z 2+a 22在上半平面内只有一个二级极点z =ai而K es f (z e ipz ,ai =(z -ia2f (z e ip z %|z =a i =ipe ip z (z +ai2-2e ipz (z +ai 3|z =ai =-i 4a 3(1+ap e -pa+!0cos p x (x 2+a 22dx =12+!-!c

8、os p x(x 2+a 22dx =1K es 2 iKes f (z e ip t ,ai= (1+ap 4a 3e pa3、计算+!-!f (x e imx dx (m >0型但积分路径上有奇点的积分当被积函数f (x 是x 的有理函数,且分母的次数至少比分子的次数高一次,设f (x 在实轴上除去有限多个一级极点x 1,x 2, ,x p 外处处解析,在上半平面I mz >0内除去有限多个极点z 1,z 2, ,z q 外处处解析,则积分是存在且+!-!f (x e imx dx = i p k =1Kes f (z e imz ,x k +2 i qk =1Kes f (z

9、 e imz ,z k 例4、计算积分+!-!x cos xx 2-5x +6dx解:f (z =zz 2-5z +6在上半平面I mz >0内无奇点,在实轴上只有两个一级极点x 1=2,x 2=3。+!-!z e izz 2-5z +6dz=iK es f (z e ie ,2+Kes f (z e iz ,3则+!-!x cos xx 2-5x +6dz =K e i(-2e 2i +3e 3i =(2sin2-3sin3例5、计算狄里克雷(Dir ichlet积分+!sin xx dx 解:由于被积函数是偶函数,所以+!0sin xxdx =12+!-!sin xxdx 设f (z

10、 =1z ,从而f (z e iz =e iz z点z =0是f (z 的一级极点。+!0sin x x dx =12+!-!sin x x dx =12I m+!-!eixxdx =12I m iK ese iz z ,0=12I m i ,1=2从上面例题的解法可以看出,应用留数定理求一些类型的广义积分显然简洁、简便的多。当然利用留数定理计算积分也有其局限性,不可能应用它来解决所有的复杂积分的计算问题。Application of Residues Theorem to Improper IntegralLI N Jin-huo(M eizhouw an V ocational &T echnical Colleg e,Putian,F ujian,351254Abstract:Improper integral is applied widely in solving concrete problems.In the calculat ion of some types of improper integ ral,it &s troublesome to use the metho d o